Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

9. Diszkrét wavelet transzformáció, szűrők, sokskálás felbontás, operátor tömörítés Speciálkurzus 2009 tavasz.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "9. Diszkrét wavelet transzformáció, szűrők, sokskálás felbontás, operátor tömörítés Speciálkurzus 2009 tavasz."— Előadás másolata:

1 9. Diszkrét wavelet transzformáció, szűrők, sokskálás felbontás, operátor tömörítés Speciálkurzus 2009 tavasz

2 2 CWT és DWT kapcsolata Folytonos wavelet transzformáció (CWT) –Történetileg korábbi mint a DWT –Jel analízishez hasznos Diszkrét wavelet transzformáció (DWT) –Szűrőcsoportok, tükörszűrők –Sokskálás analízis (MRA) –Jel feldolgozáshoz (rekonstrukció, szintézis) hasznos Sokskálás felbontás (MRA, multiresolution analysis)

3 3 Ortogonális diszkrétizáció Mikor lehet az f jelet tökéletesen visszaállítani a mintavételezett folytonos wavelet spektrumból? Legyen a mintavételezés diadikus: CWT: számítjuk az f(t) függvény ψ ab (t) leány waveletekkel (b: eltolás, a: skála) vett konvolúcióját:

4 4 Diszkrét wavelet felbontás esetében Coifman és Meyer (1986) szerint létezik olyan teljes ortonormált ψ mn (t) bázis, melyre Az f(t) függvény ψ mn (t) bázisfüggvényekkel (n: eltolás, m: skála) történő felbontása,

5 5 Hogyan konstruálhatók alkalmas ψ mn bázisfüggvények? A választ a sokskálás felbontás (MRA) adja meg: Ha a ψ (t) wavelet függvény beilleszthető egy MRA- ba, akkor a diadikus diszkretizációja (a = 2 -j, b = 2 -j k) elvezet a diszkrét wavelet transzformációhoz (DWT) Ha viszont nincsen ilyen MRA az adott ψ (t) wavelethez, akkor ez a diszkretizáció nem ad lehetőséget egyszerű rekonstrukcióra. Az MRA szoros kapcsolatban van a szűrőcsoportokkal

6 6 Kettős tükörszűrők (QMF) Croisier, Esteban és Galand (1976): Lehetséges egy kettős szűrővel szétosztott és lemintavételezett jelet tökéletesen visszaállítani még akkor is, ha a szűrők nem ideálisak. analízis szintézis Quadrature Mirror Filters

7 7 Kettős tükörszűrő példa konvolúciós szűrők a legegyszerűbb szűrő: a konvolúció mátrixa:

8 8 A konvolúció mátrixa A szűrt jelből az eredetit nem lehet visszaállítani Mi szükséges ahhoz, hogy a szűrés megfordítható legyen?

9 9 A szűrés megfordítása Az egymás melletti számok átlaga mellett a különbségükre is szükség van a megfordításhoz A különbség képzés az alábbi konvolúciós szűrést jelenti: Most már valóban megfordítható a szűrés. Ha akkor

10 10 A szűrőpár viselkedése A H és G szűrők alul- és felüláteresztők: H G

11 11 A szűrés és megfordítása A H és G szűrőkkel végzett szűrés megfordítható.

12 12 A szűrés megfordítása Az inverzió redundáns – nem kell az összes y n, z n érték x n visszaállításához! y 2, z 2 pl. elhagyható: Sőt, H és G minden második sora fölösleges – alulmintavételezünk

13 13 A transzformáló mátrix Ha akkor az eredmény az alábbi mátrix:

14 14 A transzformáló mátrix inverze A mátrix inverze egyszerű, mert

15 15 Ortogonalizáció A transzformáló mátrix már majdnem ortogonális: Ha -et -vel szorozzuk, ortogonális lesz.

