Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A waveletek és néhány alkalmazásuk Speciálkurzus 2009 tavasz Tóth Gyula BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A waveletek és néhány alkalmazásuk Speciálkurzus 2009 tavasz Tóth Gyula BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék."— Előadás másolata:

1 A waveletek és néhány alkalmazásuk Speciálkurzus 2009 tavasz Tóth Gyula BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék

2 2 A kurzus áttekintése Bevezetés a waveletekhez –A wavelet transzformáció (WT) –Matematikai előkészítés Folytonos wavelet transzformáció (CWT) –Matematikai alapok –Alkalmazások Diszkrét wavelet transzformáció (DWT) –Matematikai alapok –Alkalmazások Sokskálás analízis (MRA) Esettanulmányok, további alkalmazások Összefoglalás

3 3 A kurzus célja A waveletek mint matematikai eszköz megismerése olyan mélységig, hogy képesek legyünk ezt az eszközt a saját adataink elemzésére felhasználni Meg tudjuk ítélni milyen eljárást célszerű alkalmazni az adott feladathoz Képesek legyünk a kapott eredményeket helyesen értékelni, elemezni El tudjuk kerülni a gyakori csapdákat és buktatókat

4 4 A szükséges (elő)ismeretek Lineáris algebra, vektortér Függvényterek, ortogonalitás Fourier transzformáció, DFT, FFT Lineáris rendszerek, konvolúció Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD

5 1. Bevezetés a waveletekhez Speciálkurzus 2009 tavasz

6 6 Meghatározás A wavelet analízis vagy wavelet transzformáció egy olyan matematikai eszköz, amely képessé tesz minket arra, hogy egy adott jelet vagy függvényt: helyzet lépték (skála) irány szempontjából is analizáljunk.

7 7 Mi a wavelet analízis (WT)? A „wavelet” szó jelentése: kis hullám, hullámocska A wavelet időben/térben és frekvencia szempontjából is lokalizált ψ(t) elemző függvény (t: idő/tér változó) –A Fourier transzformáció elemző függvénye, e iωt = cos(ωt) + isin(ωt) térben nem lokalizált A lépték (skála) szerinti felbontást a kiválasztott elemző wavelet nyújtásával/zsugorításával érjük el –Ezután a waveletet konvolváljuk a jellel, ami megadja a hasonlóság mértékét Eredmény: a jel helyzet és skála szerinti felbontása

8 8 Idő/tér és frekvencia lokalizáció

9 9 Idő – frekvencia határozatlansági elv f(t) – jel, F(ω) – az f(t) Fourier transzformáltja t 0 és ω 0 jelölje az idő/frekvencia tartományban a súlyozott négyzetátlagot Azt mondjuk, hogy az f(t) jel az idő-frekvencia tartományban (t 0, ω 0 )-ban lokalizált Ekkor az s, S szórások mérik az f jel (t 0, ω 0 ) körüli eloszlásának szélességét. Ezek az s 2, S 2 varianciák négyzetgyökei Idő – frekvencia határozatlansági elv: s 2 · S 2 ≥ ¼ idő-frekvencia sík δ(t-t k ) bázis e iω k t báziswavelet bázis WFT (STFT) bázis

10 10 Wavelet analízis

11 11 Előnyök Gyorsan változó jelek, tranziensek jobban elemezhetők waveletek segítségével mint sin/cos függvényekkel A jel frekvenciaösszetevőinek, energiájának helyfüggő változásai a térben lokalizált waveletekkel jól leírhatók (ún. nem stacionárius jelek - sin/cos erre alkalmatlan) A wavelet analízis a Fourier analízisnek, azaz a jel frekvenciaösszetevőkre bontásának egy- fajta kibővítéseként sokfajta jel teljesebb elemzését adja

12 12 Hátrányok Az elemző wavelet megválasztása némiképpen tetszőleges A wavelet analízis erőforrás igényesebb a Fourier analízisnél (2 változó: helyzet, skála) A folytonos wavelet transzformáció (CWT) nem ortogonális felbontást ad Nehezebb számszerűsíteni és standardizálni az analízis eredményeit Kevésbé kiforrott eljárás, mint a jel Fourier analízise

13 13 Alkalmazások A waveletek alkalmazása igen szerteágazó és folyamatosan bővül. Néhány terület: Adat és képtömörítés (JPEG2000, FBI) Lineáris egyenletrendszer átalakítása ritkán kitöltött mátrixú egyenletrendszerré Fraktálok, káosz, turbulencia modellezése Szűrés, zajszűrés Időben változó tulajdonságú jelek analízise (EKG, El Niño, szeizmikus hullámok, stb…)

14 14 JPEG2000 veszteséges képtömörítés wavelet transzformálteredeti képrekonstruált kép a tárigény 236%-al csökkent

15 15 Ujjlenyomatok tárolása egy ujjlenyomat wavelet transzformáltja Egy digitalizált nagyfelbontású ujjlenyomat tárigénye 0.5 MB Egy teljes ujjlenyomat kártya kb. 10 MB tárhelyet igényel 200 millió ember ujjlenyomatának tárolása 2000 terabájt (TB) tárhelyet igényel Wavelet tömörítéssel ez legalább 1/15-ödére csökkenthető

16 16 Turbulencia Örvénymezők és wavelet transzformáltak (Schneider et al. 2003)

