Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA 2010 tavasz Utoljára módosítva: 2010.02.17.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA 2010 tavasz Utoljára módosítva: 2010.02.17."— Előadás másolata:

1 1 MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA 2010 tavasz Utoljára módosítva:

2 2 A becslés alapfeladata Intervallumbecslés: „A nézettségi arány 95% valószínűséggel 29 és 35 % közé esik.” Pl. Hányan láttak egy TV műsort? Vesznek egy mintát, azaz, megkérdeznek 1300 embert, és ebből következtetnek, hogy a teljes sokaság hányadrésze látta a műsort. Pontbecslés Pl. „A minta alapján a sokasági nézettségi arány 32 %”. Jellemzően kétféle választ lehet adni:

3 3 Sokaság és minta A mintavétel módja lehet: véletlen és nem véletlen •A véletlen kiválasztás. Ismerjük a sokaság elemeinek mintába kerülési valószínűségét. A vél. minta fontos jellemzője: a reprezentativitás. –Egyszerű véletlen mintavétel •Visszatevéssel •Visszatevés nélkül –Rétegzett minta –Csoportos és többlépcsős minta

4 4 •Szisztematikus mintavétel (PL. a kijáratnál minden 10-ik vevő megkérdezése) •Kvóta szerinti minta •Koncentrált minta •Önkényes minta A nem-véletlen kiválasztás

5 5 A mintaátlag eloszlása A mintaátlag szórása és a sokasági szórás közötti összefüggés Alapkérdések: Tekinthető-e, ill. mikor tekinthető a mintaátlag eloszlása normális eloszlásúnak? A mintaátlag várható értéke és a sokasági átlag közötti összefüggés

6 6 A mintaátlag eloszlása •A mintaátlag valószínűségi változó (mintáról mintára változik), amelynek van –eloszlása, –várható értéke, –szórása. •A mintaátlag normális eloszlású, –Ha a sokaság normális eloszlású –Vagy: ha a minta elég nagy. (n > 30; pl. 100 elem) •Ha –a sokaság eloszlása nem ismert –és a minta kicsi (30 elem alatti), akkor a mintaátlag eloszlása sem ismert. (Ekkor további megfontolásokra van szükség.)

7 7 A mintaátlag eloszlásának paraméterei Ha a minta véletlen (a sokaság eloszlásától függetlenül, akár visszatevéses a mintavétel akár nem) akkor, • ( A mintaátlag várható értéke a sokasági átlag) •A mintaátlagok szórása, (standard hiba) –Visszatevéses mintánál: –Visszatevés nélküli mintánál: Ahol n / N a kiválasztási arány

8 8

9 9 PÉLDA sokaság és a minta közötti összefüggésre Vegyünk egy 5 elemű sokaságot. A sokaság elemei legyenek: (2, 3, 4, 5, 6). N =5 •Írjuk össze az összes lehetséges 2 elemű mintát! n = 2 (minden húzás után visszatesszük a kihúzott elemet.) •Ellenőrizzük, hogy a)A mintaátlagok várható értéke (átlaga) megyegyezik a sokasági átlaggal! b)A mintaátlag varianciája a sokasági variancia n-ed része! •Végezzük el visszatevés nélküli mintára is! Hogyan módosul ekkor a mintátlag varianciája?

10 10 Megoldás 1. (Visszatevéses minta esetén) •A sokasági átlag: •A sokasági szórásnégyzet ill. szórás: •A mintaátlagok átlaga: •A mintaátlagok szórásnégyzete: •Következtetés: A minta átlaga , ,5

11 11 Megoldás 2. (Visszatevés nélküli minta esetén) •A sokasági átlag: 4 •A sokasági szórásnégyzet: 2 ill. szórás: •A mintaátlagok átlaga: 4 •A mintaátlagok szórásnégyzete = •Következtetés: A minta átlaga 232, , ,5

12 12

13 13 A becslő-fv és a jó becslés kritériumai A becslő fv fogalma: A sokasági paraméter becslésére szolgáló, a mintaelemek értékétől függő függvény. pl. a mintaátlag egy becslőfv, mert értéke a mintaelemek értékétől függ, és ezzel becsüljük a sokasági átlagot. A jó becslés kritériumai •Torzítatlanság •Hatásosság •Konzisztencia

14 14 Torzítatlan becslések •A mintaátlag a sokasági átlag torzítatlan becslése • A minta szórása a sokasági szórás torzított becslése. A minta korrigált szórása már torzítatlan • mintabeli arány a sokasági aránynak torzítatlan becslése Vagy:

15 15 A jó becslés kritériumai (folyt) •Hatásosság: a becslőfüggvény szórása. Minél kisebb a szórása, annál hatásosabb •Konzisztencia (az a tulajdonság, hogy egyre nagyobb mintát véve egyre pontosabb becslést kapunk)

16 16 BECSLÉS A sokasági várható érték intervallum-becslése •A sokasági várható értéket a mintaközéppel becsüljük. Ez így egy torzítatlan pontbecslés, - amely nem fog pontosan egybeesni a sokaság tényleges várható értékével. •Meg tudunk azonban adni egy intervallumot, amelybe a sokasági várható érték egy előre adott (pl. 95%-os) valószínűséggel beleesik.