16 16 Diszkrét Haar wavelet transzformáció A W N elnevezése: Diszkrét Haar wavelet transzformáció A Haar szűrő: A h és g kettős tükör szűrő, mert x n torzítás nélkül visszaállítható, a szűrés tökéletesen megfordítható. xnxn xnxn

17 17 Szűrőcsoport, FTW A szűrés és lemintavételezés ciklikusan ismételhető. Ez a gyors wavelet transzformáció (FWT)

18 18 Sokskálás felbontás, MRA Egy L 2 (R)-ben adott jelet egymásba ágyazott V j alterekben fokozatosan közelítünk. Ezeket az altereket egyetlen φ(t) skálázó függvény eltolt és átskálázott változatai generálják. Ha V 0 a szakaszonként konstans függvények lineáris tere, Z-ben ugrásokkal, a φ(t) = χ [0,1) (t) karakterisztikus függvény és eltolt változatai V 0 ortonormális bázisa.

19 19 Nyújtási egyenlet Ha V 1 a szakaszonként konstans függvények lineáris tere, ½ Z-ben ugrásokkal, akkor V 0  V 1 és a √2 φ(2t – k) függvények V 1 ortonormális bázisa. skálázó függvény nyújtási egyenlete: Ortogonális komplementer tér

20 20 Wavelet A wavelet olyan ψ(t) függvény, amely a W j ortogonális komplementer terek bázisát adja, például V 0 ortogonális komplementer terét V 1 -ben. Haar wavelet esetében: wavelet függvény nyújtási egyenlete:

21 21 2D Wavelet transzformáció Van egy N x N-es méretű A mátrixunk (N páros) Mi lesz A wavelet transzformáltja? Ha W N A-t számítjuk, a DHWT-t A oszlopaira alkalmazzuk

22 22 2D Wavelet transzformáció Mit kell tennünk, hogy A sorait is transzformáljuk? Válasz: W N AW N T -t számítjuk

23 23 2D Wavelet transzformáció Blokkonként: B: átlagolás soronként és oszloponként V: átlagolás oszloponként és különbség soronként H: átlagolás soronként és és különbség oszloponként D: különbség soronként és oszloponként

24 24 Iteráció Első iteráció: A(200x200) Kumulatív jel energia A: piros, transzformált: barna

25 25 További iterációk Ha N páros, az iteráció folytatható Kumulatív jel energiák: tömörítés...

26 26 Közelítés, tömörítés Egy tipikus jel esetében a szomszédos minták erősen korreláltak Ez esetben a felüláteresztő G szűrő eredményeként előálló wavelet együtthatók kicsik lesznek és nagy részük sok esetben el is hagyható. Kézenfekvő alkalmazás teljesen kitöltött mátrixú egyenletrendszerek megoldása wavelet prekondicionálással, vagy integrál operátorok közelítése.

27 27 Lineáris egyenletrendszerek Teljesen kitöltött mátrixú rendszer A wavelet transzformáció mátrixa:

28 28 Transzformált együttható mátrix A transzformáció: A transzformált mátrix: (8 transzform. szint, küszöbérték)

29 29 A permutált mátrix Átrendezés után: átlósan domináns alakra történő átrendezés

30 30 Operátor tömörítés Integrál egyenlet: Megoldás Galerkin-módszerrel: f közelítő f n megoldását nem a H, hanem a közelítő H n alterében keressük meg:

31 31 Galerkin-módszer A közelítő megoldás maradéka, ortogonális H n -re: A Galerkin-egyenleteket kell megoldani α i -re.

32 32 Galerkin-módszer A közelítő megoldás maradéka, ortogonális H n -re: A Galerkin-egyenleteket kell megoldani α i -re.

33 33 Konjugált gradiens módszer A CG módszer konvergencia sebessége a μ max. és λ min. sajátértékektől függ: Ha ez közel van 1-hez, a konvergencia igen lassú Wavelet bázissal a megoldás javítható.

34 34 Példa Az alábbi integrál egyenletet oldjuk meg:

35 35 Példa Az alábbi integrál egyenletet oldjuk meg:

36 36 Wavelet prekondicionálás

37 37 Konvergencia


Letölteni ppt "9. Diszkrét wavelet transzformáció, szűrők, sokskálás felbontás, operátor tömörítés Speciálkurzus 2009 tavasz."

Hasonló előadás


Google Hirdetések