17 17 EKG EKG és wavelet transzformáltja (Addison, 2005)

18 18 El Niño SST Évszakos El Niño tengerfelszín hőmérséklet anomáliák és wavelet spektrum (Torrence and Compo 1998)

19 19 Szűrés (inverz WT)

20 20 Nemstacionárius jel analízise , 500, 750 és 1000 Hz-es szinusz jelek 10% normál eloszlású zaj mintavételi frekvencia 2 · 2500 Hz

21 21 Nemstacionárius jel analízise 2. TISA: Time-integral squared amplitude

22 22 Történet Haar Alfréd Haar wavelet (1909) Gábor Dénes Ablakolt (Short-Time) Fourier Transzformáció, STFT (1946) Jean Morlet Folytonos wavelet transzformáció, CWT (1984) Stephane Mallat, Yves Meyer Diszkrét wavelet transzformáció, DWT Sokskálás analízis, MRA (1988)

23 23 Matematikai alapok Lineáris algebra, lineáris tér Függvényterek, ortogonalitás Fourier transzformáció, DFT, FFT Lineáris rendszerek, konvolúció Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD

24 24 Lineáris algebra, vektortér Vektortér: Az E vektor halmaz a valós/komplex R/C számok teste felett akkor vektortér, ha tetszőleges x, y  E vektorra két művelet, az összeadás és α  R/C skalárral való szorzás értelmezett: x + y, αx a vektorokat gyakran szám n-esekkel jellemezzük (n dimenziós vektortér): x=(x 1, x 2, … x n ) E-nek egy M részhalmaza E-nek lineáris altere, ha minden x, y  M vektorra x + y, illetve tetszőleges α  R/C skalárra αx is M-ben van Ha S  E, akkor az S által kifeszített altér az S vektorainak összes lineáris kombinációja: span(S) = { Σ i α i x i | α i  R/C, x i  S } Az x 1, x 2, … x n vektorok lineárisan függetlenek, ha Σ i α i x i = 0 csak akkor igaz, ha az összes α i zérus Egy {x 1, x 2, … x n } vektorrendszer E-nek bázisa, ha E=span(x 1, x 2, … x n ) és x 1, x 2, … x n lineárisan függetlenek E végtelen dimenziós vektortér, ha végtelen sok lineárisan független vektort tartalmaz

25 25 Függvényterek, ortogonalitás Az E vektortéren értelmezett skalárszorzat (inner product) egy valós/komplex értékű függvény, amely E × E-n (vektor párok halmaza) értelmezett és teljesít bizonyos tulajdonságokat (pl. = + ; = α ; ≥ 0) Példa: R feletti komplex értékű függvények ill. szám n-esek vektorterében A skalárszorzattal ellátott vektorteret, ha teljes, Hilbert-térnek nevezzük. Az x vektorról azt mondjuk, hogy ortogonális (merőleges) az y-ra, ha = 0 Az x vektor normája az ||x|| = skalárszorzat. Vektorok egy {x 1, x 2, … x n } halmaza ortogonális, ha bármely két vektora ortogonális Ha minden vektor egységnyi normájú, akkor ortonormális vektorrendszer Ha az ortonormális vektorrendszer kifeszíti E-t, akkor E-nek ortonormális bázisa D. Hilbert

26 26 Ortogonális komplementer, Fourier-sor Ha adott egy E Hilbert-tér és ennek egy S altere, akkor S┴ a jele az S-nek E-ben vett ortogonális kompementerének. Ez a halmaz az {x  E | x ┴ S} elemekből áll. Ha S zárt, vagyis az S-ben levő minden vektor sorozatának határértékét is tartalmazza, akkor van egy egyértelműen meghatározott olyan v  S és egy egyértelműen meghatározott olyan w  S┴, hogy y = v + w. Ekkor azt írhatjuk, hogy E = S  S┴ azaz E az alterének és az altér ortogonális komplementerének a direkt összege. Példa Hilbert-térre: négyzetesen integrálható függvények L 2 (R) tere, vagyis |f(t)| 2 integrálható (nem végtelen). Ekkor a skalárszorzat = ∫ f(t)* g(t) dt és a norma ||f|| 2 = ∫ f(t) 2 dt. Az {x i } ortonormális rendszer E-nek bázisa, ha minden y  E vektor felírható y = Σ k α k x k Fourier-sor alakban. Az α k számok az y Fourier együtthatói, és α k =

27 27 Ortogonális projekció és LKN közelítés Egy vektort az E Hilbert-térben gyakran közelítenünk kell egy zárt S altérben fekvő másik vektorral Feltételezzük, hogy E szétválasztható, vagyis S-ben létezik az {x 1, x 2, …} ortonormált bázis. Ekkor y  E -nek az S-re vett ortogonális projekciója A d különbség vektor merőleges S-re Ennek a közelítésnek fontos tulajdonsága az, hogy legkisebb négyzetek (LKN) értelmében a legjobb közelítés, vagyis min||y – x|| az S-ben fekvő x-re akkor teljesül, ha x az y S-re vett ortogonális projekciója.


Letölteni ppt "A waveletek és néhány alkalmazásuk Speciálkurzus 2009 tavasz Tóth Gyula BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék."

Hasonló előadás


Google Hirdetések