17 17 A sokasági átlag intervallumbecslése 95 %-os megbízhatósági szint mellett Ismerjük a mintaátlag eloszlását, és szórását. Tudjuk, hogy Kérdés: mekkora az az intervallum, amelybe a véletlen minta átlaga, ill. annak standardje 95 % valószínűséggel esik? Tehát 95 % a valószínűsége annak, hogy a sokasági a mintaátlag 1,96 szórásnyi környezetében található. Átrendezve: Rövidebb formában:

18 18 Az intervallumbecslés általános gondolatmenete Annak a valószínűsége, hogy Átrendezve Tömörebben:

19 19 Kifejezések Az (1-  ) valószínűség a megbízhatósági szint, vagy konfidencia-szint Az (1-  ) valószínűséghez tartozó intervallum a megbízhatósági intervallum vagy konfidencia- intervallum Aszorzat a maximális hiba vagy hibahatár.

20 20 PÉLDA - Átlagbecslési alapfeladat A főiskolások sokaságából 100 fős, azonos eloszlású véletlen mintát vettünk. A mintaátlag 178 cm-nek adódott. A sokaságról tudjuk, hogy normál eloszlású, 15 cm-es szórással, nem ismerjük viszont a sokasági átlagot. a)Adjon becslést a sokasági átlagra 95%-os megbízhatósági szinten! b)Hogyan változna az eredmény, ha a megbízhatósági szint csak 90%-os lenne?

21 21 További figyelembeveendő problémák •Ha nem független a mintavétel. •Ha nem ismerjük a sokasági szórást,

22 22 A nem független mintavétel esete A standard hiba kisebb lesz, ahol az n /N a kiválasztási arány.

23 23 Példa Becslés – nem független mintavétellel a)Becsülje meg a cég dolgozóinak átlagbérét, ha a megbízhatósági szint 95%! b)Hogyan változna az eredmény, ha a vizsgált cég dolgozóinak száma fő lenne, de az egyéb adatok változatlanok maradnának? Egy 200 fős cég dolgozóiból egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztottunk 100 főt, hogy megbecsülhessük a dolgozók átlagbérét. A mintaátlag 82 eFt. A sokaságról tudjuk, hogy normál eloszlású 15 eFt szórással Megoldás

24 24 Ha a sokasági szórás nem ismert Ha nem ismerjük a sokasági szórást, • akkor a mintából becsüljük. A korrigált mintaszórással számolunk: • és (n -1) szabadságfokú t-eloszlással

25 25 A Student (t) eloszlás használata Mikor? Ha az alapsokaság szórása, nem ismert. •kis minta (n<30) esetén kötelező, •nagy minta (n>30; az n=100 már nagy minta!) esetén a standard normális eloszlás z- je is használható Miért? mert a mintátlag standardje nem a standard normál eloszlást követi, hanem a nagyobb szórású t-eloszlást. A mintából becsült szórás használata esetén a becslés bizonytalanabb.

26 26 A Student (t) eloszlás ábrája különböző mintanagyságok mellett

27 27 PÉLDA (Becslés, – a sokasági szórás nem ismert) Egy 5 ezer fős egyetemen 9 fős egyszerű véletlen minta alapján szeretnénk becslést adni a matematika vizsgára fordított tanulási időre. A normáleloszlás feltételezhető. A mintaátlag 16 óra. A minta korrigált szórása 4 óra. a)Adjunk becslést az egyetemi készülési átlagra 95%-os megbízhatósági szint mellett! b)Hogyan változna az eredmény, ha 100 fős mintára vonatkozna a fenti átlag és korrigált szórás?

28 28 Értékösszeg-becslés esetén Megszorozzuk N-nel •a mintából becsült átlagot •és a  maximális hibát (hibahatárt) Egyébként minden ugyanúgy megy, mint az átlag-becslésnél.

29 29 PÉLDA (Értékösszeg becslése) Egy főiskola hallgatójának éves színházjegy-vásárlásait vizsgálták mintavételes felméréssel. A sokaság normál eloszlása feltételezhető. A 100 fős mintában az éves összes vásárlási érték Ft volt. Az átlagtól való eltérés a mintában átlagosan 680 ft. •Mennyi a mintaátlag standard hibája? •Becsülje meg 95%-os valószínűséggel, hogy mennyi az egy hallgatóra jutó színházjegy vásárlás értéke a vizsgált főiskolán! •Mennyi a főiskolások által szinházjegyre költött teljes összeg maximális értéke? (A megbízhatósági szint továbbra is 95%)

30 30 Az átlagbecslés lépései (Áttekintés) 1. A becslőfv az 2. A becslőfv eloszlása: normális vagy Student t? –Ismert-e a sokasági szórás? –Ha nem: a minta nagy vagy kicsi? 4. A konf. intervallum kiszámítása 5. Az eredmény értelmezése • Ha a minta visszatevés nélküli, 0,05 alatt van-e az (n/N) arány? • Független-e (visszatevéses-e) a minta? 3. A standard hiba kiszámítása Adott konfidenciaszinthez tartozó z vagy t meghatározása (táblázatból v. szám.géppel)

31 31 Minta-nagyság meghatározása EV mintánál •Visszatevéses eset: •Visszatevés nélküli eset:

32 32 PÉLDA (Folyt) Értékösszeg becslése, mintanagyság meghatározása Egy főiskola hallgatójának éves színházjegy-vásárlásait vizsgálták mintavételes felméréssel. A sokaság normál eloszlása feltételezhető. A 100 fős mintában az éves összes vásárlási érték Ft volt. Az átlagtól való eltérés a mintában átlagosan 680 Ft. KÉRDÉS: Ha az - átlagra vonatkozó – becslés hibahatárát 80 forint alá szeretnénk szorítani, mekkora mintára lenne szükségünk?

33 33 Köszönöm a figyelmüket!

34 34 HIVATK. •Ez itt egy hivatkozás a 22-ik diához Vissza


Letölteni ppt "1 MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA 2010 tavasz Utoljára módosítva: 2010.02.17."

Hasonló előadás


Google Hirdetések