Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Kvantitatív módszerek 1. Valószínűségszámítási alapok Dr. Kövesi János.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Kvantitatív módszerek 1. Valószínűségszámítási alapok Dr. Kövesi János."— Előadás másolata:

1 Kvantitatív módszerek 1. Valószínűségszámítási alapok Dr. Kövesi János

2 Készítette: Erdei János A valószínűségszámítás tárgya n Véletlen jelenség fogalma n Tömegjelenség fogalma 

3 Készítette: Erdei János A valószínűség fogalma An f(A) 

4 Készítette: Erdei János Az axiómarendszer 1. axióma0  P(A) 2. axiómaP(  ) = 1 3. axióma Ha A 1, A 2, … A n páronként kizárják egymást, akkor P(A 1 + A A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + … + P(A n ) Teljes eseményrendszer: P(A 1 + A A n ) = P(  ) = 1 

5 Készítette: Erdei János A valószínűség meghatározásának módszerei n Klasszikus valószínűség-meghatározás n Geometriai n Valószínűségszámítási tételek n Empirikus adatokból n Elméleti eloszlások n Szubjektív becslés 

6 Készítette: Erdei János Valószínűségszámítás fő területei 

7 Kvantitatív módszerek 2. Valószínűségszámítási tételek Dr. Kövesi János

8 Készítette: Erdei János Valószínűségszámítási tételek n P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A  B) n Bizonyítás A B A·B 

9 Készítette: Erdei János Valószínűségszámítási tételek n Ha A esemény bekövetkezése... – P(B-A) = P(B) - P(A) és – P(A)  P(B) n Bizonyítás: B = A + (B-A) P(B) = P(A) + P(B-A)  III. axióma Mivel P(B-A)  0  P(A)  P(B) 

10 Készítette: Erdei János Valószínűségszámítási tételek 1. Feladat: Mutassuk ki, hogy... P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A  B) P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A+B) +1 a lehetséges legnagyobb értéke 0,70,9 2. Feladat: Próbagyártás után... P(A + B) = 0,15 + 0,3 - 0,08 = 0,37 P(A + B) = 0,63 

11 Készítette: Erdei János Valószínűségszámítási tételek 3. Feladat: Egy iskola tanulóinál... P(A) = P(A + B) + P(A  B) - P(B) = = 0,16 + 0, = 0,14 

12 Készítette: Erdei János A feltételes valószínűség fogalma Definíció: Ha A és B … P(A|B) = P(A  B) / P(B) Legyen A és B egy kísérlettel kapcsolatos két esemény, és P(B)  0 

13 Készítette: Erdei János A feltételes valószínűség fogalma 1. Feladat: Egy termék hibamentesen … 0tt+  t 

14 Készítette: Erdei János A feltételes valószínűség fogalma 1. Feladat: Egy szállítmány 96%-a … A =  a termék I. o.} B =  a termék megfelelő} P(AB) = P (A|B) · P(B) = 0,75 · 0,96 = 0,72 

15 Készítette: Erdei János A feltételes valószínűség fogalma 2. Feladat : Egy telefonfülke előtt állunk … a.) b.) c.) 

16 Készítette: Erdei János A teljes valószínűség tétele Ha B 1, B 2, … B n teljes …. Bizonyítás: 

17 Készítette: Erdei János A teljes valószínűség tétele 1. Feladat: A magyar nyelvű MBA programban … A =  a vizsga sikeres} B 1 =  a hallgató férfi}  P(B 1 ) = 0,45 B 2 =  a hallgató nő}  P(B 2 ) = 0,55 P(A) = 0,6 ·0,45 + 0,8 ·0,55 = 0,71 

18 Készítette: Erdei János A teljes valószínűség tétele 2. Feladat: Három műszak azonos … P(B 1 ) = 0,4P(A|B 1 ) = 0,95 P(B 2 ) = 0,3P(A|B 2 ) = 0,93 P(B 3 ) = 0,3P(A|B 3 ) = 0,90 P(A) = 0,929 

19 Készítette: Erdei János Bayes-tétel Ha B 1, B 2, … B n teljes eseményrendszer …. 

20 Készítette: Erdei János Bayes-tétel Bizonyítás: P(B k |A)·P(A) = P(A| B k ) ·P(B k ) P(B k ·A)P(A·B k ) Teljes valószínűség tétele 

