Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss elimináció, Cramer-szabály Dr. Kovács Sándor DE GVK Gazdaságelemzési és Statiszikai Tanszék.

Az előadások a következő témára: "Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss elimináció, Cramer-szabály Dr. Kovács Sándor DE GVK Gazdaságelemzési és Statiszikai Tanszék."— Előadás másolata:

1 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss elimináció, Cramer-szabály Dr. Kovács Sándor DE GVK Gazdaságelemzési és Statiszikai Tanszék

2 Lineáris egyenletrendszerek
Egyismeretlenes egyenletrendszerek megoldása:

3 Lineáris egyenletrendszerek
Példa: Az édesanya jelenleg 27 évvel idősebb a lányánál. A lány életkora 6 év múlva az édesanya jelenlegi korának az ötöde lesz. Hány éves a lány? Hol van az édesapa most?

4 Lineáris egyenletrendszerek
Definíció: Az alábbi egyenletek halmazát lineáris többismeretlenes egyenletrendszernek nevezzük: szimbólumok az együtthatók, valós számok szimbólumok az ismeretlenek szimbólumok valós számok

5 Lineáris egyenletrendszerek
megjegyzés: A lineáris egyenletrendszert homogénnak nevezzük ha ellenkező esetben inhomogén az egyeneletrendszer. Ha egy egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor ellentmondásos, egyébként megoldható. Ha pontosan egyetlen megoldás létezik, akkor reguláris, ha több megoldás van akkor irreguláris. Két egyenletrsz. ekvivalens, ha megoldásaik azonosak

6 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval
Tétel: Minden lin. egyenletrsz. véges sok lépésben vele ekvivalens trapéz alakú lineáris egyenletrendszerré alakítható. Az egyenletrsz. pontosan akkor oldható meg, ha a hozzátartozó trapéz alakú lineáris egyenletrendszer azon egyenleteiben, amelynek a bal oldalán csupa 0 áll, a jobb oldali konstansok is 0-val egyenlőek.

7 Gauss elimináció menete
Legyen adott egy (1) alakú lin. egyenletrsz. Tegyük fel, hogy Az 1. egyenletet osszuk el Az 1. egyenlet a 2. egyenlethez adjuk hozzá, így a 2. egyenletben az ismeretlen nem szerepel. Hasonlóan az i-edik egyenlethez adjuk hozzá az Ezen ekvivalens átalakításokkal az alábbi egyenletrsz.hez jutunk:

8 Gauss elimináció menete
Tekintsük a maradék (3) alakú egyenletrsz.-t, amely k-1 egyenletből és n-1 ismeretlenből áll: Ha (3) megoldható, akkor (2) is, és ha megoldása (3)-nak, akkor megoldásai (2)-nek is hozzávéve az értéket.

9 Gauss elimináció menete
Az eljárást megismételjük a (3) egyenletrendszeren, azaz az 1. egyenletet osszuk el Az 1. egyenlet a 2. egyenlethez adjuk hozzá, így a 2. egyenletben az ismeretlen nem szerepel. Hasonlóan az i-edik egyenlethez adjuk hozzá az Ezen ekvivalens átalakításokat addig ismételjük míg a (4) alakú egyenletrszerhez jutunk:

10 Példa Gauss eliminációra
Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldását: Az ismeretlenek együtthatóit és a jobboldali konstansokat az alábbi egyszerű alakba rendezzük:

11 Példa Gauss eliminációra
Ekvivalens átalakításokkal megoldjuk az egyenletrendszert Az 1. sor 2-szeresét a 2. sorhoz adjuk, az új 2. sort leírjuk A 3. sor 6 szorosához adjuk a 2. sor 5 szörösét, az új 3. sort leírjuk A 3. sorból kivonjuk az 1. sort, az új 3. sort leírjuk

12 Példa Gauss eliminációra
Határozzuk meg az egyenletrendszer megoldását: Megoldás:

13 Cramer-szabály Tekintsük az alábbi n egyenletből és n darab ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszert: Legyen A az egyenletrendszer együtthatómátrixa, és tegyük fel, hogy A determinánsa nem 0. Ekkor ahol annak az mátrixnak a determinánsa, amit úgy kapunk, hogy az A mátrix i-edik oszlopát kicseréljük

14 Példa Cramer-szabályra
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert: Először kiszámoljuk az A determinánsát: Mivel A nem 0 ezért megoldható Cramer-szabállyal az egyenletrsz.

15 Példa Cramer szabályra
A vektort kicseréljük az A megtrix megfelelő oszlopaival, az így kapott mátrix determinánsával kapjuk a megoldásokat:

16 Példa Cramer szabályra
A megoldások:

17 Példa Gauss Eliminációra
Egy vállalkozó 4 növényt termel, melyek fajlagos (1 ha-ra eső) erőforrás szükséglete, illetve a felhasznált erőforrások : Hány hektáron termeljék az egyes növényeket? Oldjuk meg a feladatot Gauss eliminációval, írjuk fel az egyenlet- Rendszer mátrixos alakját!

18 Példa Gauss Eliminációra
A vállalkozó a 4 növényt x,y,z,v hektáron termeli, ekkor a felhasznált erőforrásoknak egyeznie kell a kapacitásával:

19 Példa Gauss Eliminációra
A feladat megoldása: A 2. sor – 2 x 1. sor A 3. sor – 1. sor 3 x 3. sor – 2 x 2. sor Megoldás: X=1;Y=2;Z=3;V=1