Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 Valószínűségszámítás dr. Szalkai István. 2 TARTALOM: 0. Kombinatorika elemei (segédeszközök) 1. Eseményalgebra 2. A valószínűség: a) axiómák és következményeik.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 Valószínűségszámítás dr. Szalkai István. 2 TARTALOM: 0. Kombinatorika elemei (segédeszközök) 1. Eseményalgebra 2. A valószínűség: a) axiómák és következményeik."— Előadás másolata:

1 1 Valószínűségszámítás dr. Szalkai István

2 2 TARTALOM: 0. Kombinatorika elemei (segédeszközök) 1. Eseményalgebra 2. A valószínűség: a) axiómák és következményeik b) klasszikus (=kombinatorikus) valószínűségi mező c) geometriai valószínűségi mező 3. Feltételes valószínűség, események függetlensége 4. Valószínűségi változók a) általános definíciók b) várható érték, szórás

3 3 5. Nevezetes diszkrét eloszlások: a) Bernoulli (= binomiális = visszatevéses mintavétel) b) Hipergeometriai (=visszatevés nélküli mintavétel) c) Geometriai (=próbálkozás amíg nem sikerül) d) Poisson (= a) közelítése) 6. Nevezetes folytonos eloszlások: a) Egyenletes (= buszváró, ="hidastábla", … ) b) Exponenciális (= nem öregedő élettartam) c) Normális (= fizikai / biológiai rendszerek)

4 4 7. Nagy számok törvényei (Markov, Csebisev, Bernoulli, Csebisev, Centrális, Moivre-Laplace) 8. Két diszkrét val.vált. összefüggése (=kétdimenziós v.v.) 9. Matematikai statisztika alapjai

5 5 Ajánlott irodalom: ( " Példatár " )

6 6 0. Kombinatorika Hány / hányféleképpen ? = hat képlet = hat új alapművelet i) Sorbarendezések: n elem egy sorban = permutációk - ha az n elem mind különböző (ismétlés/ ismétlődés nélkül) => P n = 1·2·3·...·(n-1)·n = n! / 0! = 1 /. - ha az n elem nem mind különböző (ismétléses), azaz s féle: az egyes típusokból k 1, k 2, …, k s van, akkor => P n k1,…,ks (ism) = n! ( k 1 + k 2 + … + k s = n ) k 1 !k 2 ! … k s !

7 7 ii) Kiválasztások n különböző elem közül k -szor választunk ki egyet-egyet a KIVÁLASZTÁS SORRENDJE számít nem számít (pl. tombola) (pl. lottó) VARIÁCIÓ KOMBINÁCIÓ V n k C n k V n k (ism) C n k (ism)

8 8 V n k = n·(n-1)·(n-2)…(n-(k-1)) = n·(n-1)·(n-2)…(n-k+1) V n k (ism) = n·n·….·n = n k, C n k = ( n k ) = n·(n-1)·(n-2)…(n-k+1) = n!, k! k! ·(n-k) ! = " binomiális együtthatók " = V n k / k! C k (ism) = ( n+k-1 ) = / n+k-1 \ n n-1 \ n-1 / ((szövegszerkesztő !!! ))

9 9 Binomiális együtthatók alaptulajdonságai / C n k = ( n k ) = n elem közül k -t kiválasztani hányféleképpen visszatevés nélkül, sorrend lényegtelen / ( n 0 ) = ( n n ) = 1,( n 1 ) = ( n n-1 ) = n, ( n k ) = ( n n-k ) / szimmetria tulajdonság/ pl. / 20 \ = / 20 \ = 20·19·18·17·16 \ 15 / \ 5 / 1·2·3·4·5 / 90 \ = 20·19·18·17·16 \ 5 / 1·2·3·4·5

10 10 1. Eseményalgebra Definíciók: Kísérlet = aktív vagy passzív, valami történik, Eseménytér = kísérlet összes lehetséges kimenetele = tetszőleges halmaz   Jele: H, Ω vagy T (=Solt Gy. ###), ….  pl. Két kockával dobunk => Ω = { (1,1), (1,2), (1,3), …, (6,6) } | Ω | = 36 Megj.: két különböző kocka / pénzérme / …

11 11 Def.: Esemény: Tetszőleges A  Ω részhalmaz.  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Pl. A := " a két kocka összege = 5 " = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }  Ω. Def.: Lehetetlen esemény = …... =   Ω (Solt: O=  ) biztos esemény = … … = Ω  Ω (Solt:I=Ω=T) ellentett esemény = tagadás = Ω \ A = A komplementere  Kísérlet végeredménye: x  Ω Def.: A esemény bekövetkezik: x  A.  A Ω Def.: A és B kizárják egymást /?/ ( x  A => x  B és x  B => x  A ) tehát: A és B diszjunktak A  B = . 

12 12 Eseményalgebra = esemény műveletek = halmazműveletek Def.: A vagy B = A  B =: A+B események "összege", A és B = A  B =: AB események "szorzata", nem A = A — =: A — esemény "ellentettje", (= tagadás / komplementer) A => B = A  B = " A maga után vonja B -t" (= A -ból következik B) 

13 13 Halmazműveletek tulajdonságai: Eseményalgebra: >>> ld. ### Solt Gy. 47.old.

