Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Valószínűségszámítás. A valószínűségszámítás feladata: Matematikai módszerek kidolgozása a bizonytalanság mérésére, amelyekkel bizonyos események bekövetkezésének.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Valószínűségszámítás. A valószínűségszámítás feladata: Matematikai módszerek kidolgozása a bizonytalanság mérésére, amelyekkel bizonyos események bekövetkezésének."— Előadás másolata:

1 Valószínűségszámítás

2 A valószínűségszámítás feladata: Matematikai módszerek kidolgozása a bizonytalanság mérésére, amelyekkel bizonyos események bekövetkezésének valószínűsége kiszámítható. Kísérlet Tömegjelenség megfigyelése, melynek lefolyása a véletlentől függ. - Determinisztikus modell - Sztochasztikus modell A megfigyelés szempontjából kiválasztott feltételek egyértelműen meghatározzák az eredményt

3 Esemény, eseménytér Definíció: Egy kísérlet egyes lehetséges kimeneteleit elemi eseménynek nevezzük. Definíció: Az elemi események összessége eseményteret alkot. Definíció: Az eseménytér bármely részhalmazát eseménynek nevezzük. Definíció: Biztos esemény az az esemény, amely a kísérlet során minden esetben bekövetkezik.

4 Definíció: Lehetetlen esemény az az esemény, amely a kísérlet során soha nem következhet be. Definíció: Az A esemény komplementere az az esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha A nem következik be. Definíció: Két eseményt akkor mondunk egyenlőnek, ha bármelyik bekövetkezése maga után vonja a másik bekövetkezését. (A=B) Definíció: szimbólum jelöli, hogy A bekövetkezése maga után vonja B bekövetkezését.

5 Műveletek eseményekkel: a. Összegesemény:vagy b. Szorzat esemény:vagy c. Különbség:vagy Definíció: Az A és B események egymást kizáróak, ha AB= Definíció: Az események teljes eseményrendszert alkotnak, ha és

6 Műveleti tulajdonságok: a.b. c.d.d. e. f.

7 Feladat: Egy üzemben a raktárból piros szalagon és zöld szalagon is beszállítható az alkatrész. Azt az eseményt, hogy egy adott műszakban van beszállítás a piros szalagon A –val jelöljük, hogy a zöld szalagon B-vel. Fogalmazza meg az alábbi eseményeket: a.b.c.d.e. f.g. h.i.

8 A valószínűség és axiómái Definíció: Az A esemény gyakorisága k n-szer elvégzett kísérlet során, ha az esemény k-szor következik be. Definíció: A hányadost az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük. Nyilvánvaló: Ismételt kísérletekkel, n növelésével látható, hogy a relatív gyakoriság egy bizonyos szám körül ingadozik. Definíció: Azt a számot, amely körül A relatív gyakorisága ingadozik, az A esemény valószínűségének nevezzük és P(A)-val jelöljük.

9 A valószínűségszámítás axiómái Az eseménytér minden eseményéhez egy valós számot rendelünk, azaz -án értelmezünk egy P függvényt. A P-t valószínűségi függvénynek, P(A)-t pedig az A esemény valószínűségének nevezzük, ha teljesülnek az alábbi axiómák: I.Mindeneseményre II. azaz a biztos esemény valószínűsége 1 III.Ha A és B egymást kizáró események, akkor IV.Ha az egymást páronként kizáró események sorozata, akkor Ha véges, akkor IV. felesleges.

10 Tétel:P =0 Tétel: Ha az események páronként kizárják egymást, akkor Tétel: Ha,akkor Ha A és B két tetszőleges esemény, akkor

11 Valószínűségi mezők Legyen eseménytér. Tegyük fel, hogy ismerjük valamennyi elemi esemény valószínűségét. Definíció: Az eseményeket a hozzájuk tartozó valószínűségekkel együtt valószínűségi mezőnek nevezzük. Megjegyzés: Az A összetett esemény valószínűsége pl. esetén

12 Klasszikus valószínűségi mező Definíció: Ha egy véges sok elemi eseményből álló eseménytér minden elemi eseményéhez ugyanakkora valószínűség tartozik, klasszikus valószínűségi mezőről beszélünk. Ekkor egy A összetett esemény valószínűsége:

13 Feladat: 2. Három pénzérme ismételt feldobásakor figyeljük meg a fejdobások számát. Határozza meg az eseményteret, a valószínűségi mezőt! Megoldás: 1. Kockadobás esetén határozza meg az eseményteret és a valószínűségi mezőt

14 Kombinatorika - permutáció - variáció - ismétléses variáció - kombináció Ismétlés nélküli mintavétel Ismétléses mintavétel

15 Feltételes valószínűség Azt vizsgáljuk, hogy mi az A esemény bekövetkezésének valószínűsége, ha csak azokat a kimeneteleket vesszük figyelembe, amelyek a B eseményhez is hozzátartoznak. Definíció: Legyen egy eseménytér és, ahol. Az A esemény B feltételre vonatkozó -vel jelölt feltételes valószínűsége: Megjegyzés: A szám azt mutatja meg, hogy A esemény hányadrészben következik be a B bekövetkezésének esetei közül.

