Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Számítógéppel támogatott problémamegoldás Mire használhatjuk gépünket a tanítás folyamán (és mire nem)?

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Számítógéppel támogatott problémamegoldás Mire használhatjuk gépünket a tanítás folyamán (és mire nem)?"— Előadás másolata:

1 Számítógéppel támogatott problémamegoldás Mire használhatjuk gépünket a tanítás folyamán (és mire nem)?

2 Alkalmazások: Internet – böngészés (Speciálisan – kapcsolattartás) Multimédia (prof. felhasználói szoftverek) Amatőr programok (célfeladatok)

3 A repertoár átalakulása (?) Hagyományos eljárások, eszközök megszűnése (gyökvonás, logaritmus, szögfüggvények) Új lehetőségek a PC-k megjelenésével: -magasabbfokú vagy transzcendens egyenletek -függvények vizsgálata -(numerikus) analízis -valószínűségszámítás, statisztika -általában szimulációk stb.

4 Amatőr programok Amatőr és profi programok összehasonlítása Iskolában: PC felhasználói ismeretek A programozás középiskolai tanítása ? Érvek: -algoritmikus gondolkodásmód fejlesztése -kevés (?) előismeret -egyszerű célfeladatok megoldása -(pl. matematika) műveltségi keret tágítása

5 Tárgyalt problémák - aritmetika 1.Születésnap-paradoxon 2.Prímek száma (Euklidesz IX.20.) 3.Hézagtétel 4.Prímalgoritmus keresése 5.Prímszám-polinom 6.Diofantikus egyenlet számjegyekre

6 Sejtés és bizonyítás 8. Független vezér- és bástyaelhelyezések 9. Sierpinski-feladat Kitűzött feladatok: 10. Számjegyek négyzetösszegének ciklusa 11. Bolgár szoliter

7 1. Születésnap-paradoxon Feladat: Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy 35 ember születésnapja az év 35 különböző napjára esik (366 nappal számoljunk)!

8 Születésnap-paradoxon (2) Megoldás: Annak valószínűsége, hogy N ember mindegyike N különböző napon született, közelítőleg: OGYKMB.EXE

9 Születésnap-paradoxon (3) -A számítógép szerepe: nagyszámú, algoritmizált műveletsor gyors elvégzése -Alulcsordulás (és túlcsordulás) jelensége -A gépi számábrázolás problémái -A problémák elvi jellege

10 2. Prímek száma Már Euklidesz megmutatta, hogy a prímek száma végtelen (Elemek, IX. könyv 20. tétel). Gyakori helytelen gondolatmenet a következő: „Indirekt tegyük fel, hogy véges sok prím van: p 1, p 2, p 3, …, p n. Az S n = p 1  p 2  p 3  …  p n + 1 szám a korábbi p 1, p 2, p 3, …, p n tényezők egyikével sem osztható, tehát S n újabb prím. Ellentmondást kaptunk, ebből következik, hogy végtelen sok prímszám van.”

11 Prímek száma (2) Megoldás: A hibát ott követik el a tanulók, hogy bár S n nem osztható a p 1, p 2, p 3, …, p n prímekkel, de ebből még nem következik, hogy prím lenne. Elképzelhető az is, hogy S n két (vagy több) olyan prímszám szorzata, amelyek p n -nél nagyobbak. A feladat ilyen tulajdonságú S n keresése.

12 Prímek száma (3) OGYSZELM.EXE Mire használtuk a gépet? Mire nem használhattuk a gépet?

13 3. Hézagtétel Feladat: Adjunk meg olyan természetes számot, amely után 8, illetve 15 szomszédos összetett szám következik! (KöMaL F.243.) Módosítás: Keressük meg a fenti tulajdonságú legkisebb természetes számokat!

14 Hézagtétel – észrevételek (1) A feladat állítása szerint vannak olyan „szomszédos” prímek, amelyek távolsága 9, illetve 16. Ha találunk 8 szomszédos összetett számot, akkor találunk 9-et is (bővítés); elég a páros prímtávolságokat vizsgálni.

15 Hézagtétel – megoldások (2) A 9! + 1 szám megfelelő: a 2  3  4  5  6  7  8  9 + 2, 2  3  4  5  6  7  8  9 + 3, …, 2  3  4  5  6  7  8  számok egyike sem lehet prím. Ügyesebb megoldás: 2  3  5  7 + 2, 2  3  5  7 + 3, …, 2  3  5  (212-től 219-ig; sőt még jó a 220 is.) Kérdés: vajon ez a legkisebb sorozat? OGYSZELM.EXE

16 4. Prímalgoritmus keresése Írjuk fel a táblára: 43, 45, 47, 49, 51, 53, … -karikázzuk be a 43-at, töröljük le a következő számot, 45-öt; -karikázzuk be a következő számot, a 47-et, s töröljük le a következő két számot (49, 51); -karikázzuk be a következő 53-at, s töröljük le a következő három számot (55, 57, 59); -folytassuk az eljárást (mindig eggyel több számot törlünk le).

