FRAKTÁLOK.

Az előadások a következő témára: "FRAKTÁLOK."— Előadás másolata:

1 FRAKTÁLOK

2 Mi a fraktál? Olyan ponthalmaz (alakzat), amelyet úgy lehet részekre bontani, hogy minden rész egy kisebb méretű másolata az egésznek (legalábbis megközelítőleg). önmagához hasonló Benoit Mandelbrot adta a fraktál nevet (frangere), jelentése: (szabálytalan) töredék

3 Önhasonlóság Az alakzat olyan kisebb részekből áll, amely részek
hasonlóak az alakzathoz (ezeknél a példáknál ez nem egészen van így )

4 Konstrukció iterációval

5 Példák fraktálokra I. Sierpinski-féle háromszög:
Koch-féle görbe (hópehely):

6 Példák fraktálokra II. Mandelbrot halmaz:

7 Mire alkalmazhatók a fraktálok?
Alkalmasak bizonyos objektumok leírására, mint pl. felhők, hegyek, növények, amelyek egyszerű geometriai formáknak nem felelnek meg.

8 Példák természetes „fraktálokra”

9 Matematikai definíció
Fraktál: olyan halmaz, aminek a fraktál dimenziója nagyobb a toplógiai dimenziójánál.

10 Topológiai dimenzió Pont – 0, egyenes szakasz – 1, felszín - 2
Egy H halmaz topológiai dimenziója k, ha minden pontjának van olyan tetsz. kicsi környezete, aminek a határa H-ban egy k-1 dimenziós halmaz és k a legkisebb ilyen tulajdonságú nem-negatív egész.

11 Fraktál dimenzió Tegyük fel, hogy a H halmaz N darab
hasonló részből áll, amelyek s-szeres (s<1) nagyításai H-nak.

12 Nem fraktálok Pl.: egyenes szakasz Pl.: négyzet

13 Fraktál Pl.: Koch-féle görbe N=4, s =3 N=4, s =3

14 Mandelbrot-halmaz Azon c komplex számok halmaza, amelyekre a z0 = 0, zi+1 = zi2+c iteráció eredménye nem a végtelenbe konvergál. (|c|=<2) majdnem önhasonló, egyszeresen összefüggő

15 Julia-halmazok Azon z komplex számok halmaza, amelyekre a z0 = z, zi+1 = zi2+c iteráció eredménye nem a végtelenbe konvergál (c itt paraméter, azaz minden c-hez tartozik egy Julia-halmaz). c = 0.75

16 Julia-halmaz II.

17 Julia-halmazok Különféle c értékekre.

18 Fraktál hegyek Osszunk egy háromszöget három rész-háromszögre, mozdítsuk el a középpontokat. Ismételjük meg a folyamatot a rész-háromszögekre, stb. A sík pontjaihoz rendeljünk magassági értékeket annak megfelelően, hogy hány háromszög fedi azokat le / melyik a legkisebb lefedő háromszög.

19 Fraktál hegyek

20 Plazma felhők Hasonló a fraktál hegyeknél alkalmazott módszerhez, csak itt négyzeteket osztunk részekre és a végén nem magassági, hanem fényességi értékeket készítünk.

21 Fraktál növény

22 Animált fraktál

23 3D