16 Feladatok: 1. Tegyük fel, hogy egy iskola 230 tanulójáról az alábbi kimutatás készült egy járványos betegség időszakában: A nyilvántartó kartonok rendezetlenül vannak letéve. Mi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiemelt karton a. fiúé?b. betegségen átesett tanulóé? c. betegségen átesett fiúé? Megoldás:

17 Ha előzetesen a fiúk és lányok kartonját rendezetlenül külön- külön tették, akkor mi a valószínűsége annak, hogy d. a fiúk kartonjából egyet kiválasztva az betegségen átesett fiú kartonja? e. lányok kartonja közül egyet kiválasztva az olyan lányé, aki nem volt beteg? Megoldás:

18 2. Egy üzem A-val és B-vel jelölt két célgépén ugyanazt az alkatrészt gyártja. Az A gépen naponta 500 darabot, melyből 20 darab selejt, a B gépen naponta 650 darabot, melyből 30 a selejt. Ha az egyik nap gyártott alkatrészek közül kiveszünk egyet és az selejtes, akkor mi annak a valószínűsége, hogy ez a kivett selejtes alkatrész az A gépen készült? Megoldás

19 Szorzási tétel: A feltételes valószínűség következménye: Általános szorzási tétel: Ha események, akkor

20 Feladat Egy dobozban 16 tranzisztor közül 4 hibás. Mi annak a valószínűsége, hogy visszatevés nélkül három egymás után kivett tranzisztor a. hibátlan? b. az első hibátlan, a második hibás, a harmadik ismét hibátlan? Megoldás:

21 A teljes valószínűség tétele Tétel: Tegyük fel, hogy a események az eseménytér egy teljes eseményrendszerét alkotják pozitív valószínűségekkel és az eseménytér egy tetszőleges eseménye. Ekkor azaz

22 Feladat Az évfolyam matematika szakos hallgatóinak 90%-a, a fizika szakos hallgatóknak a 70%-a sikeresen vizsgázott. A fizika szakosok az évfolyam 18%-át teszik ki. (Az évfolyam csak fizika szakos és matematika szakos hallgatókból áll.) Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenül kiválasztott hallgató a sikeresen vizsgázott hallgatók közül való? Megoldás

23 Bayes tétele A teljes eseményrendszerrel kapcsolatban gyakran az a kérdés, hogy az A esemény bekövetkezésében milyen szerepük van a feltételeknek, azaz a bekövetkezésének valószínűségét kérdezzük, ha tudjuk, hogy A bekövetkezett: A fenti formulát nevezzük Bayes-tételnek, ahol természetesen a események i=1,2,…n az eseménytér egy teljes eseményrendszerét alkotják pozitív valószínűségekkel és A az egy tetszőleges pozitív valószínűségű eseménye.

24 Feladatok 1. Egy műhelyben gyártott összes alkatrész 50%-át a gép 3%-os selejttel, 30%-át a gép 4%-os selejttel, 20%- át pedig a gép 5%-os selejttel gyártja. a. Mi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenül kiszemelt alkatrész selejtes? b. Ha a véletlenül kiválasztott alkatrész selejtes, mi annak a valószínűsége, hogy az a gép terméke? Megoldás

25 2. Egy kórházban 50 nőt és 10 férfit ápolnak. A férfiak 8%- a, a nők 0,45%-a szívbeteg. A betegségeket leíró kartonok közül véletlenszerűen egyet kiválasztva azt látjuk, hogy az szívbetegé. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a karton nő betegé? Megoldás:

26 Események függetlensége Két eseményt akkor mondunk függetlennek egymástól, ha az egyik bekövetkezése nincs hatással a másik bekövetkezésére. Definíció: Legyen A és B két tetszőleges véletlen esemény. Az A és B egymástól független események, ha Általában n eseményt függetlennek mondunk, ha akárhányat kiválasztva közülük, azok együttes bekövetkezésének valószínűsége egyenlő valószínűségeik szorzatával.

27 Feladat: Két szabályos pénzérme feldobása az eseményteret alkotja. Az események egyenlő valószínűségűek. Vizsgáljuk meg az A, B, és C események függetlenségét, ha Megoldás:

28 Megjegyzések: Ha az A és B független események, akkor a. és események is függetlenek. b. az A és valamint az és B események is függetlenek

29 Feladatok: 1. Egy irodában két számítógép egymástól függetlenül működik. Az egyik számítógép műszakonkénti meghibásodásának valószínűsége 0,3, a másik számítógépé pedig 0,2. Mi a valószínűsége annak, hogy legalább egy műszak időtartama alatt egyik számítógép sem hibásodik meg? Megoldás:

30 2. Egy üzem raktárában gumicsizmák és bakancsok vannak. Annak valószínűsége, hogy egy munkás tevékenységéhez csizmát illetve bakancsot igényel 0,8 illetve 0,5. Ha mindegyik munkás csak egy lábbelit visz el, mennyi a valószínűsége annak az A eseménynek, hogy 6 munkás egymás után csak csizmát vagy 6 munkás egymás után csak bakancsot visz el? Megoldás:

31 Megjegyzés Ha két esemény független, azaz és mindkét esemény pozitív valószínűségű, akkor A és B nem lehet egymást kizáró esemény.


Letölteni ppt "Valószínűségszámítás. A valószínűségszámítás feladata: Matematikai módszerek kidolgozása a bizonytalanság mérésére, amelyekkel bizonyos események bekövetkezésének."

Hasonló előadás


Google Hirdetések