14 14 Pl: disztributivitás (széttagolhatóság) : halmazelméletben: valószínűségszámításban A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B+C ) = (A  B)+(A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A+(B  C) = (A+B)  (A+C) De Morgan - azonosságok:____ __ __ A  B = A  BA+B = A  B____ __ __ A  B = A  BA  B = A + B

15 15 2a) A valószínűség axiómái és következm. (Kolmogorov) P(A) = ? A esemény valószínűsége (esélye):  R DEF: P : A  p  R P : P(  )  R tetszőleges függvény amelyre: i) 0  P(A)  1 ii) P(  ) = 0, P(  ) = 1, (100% ill. 0% ) iii) ha A és B kizáróak => P(A  B) = P(A)+P(B)  KÖV: tetszőleges A, B halmazokra P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)  !!!!! P(A)  T A / terület / !!!!!

16 16 KÖV: P(A - ) = 1 - P(A) (tagadás) ha A  B => P(A)  P(B) (A maga után vonja B -t)  DEF: A lehetetlen esemény, ha P(A) = 0. A biztos esemény, ha P(A) = 1.  Pl: A  N, A = { négyzetszámok } lehetetlen, mert P(A) = lim n   n / n = 0. !!!!! P(A)  T A / terület / !!!!!

17 17 DEF: teljes eseményrendszer = partíció = felosztás  = B 1  B 2  B 3 …  B n (lefed hézagtalanul) és B i  B k =  (  i  k) (nincs átfedés)  Állítás: Ekkor P(B 1 ) + P(B 2 ) + P(B 3 ) + … + P(B n ) = 1.  P(A) = T A

18 18 2.b) klasszikus (=kombinatorikus) valószínűségi mező Ha  véges és minden eleme egyenlő esélyű, akkor P(A) = | A | / |  | (= " k/ö ")  2.c) geometriai valószínűségi mező Ha  -t geometriai alakzattal szemléltethetjük, és P(A) a területtel / hosszal arányos, akkor P(A) = T A / T  = h A / h   !!!!! GYAKORLÁS !!!!! ### Solt Gy old. kimarad !!! ( Maxwell, Boltman, Bose, Einstein, Fermi, Dirac )

19 19 3.a) Feltételes valószínűség " Ha B bekövetkezett, akkor A -ról mit tudunk ? " DEF: jele: P (A | B) (" A feltéve B ") kiszámítása: P (A | B) := P(A  B) P(B) ha P(B)  0.  Szorzás-Tétel: P(A | B)  P(B) = P(A  B). 

20 20 Teljes valószínűség Tétele: Ha B 1, B 2, B 3, …, B n teljes eseményrendszer, P(B i )  0, akkor tetszőleges A  Ω eseményre P(A) = P(A|B 1 )  P(B 1 ) + P(A|B 2 )  P(B 2 ) + …+ P(A|B n )  P(B n ).  T A = T A  B1 + T A  B2 + …+ T A  Bn. P(A) = T A

21 21 Bayes Tétele: (= Megfordítási Tétel) P (B | A) := P(A | B)  P(B) P(A) 

22 22 3.b) események függetlensége Megj: A és B független  P(A|B) = P(A) és P(B|A) = P(B)  Áll:  P(A  B) = P(A)  P(B) Def: ez utóbbi.  Megj: természet  fenti képlet. 

23 23 4. Valószínűségi változók / v.v. /  = " a kísérlet (mérés) számszerű végeredménye "  (z) = amit éppen mérünk, z elemi eseménynél. Def: /mat./  :   R tetszőleges függvény.  : z |  x =  (z)  R valós szám.  !!!  lehet : DISZKRÉT: Im(  ) = {x 1, x 2, …, x n, … } /felsorolható/ vagy FOLYTONOS: Im(  ) = R // Im(  ) = ÉK = a mérés összes lehetséges eredménye //

24 24 DISZKRÉT v.v. eloszlása : Im(  ) = { x 1, x 2, x 3, x 4, …, x n, … } eloszlása := { p 1, p 2, p 3, p 4, …, p n, … } ahol p i := P(  =x i ) /a méréseredmények val./   Axiómák: /alaptulajdonságok/ (i) 0  p i  1 (ii)  i=1 p i = 1.   DEF./mat./: Tetszőleges {p 1,p 2,…,p n,…} sorozat a fenti két tulajdonsággal. 

25 25 FOLYTONOS v.v. eloszlása = SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY ábra: f(x)

26 26 DEF: Sűrűségfüggvény axiómái /  folytonos/ (i)0  f(x)  x  R (ii)  R f(x) dx = 1.  Alkalmazása: P( a    b) = a  b f(x) dx = F(b) - F(a) ahol F(x) =  f(x) dx = primitív függvény = eloszlásfüggvény !!!pontosabban: DEF: F(b) := P(   b) = -   b f(x) dx.  vagy f(x) = F'(x) = deriváltfüggvény = sűrűségfüggvény /Szótár!/ DEF: Eloszlásfüggvény axiómái (  x  R) /  tetszőleges/ (i) 0  F(x)  1, (ii) F(x) monoton nő, (iii) lim x   F(x) = 0, lim x  +  F(x) = 1, (iv) F(x) balról folytonos: lim x  c- F(x) = F(c) /"teli karika"/ 

27 27 "Tipikus" kérdések (és a válaszok) P(ξ

28 28


Letölteni ppt "1 Valószínűségszámítás dr. Szalkai István. 2 TARTALOM: 0. Kombinatorika elemei (segédeszközök) 1. Eseményalgebra 2. A valószínűség: a) axiómák és következményeik."

Hasonló előadás


Google Hirdetések