21 Készítette: Erdei János Bayes-tétel 1. Feladat: Alkatrész-ellátásnál …. A =  az alkatrész hibás} B 1 =  ”A”-tól jött}  P(A | B 1 ) = 0,1 B 2 =  ”B”-től jött}  P(A | B 2 ) = 0,2 

22 Készítette: Erdei János Bayes-tétel 2. Feladat: Egy üzemből kikerülő …. A =  a termék I.o. minősítést kap} B 1 =  a termék I.o.}  P(B 1 ) = 0,75 B 2 =  a termék nem I.o.}  P(B 2 ) = 0,25 P (A | B 1 ) = 0,98P (A | B 2 ) = 0,05 

23 Készítette: Erdei János Bayes-tétel 3. Feladat: Egy folyóban bekövetkező …. B i =  az i-edik üzemet terheli a felelősség} (A |B i ) =  halpusztulás következett be, feltéve, hogy B i volt a szennyező} P(B 1 )=0,2P(B 2 )=0,5P(B 3 )=0,3 P(A |B 1 )=0,6P(A |B 2 )=0,15P(A |B 3 )=0,25 

24 Készítette: Erdei János Bayes-tétel P(A)=0,2·0,6+0,5·0,15+0,3 ·0,25 = 0,27 P(B 1 |A)=0,44 P(B 2 |A)=0,28 P(B 3 |A)=0,28 1,1 MFt 700 eFt 3. Feladat: folyt. 

25 Készítette: Erdei János Események függetlensége Definíció: 

26 Kvantitatív módszerek 3. Leíró statisztika Dr. Kövesi János

27 Készítette: Erdei János Statisztikai leírás alapjai A statisztikai leírás célja, módszerei Statisztikai leírás mutatói  Középértékek  Ingadozásmutatók  Egyéb mutatók Grafikus kép 

28 Készítette: Erdei János Adatok rendezése, ábrázolása n Osztálybasorolás n Gyakoriságok (f i ) megállapítása n Relatív gyakoriság (g i ) megállapítása n Összegzett (kumulált) gyakoriságok ill. relatív gyakoriságok n Gyakorisági táblázat n Grafikus ábrázolás 

29 Készítette: Erdei János Feladat - 1 Egy folyamatos üzemben …. Gyakorisági táblázat készítése - Legkisebb és legnagyobb értékek megkeresése - Gyakoriságok meghatározása 0  1  : 

30 Készítette: Erdei János Feladat - 1 A gyakorisági táblázat: 

31 Készítette: Erdei János Feladat - 1 Adatok ábrázolása: 

32 Készítette: Erdei János Feladat - 1 A gyakorisági táblázat folytatása: 

33 Készítette: Erdei János Feladat - 1 Kumulált relatív gyakoriság ábrázolása:  leállások száma

34 Készítette: Erdei János Feladat - 2 Műszeralkatrészek átmérőjét ….  Gyakorisági táblázat készítése: - Minimum és maximum értékek keresése - Terjedelem meghatározása: R = 8,50 - 8,13 = 0,37 - Osztályok számának meghatározás - Osztályhatárok, -közepek számolása - Gyakoriságok meghatározása - Táblázat és a hisztogram elkészítése 8,138,50

35 Készítette: Erdei János Gyakorisági hisztogram 

36 Készítette: Erdei János Kumulált relatív gyakoriság Osztályközök [mm] 

37 Készítette: Erdei János Középértékmutatók Mo  Módusz  Medián  Számtani átlag  Harmonikus átlag  Mértani átlag  Négyzetes átlag  Kvantilisek 

38 Készítette: Erdei János Ingadozás mérőszámai  Terjedelem  Átlagos abszolút eltérés  Tapasztalati szórás  Korrigált tapasztalati szórás  Relatív szórás R  n v. n-1 ?!

39 Készítette: Erdei János


Letölteni ppt "Kvantitatív módszerek 1. Valószínűségszámítási alapok Dr. Kövesi János."

Hasonló előadás


Google Hirdetések