Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Fraktálok világa Készítette: Kovács Péter Eötvös József Collegium X. Eötvös Konferencia2009. április 3.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Fraktálok világa Készítette: Kovács Péter Eötvös József Collegium X. Eötvös Konferencia2009. április 3."— Előadás másolata:

1 Fraktálok világa Készítette: Kovács Péter Eötvös József Collegium X. Eötvös Konferencia2009. április 3.

2 Vázlat 1. A fraktálok általános jellemzői 1. A fraktálok általános jellemzői 2. A fraktálok dimenziója 2. A fraktálok dimenziója 3. A Mandelbrot- és a Julia-halmaz 3. A Mandelbrot- és a Julia-halmaz 4. Lineáris fraktálok 4. Lineáris fraktálok 5. A fraktálok alkalmazása 5. A fraktálok alkalmazása

3 Mik azok a fraktálok? A fraktálok „önhasonló”, végtelenül komplex matematikai alakzatok, melyek változatos formáiban legalább egy, matematikai eszközökkel leírható ismétlődés tapasztalható. A fraktálok „önhasonló”, végtelenül komplex matematikai alakzatok, melyek változatos formáiban legalább egy, matematikai eszközökkel leírható ismétlődés tapasztalható.

4 Fraktálok a természetben

5

6 A fraktál szó eredete A fraktál szót Benoit Mandelbrot francia matematikus alkotta. Magában hordozza a A fraktál szót Benoit Mandelbrot francia matematikus alkotta. Magában hordozza a fragmental (töredezett) és a fragmental (töredezett) és a frakcional (szabálytalan) frakcional (szabálytalan) szavak hangulatát.

7 A fraktálok előállítása Ugyanazt a szabályt alkalmazzuk egymás után nagyon sokszor Ugyanazt a szabályt alkalmazzuk egymás után nagyon sokszor A kiindulási pontra elvégzett művelet eredményére újra elvégezzük a műveletet, és így tovább A kiindulási pontra elvégzett művelet eredményére újra elvégezzük a műveletet, és így tovább Így egy végtelen sorozatot kapunk Így egy végtelen sorozatot kapunk A sorozatok grafikai megjelenítése a fraktálgeometria A sorozatok grafikai megjelenítése a fraktálgeometria

8 A fraktálok dimenziója Ha egy sziget kerületét meg akarjuk mérni, a kapott eredmény függ a mérőpálca hosszától Ha egy sziget kerületét meg akarjuk mérni, a kapott eredmény függ a mérőpálca hosszától Minél nagyobb felbontásban nézzük a partvonalat, annál hosszabb lesz Minél nagyobb felbontásban nézzük a partvonalat, annál hosszabb lesz Mivel a felbontás mindig növelhető, valójában egy szigetnek a kerülete végtelen Mivel a felbontás mindig növelhető, valójában egy szigetnek a kerülete végtelen

9 A fraktálok dimenziója Tegyük fel, hogy a H halmaz N darab hasonló részből áll, amelyek S-szeres kicsinyítései H-nak. Tegyük fel, hogy a H halmaz N darab hasonló részből áll, amelyek S-szeres kicsinyítései H-nak. Ekkor: Ekkor:

10 A fraktálok dimenziója Egy sziget vagy egy ország határvonalának is meg lehet így adni a fraktáldimenzióját Egy sziget vagy egy ország határvonalának is meg lehet így adni a fraktáldimenzióját Ausztrália határvonalának a fraktáldimenziója: D=1.13 Ausztrália határvonalának a fraktáldimenziója: D=1.13 Németország határa: D=1.12 Németország határa: D=1.12 Portugália határvonala hasonlóan csipkézett: D=1.12 Portugália határvonala hasonlóan csipkézett: D=1.12 Nagy-Britanniáé erősebben: D=1.24 Nagy-Britanniáé erősebben: D=1.24 Dél-Afrika határa viszont többnyire egyenes: D=1.04 Dél-Afrika határa viszont többnyire egyenes: D=1.04

11 A Mandelbrot-halmaz A Mandelbrot-halmaz a komplex számsík azon c pontjainak mértani helye, melyekre az alábbi (komplex szám értékű) X n rekurzív sorozat: A Mandelbrot-halmaz a komplex számsík azon c pontjainak mértani helye, melyekre az alábbi (komplex szám értékű) X n rekurzív sorozat: X 0 := 0 X 0 := 0 X n+1 := (X n ) 2 +c X n+1 := (X n ) 2 +c nem a végtelenbe tart.

