Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Adalékok egy véges összegzési feladathoz Dr. Molnár István Szent István Egyetem Gazdasági, Agrár- és Egészségtudományi Kar Békéscsaba.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Adalékok egy véges összegzési feladathoz Dr. Molnár István Szent István Egyetem Gazdasági, Agrár- és Egészségtudományi Kar Békéscsaba."— Előadás másolata:

1 Adalékok egy véges összegzési feladathoz Dr. Molnár István Szent István Egyetem Gazdasági, Agrár- és Egészségtudományi Kar Békéscsaba

2 „ …egy matematikai feladattal éppoly jól el lehet szórakozni, mint egy keresztrejtvénnyel ” Pólya György

3 Kiinduló probléma Létezik-e 2n + 1 darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám összege egyenlő az utolsó n darab szám összegével? Feladat: 3

4 A feladat megoldása Legyen: Állítás: Innen: 4 Tehát a keresett 2n+1 darab szám, bármely esetén:

5 Másik feladat 5 Általánosan: Létezik-e 2n darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám összege egyenlő az utolsó n-1 darab szám összegével? Feladat:

6 Szemléletes bizonyítás 6 Állítás:

7 7 Az alapfeladat általánosítása Adjunk meg végtelen sok olyan n-et, amelyre teljesül, hogy az első n darab pozitív egész szám összege egyenlő a következő néhány egymás utáni egész szám összegével! Állítás: Legyenek, ahol Legyen diofantikus egyenlet

8 8 A diofantikus egyenlet Az diofantikus egyenlet Az x és az y is páratlan szám, azaz elegendő belátnunk, hogy az egyenletnek végtelen sok megoldása van a pozitív páratlan egész számok halmazán. a, Ha u és v páratlan számok, akkor 3u+4v és 2u+3v is páratlan b, Ha (u;v) számpár megoldás, akkor megoldás a (3u+4v ; 2u+3v) is, mivel

9 9 Megoldások x y k n azaz A (7;5) megoldása az egyenletnek, melyből további megoldások származtathatók:

10 10 Feladat négyzetek összegére Létezik-e 2n+1 darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám négyzetösszege egyenlő az utolsó n darab szám négyzetösszegével? Állítás: Legyen:

11 11 Megoldás négyzetek összegére Általánosan: Tehát a keresett 2n+1 szám bármely esetén:

12 12 Az első néhány megoldás Létezik-e 2n darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám négyzetösszege egyenlő az utolsó n-1 darab szám négyzetösszegével? Feladat:

13 Feladat általánosítása I. 13 Léteznek-e olyan n-ek, amelyre teljesül, hogy az első n darab pozitív egész szám négyzetének összege egyenlő a következő néhány egymás utáni egész szám négyzetének összegével? Legyenek n, k egész számok úgy, hogy Teljesülnie kell az alábbi összefüggésnek: Az ismert összegképletek alapján kapjuk, hogy

14 Feladat általánosítása II. 14 Átrendezve: Legyen y=2k+1 és x=2n+1. Így az diofantikus egyenlethez jutunk.

15 15 Kapcsolat a háromszögszámokkal Háromszögszámok: 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; 45; 55; 66; 78; 91; 105; 120; 136; 153; 171; 190; 210;…

16 16 Háromszögszámok összege A háromszögszámokat tanulmányozva: Jelölje t n az n-edik háromszögszámot: Létezik-e 2n (n pozitív egész) darab egymás utáni háromszögszám úgy, hogy az első n+1 darab háromszögszám összege egyenlő az utolsó n-1 darab háromszögszám összegével? Feladat:

17 17 Háromszögszámok összege I. Állítás: Legyen a 2n darab egymást követő háromszögszám: Mivel

18 18 Háromszögszámok összege II. Megfelelő csoportosítás után: A műveletek elvégzése, átrendezés és az összevonások után: Vagyis A keresett háromszögszámok: Általánosan:

19 Általánosítás háromszögszámokra I. 19 Léteznek-e olyan n-ek, amelyre teljesül, hogy az első n darab háromszögszám összege egyenlő a következő néhány egymás utáni háromszögszám összegével? Legyenek n, k egész számok úgy, hogy Teljesülnie kell az alábbi összefüggésnek:

20 Háromszögszámok összege 20 Szemléletes bizonyítás Állítás:

21 Általánosítás háromszögszámokra II. 21 Átrendezve : Legyen y=k+1 és x=n+1. Így az diofantikus egyenlethez jutunk. Felhasználva, hogy kapjuk

22 22 További feladatok Létezik-e 2n+1 darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy első n+1 darab szám köbeinek összege egyenlő az utolsó n darab szám köbeinek összegével? Létezik-e 2n (n pozitív egész) darab egymás utáni háromszögszám úgy, hogy az első n+1 darab háromszögszám négyzetének összege egyenlő az utolsó n-1 darab háromszögszám négyzetének összegével? Létezik-e 2n darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy első n+1 darab szám köbeinek összege egyenlő az utolsó n-1 darab szám köbeinek összegével?

23 „ A nagy felfedezések nagy feladatokat oldanak meg, de nincs olyan feladat, amelynek megoldásához ne volna szükség valami kis felfedezésre.” Pólya György

24 Köszönöm a figyelmet !


Letölteni ppt "Adalékok egy véges összegzési feladathoz Dr. Molnár István Szent István Egyetem Gazdasági, Agrár- és Egészségtudományi Kar Békéscsaba."

Hasonló előadás


Google Hirdetések