17 Prímalgoritmus keresése (2) Melyik az így kapott első 30 szám? Fogalmazzunk meg egy sejtést!

18 Prímalgoritmus elemzése (3) Megoldás: A kapott számok a következők: 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, …, 971. Sejtés: ezek mind prímek (sőt a továbbiak is: 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, …)

19 Prímalgoritmus – zárt alak (4) Az n. bekarikázott szám zárt alakban: a n = ·2 + 3·2 + 4·2 + … + n·2 = ·( … + n) = n 2 + n A képlet már n = 0-tól prímeket ad. P(n) = n 2 + n + 41 ún. prímszám-polinom.

20 Prímalgoritmus – kérdések (5) 1.Igaz-e, hogy az n 2 + n + 41 képlet n = 0, 1, 2, … értékekre mindig prímet ad? 2.Ha nem, adjunk meg ellenpéldát adó n értéket! 3.Adjunk meg n  0-tól vagy n  40-től különböző n ellenpéldákat! 4.Melyik a legkisebb n ellenpélda? 5.Hányszor kapunk prímszámot a 0  n  99 esetekben?

21 Prímalgoritmus – válaszok (6) OGYSZELM.EXE Válaszok: 4. A 0  n  99 intervallumban P(n) = n 2 + n esetben prímszám.

22 5. Diofantikus egyenlet Feladat: Határozzuk meg azokat a természetes számokat, amelyek eggyel nagyobbak a számjegyeik kétszeres szorzatánál!

23 Egyenlet megoldása (1) Megoldási lépések: 1.Kétjegyű ab természetes számokra: 10a + b = 2ab + 1, innen (2a – 1)(b – 5) = 4. 2a – 1 páratlan, tehát egyetlen megoldás van: ab = 19 2.Háromjegyű abc számokra bonyolultabb az egyenlet: 100a + 10b + c = 2abc + 1.

24 Egyenlet megoldása (2) Érdemes programot írni, amely a feltételt n jegyű számokra vizsgálja meg. OGYSZJ.EXE Problémák: 1.A program megírása n jegyű számokra; 2.szükséges tudni, legfeljebb mekkora lehet n értéke. (!) (Egyáltalán van-e felső korlát n-re?)

25 Egyenlet megoldása (3) Becslés: a n 10 n + a n-1 10 n-1 + … + a a 0 = 2a n a n-1 …a 1 a Bal oldalon az első tag kivételével a többit elhagyjuk; a jobb oldalon a n kivételével a többi számjegy helyére 9-est írunk. a n 10 n  2a n 9 n + 1, innen közelítőleg:

26 Egyenlet megoldása (4) Ez csak n  6 esetén teljesül (vagyis n legfeljebb hétjegyű lehet). Mire használtuk a gépet? -egzisztencia és konstrukció -előtérben a matematikai gondolkodásmód Mire nem tudtuk használni a gépet?

27 6. Független figuraelhelyezések 1.Független bástyaelhelyezések 2.Független vezérelhelyezések 3.Független bástyaelhelyezések főátló- korlátozással (n = 5 eset) 4.OGYKMB.EXEOGYKMB.EXE Sejtés a 3. feladatra?

28 Figuraelhelyezések (2) Futási eredmények a 3. feladatra: n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 E(n) = 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854 Sejtés: E(n) = (n – 1)(E(n – 1) + E(n – 2)) Bizonyítás: A, B, C, D, E és a, b, c, d, e párosítással:

29 Figuraelhelyezések (3) 1. a – B és b – A: E(n – 2) ABCDE aX bX c……... d…… e ……

30 Figuraelhelyezések (4) 2. a–B és b – nem A: E(n – 1) ABCDE aX b ……... c… … d… … e… …

31 Figuraelhelyezések (5) Tehát: ha a – B, akkor E(n – 1) + E(n – 2) számú elhelyezés van. Az a – C, a – D, … szimmetria miatt összesen: E(n) = (n – 1)(E(n – 1) + E(n – 2)). A rekurzió megoldása:

32 9. Sierpinski-feladat Feladat: Milyen n pozitív egész számokra osztható n-nel a K = 2 n + 1 kifejezés? OGYSZELM.EXE Eredmény: ha n < 100, n = 1, 3, 9, 27. Sejtés: n = 3 k.

33 Sierpinski-feladat (1) Bizonyítás: k-ra vonatkozó teljes indukcióval. A sejtés tehát igaz: ha n = 3 k, akkor az oszthatóság teljesül. De: mi a helyzet egyéb n-ekre?

34 Sierpinski-feladat (2) Észrevétel: az 1, 3, 9 számokra teljesül az n  2 n + 1 indukciós lépés is. Újabb sejtés: ha n - nel osztható a 2 n + 1 kifejezés (2 n + 1 = kn), akkor 2 n + 1-gyel is osztható 2 kn + 1. A sejtés teljes indukcióval bizonyítható; így a 9 osztja összefüggésből 513 osztja is teljesül.

35 Sierpinski-feladat (3) Mi a helyzet egyéb n-ekre? OGYSZELM.EXE


Letölteni ppt "Számítógéppel támogatott problémamegoldás Mire használhatjuk gépünket a tanítás folyamán (és mire nem)?"

Hasonló előadás


Google Hirdetések