A határérték Digitális tananyag.

Az előadások a következő témára: "A határérték Digitális tananyag."— Előadás másolata:

1 A határérték Digitális tananyag

2 Határérték A határérték fogalma A határértékek kiszámítása
Határértékek a végtelenben Tóth István – Műszaki Iskola Ada

3 A határérték Az f(x) határértéke, ha x tart az a számhoz egyenlő az L számmal, ha f(x) értéke L-hez közelít, miközben x közelít a-hoz. a L Tóth István – Műszaki Iskola Ada

4 1. példa Készítsünk táblázatot! x 2,5 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1
3,5 2x 5 5,8 5,98 5,998 6,002 6,02 6,2 7 6 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

5 2. példa A kifejezés nem értelmezett x=4-re! x 3,5 3,9 3,99 3,999 4,001 4,01 4,1 4,5 f(x) 1 A függvény határértékét vizsgálhatjuk olyan x0 pontban is, ahol a függvény nem értelmezett (de a pont környezetében igen). Tóth István – Műszaki Iskola Ada

6 Feladatok Táblázat segítségével becsüld meg a határértékeket:
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

7 A „táblázatos” módszer hiányossága
x f(x) ±1 0,049876 ±0,5 0,049969 ±0,1 0,049999 ±0,01 0,050000 ±0,0005 0,080000 ±0,0001 0,000000 ±0,00001 ±0,000001 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

8 Egyszerűbb határértékek
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

9 A határérték szabályai
Ha léteznek a következő határértékek: és Tóth István – Műszaki Iskola Ada

10 A szabályok alkalmazása
1. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

11 A szabályok alkalmazása
2. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

12 Behelyettesítés Vegyük észre: sok esetben elegendő, ha a közelítés határát behelyettesítjük a függvény képletébe! 1. 2. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

13 Ellenpélda A hányadosra vonatkozó szabályt használva azt kapjuk, hogy:
Tehát a számláló és a nevező is 0-val egyenlő. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

14 Az ellenpélda megoldása
Az f függvényt olyan g függvénnyel helyettesítjük, amely a közelítés határát kivéve mindenütt egyenlő az f függvénnyel. az f függvény a helyettesítő g függvény Tóth István – Műszaki Iskola Ada

15 Gyakorló feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

16 Nem tudunk tényezőkre bontani, egyszerűsíteni
Ismét egy példa Nem tudunk tényezőkre bontani, egyszerűsíteni Tóth István – Műszaki Iskola Ada

17 Gyakorló feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

18 Nem minden határérték létezik...
x →2 2 ←x x 1,9 1,99 1,999 1,9999 2,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) -20 -200 -2000 -20000 20000 2000 200 20 f(x) →-∞ ∞ ←f(x) Tóth István – Műszaki Iskola Ada

19 Bal és jobb oldali határérték
A bal oldali határérték keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít az f függvény értéke, miközben a független változó (x) értékei bal oldalról tartanak a közelítés határához. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

20 Bal és jobb oldali határérték
A jobb oldali határérték keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít az f függvény értéke, miközben a független változó (x) értékei jobb oldalról tartanak a közelítés határához. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

21 Példa Tóth István – Műszaki Iskola Ada

22 Gyakorlás Keresd meg a határértékeket:
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

23 A határérték létezése A határérték létezik, ha léteznek a és
határértékek és ezek egyenlő valós számok. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

24 A határérték ε-δ definíciója
értéke az L valós szám, ha minden ε pozitív valós számhoz található olyan δ pozitív valós szám, hogy az egyenlőtlenségből következzék Tóth István – Műszaki Iskola Ada

25 Példa Igazoljuk: Tegyük fel, hogy ε egy adott pozitív szám. Ekkor:
tehát ε értékére 3·δ értéket kell vennünk, azaz Tóth István – Műszaki Iskola Ada

26 Néhány fontosabb határérték
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

27 Példa 1 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

28 Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

29 Néhány fontosabb határérték
Feladatok: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

30 Néhány fontosabb határérték
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

31 Határértékek a végtelenben
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

32 Határértékek a végtelenben
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

33 Példa Feladatok: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

34 Egyszerűbben Például: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

35 További példák, feladatok
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

36 További példák, feladatok
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

37 További példák, feladatok
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

38 Fontos határérték Tóth István – Műszaki Iskola Ada

39 Alkalmazás A határérték-számítás az elkövetkező anyagrészek alapja.
A továbbiakban az alapfogalmakat a határérték segítségével vezetjük be. Folytonosság Aszimptoták Differenciálszámítás Integrálszámítás Tóth István – Műszaki Iskola Ada