12 A Mandelbrot-halmaz A kép kirajzolása úgy történik, hogy ami a nulla felé tart, azt feketére színezzük; ami pedig a végtelenbe, azt színesre, annak megfelelően, hogy milyen gyorsan növekszik A kép kirajzolása úgy történik, hogy ami a nulla felé tart, azt feketére színezzük; ami pedig a végtelenbe, azt színesre, annak megfelelően, hogy milyen gyorsan növekszik Ha belenagyítunk a képbe, akkor újabb és újabb részletek tűnnek elő, és ezt a végtelenségig folytathatjuk, mivel bármikor el tudjuk végezni a műveletet még egyszer Ha belenagyítunk a képbe, akkor újabb és újabb részletek tűnnek elő, és ezt a végtelenségig folytathatjuk, mivel bármikor el tudjuk végezni a műveletet még egyszer

13 A Mandelbrot-halmaz

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28 A Julia-halmaz Ugyanazt a rekurzív sorozatot iterálja, mint a Mandelbrot-halmaz, de fix c és változó x 0 értékekkel Ugyanazt a rekurzív sorozatot iterálja, mint a Mandelbrot-halmaz, de fix c és változó x 0 értékekkel A Mandelbrot-halmaz minden c pontja meghatározza a megfelelő Julia-halmaz geometriai szerkezetét A Mandelbrot-halmaz minden c pontja meghatározza a megfelelő Julia-halmaz geometriai szerkezetét Ha c része a Mandelbrot-halmaznak, akkor a Julia-halmaz kapcsolódni fog hozzá Ha c része a Mandelbrot-halmaznak, akkor a Julia-halmaz kapcsolódni fog hozzá

29 Mandelbrot–Julia átalakítás

30 A Cantor-halmaz Induljunk ki a [0,1] zárt intervallumból Induljunk ki a [0,1] zárt intervallumból Osszuk három egyenlő részre, majd hagyjuk el a középső részt Osszuk három egyenlő részre, majd hagyjuk el a középső részt Ezután osszuk három egyenlő részre mindkét megmaradó szakaszt, és hagyjuk el a középső részeiket; és így folytassuk az eljárást a végtelenségig Ezután osszuk három egyenlő részre mindkét megmaradó szakaszt, és hagyjuk el a középső részeiket; és így folytassuk az eljárást a végtelenségig A Cantor-halmaz azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek végtelen sok lépés után megmaradnak A Cantor-halmaz azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek végtelen sok lépés után megmaradnak

31 A Cantor-halmaz

32 A Koch-görbe A kiinduló halmaz egy K 0 egységnyi hosszúságú zárt intervallum A kiinduló halmaz egy K 0 egységnyi hosszúságú zárt intervallum A K 1 görbét úgy kapjuk meg, hogy K 0 -t három egyenlő részre osztjuk, majd a középső harmad fölé emelt szabályos háromszög alapját helyettesítjük a másik két oldalával A K 1 görbét úgy kapjuk meg, hogy K 0 -t három egyenlő részre osztjuk, majd a középső harmad fölé emelt szabályos háromszög alapját helyettesítjük a másik két oldalával A K 2 halmazt úgy kapjuk meg K 1 -ből, hogy a K 1 -et alkotó négy szakasz mindegyikének középső részét helyettesítjük egy szabályos háromszög másik két oldalával A K 2 halmazt úgy kapjuk meg K 1 -ből, hogy a K 1 -et alkotó négy szakasz mindegyikének középső részét helyettesítjük egy szabályos háromszög másik két oldalával Ezt az eljárást n-szer elvégezve a töröttvonalak egy K 0, K 1, …, K n sorozatát kapjuk, amelynek határértéke a Koch-görbe Ezt az eljárást n-szer elvégezve a töröttvonalak egy K 0, K 1, …, K n sorozatát kapjuk, amelynek határértéke a Koch-görbe

33 A Koch-görbe

34 A Koch-féle hópehely Három darab Koch-görbét a végpontjaiknál illesszünk össze Három darab Koch-görbét a végpontjaiknál illesszünk össze Az így kapott halmazt Koch-féle hópehelynek vagy szigetnek nevezzük Az így kapott halmazt Koch-féle hópehelynek vagy szigetnek nevezzük

35 A Koch-féle hópehely területe …n. Oldal- hossz 11/31/91/27 1/3 n Oldal- szám 33*4 3*4 2 3*4 3 3*4 n Kerület33*4/3 3*4 2 /9 3*4 3 /27 3*4 n /3 n Terület T0T0T0T0 T1T1T1T1 T2T2T2T2 T3T3T3T3 TnTnTnTn

36 A Koch-féle hópehely területe

37

38

39 A Sierpinski-háromszög Induljunk ki egy S 0 egységnyi oldalú szabályos háromszögből Induljunk ki egy S 0 egységnyi oldalú szabályos háromszögből Ezt az oldalfelező pontok összekötésével osszuk négy egybevágó részre, majd hagyjuk el a középső rész pontjait (oldalait ne). A megmaradó alakzat legyen S 1. Ezt az oldalfelező pontok összekötésével osszuk négy egybevágó részre, majd hagyjuk el a középső rész pontjait (oldalait ne). A megmaradó alakzat legyen S 1. A második lépésben hagyjuk el az S 1 -et alkotó mindegyik kis háromszög középső részét, és az így kapott halmazt jelöljük S 2 -vel A második lépésben hagyjuk el az S 1 -et alkotó mindegyik kis háromszög középső részét, és az így kapott halmazt jelöljük S 2 -vel Hasonló módon kaphatjuk az S 3, S 4, … halmazokat Hasonló módon kaphatjuk az S 3, S 4, … halmazokat A Sierpinski-háromszög azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a végén maradnak A Sierpinski-háromszög azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a végén maradnak

40 A Sierpinski-háromszög

41 A Sierpinski-szőnyeg A Sierpinski-háromszög konstrukciójához hasonlít, csak itt egy T 0 négyzetből indulunk ki A Sierpinski-háromszög konstrukciójához hasonlít, csak itt egy T 0 négyzetből indulunk ki Ezt az oldalharmadoló pontok összekötésével kilenc egybevágó részre osztjuk, és elhagyjuk a középső kis négyzetet. A kapott halmaz legyen T 1. Ezt az oldalharmadoló pontok összekötésével kilenc egybevágó részre osztjuk, és elhagyjuk a középső kis négyzetet. A kapott halmaz legyen T 1. A második lépésben elhagyjuk a T 1 -et alkotó nyolc kis négyzet mindegyikének a középső részét, és így tovább A második lépésben elhagyjuk a T 1 -et alkotó nyolc kis négyzet mindegyikének a középső részét, és így tovább A Sierpinski-szőnyeg azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a végén maradnak A Sierpinski-szőnyeg azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a végén maradnak

42 A Sierpinski-szőnyeg

43 A Sierpinski-szőnyeg kerülete

44

45 A Sierpinski-szőnyeg területe

46

47 A Menger-szivacs

48

49 Fraktál alapú képtömörítés Lényege, hogy az eredeti képben hasonló alakzatokat, képrészleteket lehet találni Lényege, hogy az eredeti képben hasonló alakzatokat, képrészleteket lehet találni A tömörítés egy iterációs algoritmus során megkeresi az ismétlődő vagy hasonló képrészleteket A tömörítés egy iterációs algoritmus során megkeresi az ismétlődő vagy hasonló képrészleteket A hasonlóság mellett egy olyan transzformációt is keres, mellyel az eredeti képrészlet a lehető legjobban megközelíthető A hasonlóság mellett egy olyan transzformációt is keres, mellyel az eredeti képrészlet a lehető legjobban megközelíthető

50 Fraktál alapú képtömörítés A tömörített adathalmaz csak kevés eredeti képinformációt tartalmaz A tömörített adathalmaz csak kevés eredeti képinformációt tartalmaz A hivatkozásokra és a transzformációkra vonatkozó adatok adják a legnagyobb részét A hivatkozásokra és a transzformációkra vonatkozó adatok adják a legnagyobb részét Akár 1000:1 arányú tömörítés is elérhető vele Akár 1000:1 arányú tömörítés is elérhető vele Hátránya, hogy óriási számítási kapacitás szükséges a tömörítéshez Hátránya, hogy óriási számítási kapacitás szükséges a tömörítéshez

51 Fraktál alapú képtömörítés A kicsomagolás során kevés számú képi információból indulva a hivatkozásokkal és a transzformációkkal közelíti a képet több iteráción keresztül A kicsomagolás során kevés számú képi információból indulva a hivatkozásokkal és a transzformációkkal közelíti a képet több iteráción keresztül Néhány iteráció után az eredmény: rendkívül jó minőségű kitömörített kép Néhány iteráció után az eredmény: rendkívül jó minőségű kitömörített kép Mind színárnyalat, mind felismerhetőség szempontjából jobb minőségű képet ad, mint egy hasonló tulajdonságokkal rendelkező JPEG tömörítésű kép Mind színárnyalat, mind felismerhetőség szempontjából jobb minőségű képet ad, mint egy hasonló tulajdonságokkal rendelkező JPEG tömörítésű kép

52 Fraktál alapú képtömörítés kicsomagolás 1 iterációvalkicsomagolás 2 iterációval kicsomagolás 4 iterációvalaz eredeti kép

53 Fraktálok a biológiában Az emberi test kifejlődéséhez és helyes működtetéséhez szükséges információ majdnem minden emberi sejt magjában benne van Az emberi test kifejlődéséhez és helyes működtetéséhez szükséges információ majdnem minden emberi sejt magjában benne van Az információt tároló molekula a DNS Az információt tároló molekula a DNS Az ember DNS-molekuláiban átlagosan 3 milliárd információegység van tárolva Az ember DNS-molekuláiban átlagosan 3 milliárd információegység van tárolva Az emberi test átlagosan milliárd sejtből áll Az emberi test átlagosan milliárd sejtből áll Hogyan tudja hordozni ez a viszonylag kis DNS minden egyes sejt helyének és az egyes sejttípusok felépítésének információját? Hogyan tudja hordozni ez a viszonylag kis DNS minden egyes sejt helyének és az egyes sejttípusok felépítésének információját?

54 Fraktálok a biológiában Az emberi agy kb. 100 milliárd idegsejtből áll Az emberi agy kb. 100 milliárd idegsejtből áll Lehetetlen lenne a DNS-molekulában tárolni az agy pontos felépítését Lehetetlen lenne a DNS-molekulában tárolni az agy pontos felépítését Ehelyett csak az agysejt általános felépítése és a sejtek elhelyezkedésének főbb szabályai vannak tárolva Ehelyett csak az agysejt általános felépítése és a sejtek elhelyezkedésének főbb szabályai vannak tárolva Ezt bizonyítja az a tény is, hogy emlékeket, tapasztalatokat és tudást a DNS nem örökít át Ezt bizonyítja az a tény is, hogy emlékeket, tapasztalatokat és tudást a DNS nem örökít át

55 Fraktálok a biológiában A vérerek elágazó és egyre finomodó hálózata nagyon jól mutatja az önhasonlóság tulajdonságát több mérettartományon át, tehát tulajdonképpen egy fraktálalakzat A vérerek elágazó és egyre finomodó hálózata nagyon jól mutatja az önhasonlóság tulajdonságát több mérettartományon át, tehát tulajdonképpen egy fraktálalakzat A tüdő kb. 70 m 2 -es belső aktív felületét szintén egy fraktális felépítésű légúthálózattal éri el A tüdő kb. 70 m 2 -es belső aktív felületét szintén egy fraktális felépítésű légúthálózattal éri el Viszonylag kevés és egyszerű szabállyal is végtelenül bonyolult fraktálokat hozhatunk létre Viszonylag kevés és egyszerű szabállyal is végtelenül bonyolult fraktálokat hozhatunk létre Kézenfekvő a következtetés, hogy a DNS alapú örökítés is ilyesfajta szabályok szerint működik Kézenfekvő a következtetés, hogy a DNS alapú örökítés is ilyesfajta szabályok szerint működik

56 Felhasznált szakirodalom szeged.hu/~madera/elmat/bead/fraktal.pdf szeged.hu/~madera/elmat/bead/fraktal.pdf szeged.hu/~madera/elmat/bead/fraktal.pdf szeged.hu/~madera/elmat/bead/fraktal.pdf ations/DigVid2.pdf ations/DigVid2.pdf ations/DigVid2.pdf ations/DigVid2.pdf

57 Köszönöm a figyelmet!


Letölteni ppt "Fraktálok világa Készítette: Kovács Péter Eötvös József Collegium X. Eötvös Konferencia2009. április 3."

Hasonló előadás


Google Hirdetések