Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Elemi bázistranszformáció Vektorok lineáris kombinációja Bázisai Elem bázistranszformáció Vissza.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Elemi bázistranszformáció Vektorok lineáris kombinációja Bázisai Elem bázistranszformáció Vissza."— Előadás másolata:

1

2 Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Elemi bázistranszformáció Vektorok lineáris kombinációja Bázisai Elem bázistranszformáció Vissza a tartalomhoz

3 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó 1.A a+  b=0 csak =  =0 esetén teljesülhet, ekkor a és b vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük Vektorok lineáris kombinációja Az n dimenziós a és b vektorok lineáris kombinációjának nevezzük a d= a+  b vektort. Ha d=0 két eset állhat fenn: 2. Különben a két vektor lineárisan összefüggő Másképp: egyik vektor a másik számszorosaként kifejezhető:

4 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Példák: Lineárisan összefüggőek, hiszen Lineárisan függetlenek, mert 2= 4 és 3= 2 egyidejűleg nem teljesülhet 1.

5 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Szemléletesen: Két 2 ill. 3 dimenziós vektor akkor és csakis akkor összefüggő, ha párhuzamosak, azaz egy „egyenesen vannak. 2. Állítsuk elő a és b lineáris kombinációjaként d-t! Az egyenletrendszert megoldva =2,  =-1 adódik, tehát d=2a-b Most állítsuk elő a fenti a és b vektor segítségévelvektort! Nem lehet, mivel a kapott egyenletrendszer ellentmondó. 3.

6 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Összességében elmondhatjuk, hogy d vektor az a és b vektorok síkjában fekszik, a, b, d vektorok összefüggőek, d előállítható a és b lineáris kombinációjaként. e vektor nincs benne az a és b vektorok által kifeszített síkban, d lineárisan független a és b vektoroktól, nem állítható elő azok lineáris kombinációjaként.

7 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Általános definíciók és tételek A b vektor az a 1, a 2, …a n vektorok lineáris kombinációja, ha b= 1 a a 2 +…+ n a n Az a 1, a 2, …a n vektorokat lineárisan független vektoroknak nevezzük, ha 1 a a 2 +…+ n a n =0 csak 1 = 2 =… n =0 esetén áll fenn Tétel: Az n dimenziós térben maximálisan n db lineárisan független vektor vehető fel

8 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Hogyan, hányféleképpen választhatók ki egy vektortérben a lineárisan független vektorok? Következmény: Az n dimenziós térben n db lineárisan független vektor segítségével minden vektor megkapható, mint ezek lineáris kombinációja.

9 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Az n dimenziós tér n db lineárisan független vektorát bázisnak nevezzük Következmény: Az n dimenziós egységvektorok összessége bázist alkot, ez a triviális bázis Bázis Például:

10 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Legyen a 1, a 2, … an an az n dimenziós tér egy bázisa, ekkor az n dimenziós tér tetszőleges vektora megadható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként. Például: b=x 1 a 1 +x 2 a 2 + … +x n a n, az x 1, x 2, … xn xn számokat a b vektor a 1, a 2, … an an bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük. Bázisra vonatkozó koordináták:

11 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Határozzuk meg avektor bázisra vonatkozó koordinátáit! (b=x 1 a 1 +x 2 a 2 +x 3 a 3 )

12 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Egyenletrendszer megoldása x 1 =2, x 2 =-1, x 3 =1 tehát b=2a 1 -a 2 +a 3 Általában az adott bázisra vonatkozó koordinátákat egy n ismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldásával kereshetjük meg. Kérdés: Mit jelent, ha az egyenletek ellentmondóak, ill. ha a megoldás nem egyértelmű?

13 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó d koordinátái a, b bázisra vonatkozóan: (2, 1) Elemi bázistranszformáció d koordinátái e 1, e 2 bázisra vonatkozóan: (6, 5)

14 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Két, vagy több dimenzióban a bázisvektorok végtelen sokféleképpen választhatók meg. Vegyünk fel például három háromdimenziós, lineárisan független vektort: Az első vektor tetszőleges lehet A második vektor meghatározásánál csak arra kell ügyelni, hogy ne legyen az első skalárszorosa (így lesz lineárisan független a két vektor) A harmadik úgy lesz lineárisan független az első kettőtől, ha különbözik minden lineáris kombinációjuktól. Bázistranszformáció

15 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Ha lerögzítettük a bázist az adott n dimenziós tér minden vektorának koordinátái egyértelműen adhatók meg. Ha más bázist választunk természetesen változnak a vektorok koordinátái is. (Ezért nevezzük a koordinátákat adott bázisra vonatkozó koordinátáknak.) Egyik bázisról a másikra való áttérést bázis- transzformációnak nevezzük. Ha az egyik bázis a szokásos egységvektorok bázisa elemi bázistranszformációról beszélünk.

16 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Nézzünk először egy két dimenziós példát: A bázisvektorok legyenekés A generált vektorok Most cseréljük ki a 2 és b 2 vektorokat A bázisvektorok legyenekés A generált vektorok

17 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Könnyen ellenőrizhető, az előző példa alapján, hogy a 3 dimenziós euklideszi térben a következő 3 vektor bázist alkot. Állítsuk elő a fenti három bázist alkotó vektorból b 1, b 2, b 3 generált vektorokat a következőképpen: (1) b 1 =a 1 +a 2 +a 3 (2) b 2 =2a 1 -a 3 (3) b 3 =2a 2 +a 3 Vonjuk ki a bázisból a 1 vektort és vigyük be helyette b 2 -t. Más szóval cseréljük ki a 1 -et és b 2 -t. A csere után a bázist alkotó vektorok b 2, a 2, a 3 lesznek, a generált vektorok pedig a 1, b 1, b 3 vektorok. Fejezzük ki (2)-ből a 1 -et: Ezután ezt helyettesítsük be (2)-be, így adódik.

18 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó A harmadik egyenlettel nincs tennivalónk, hiszen a kicserélt a 1 bázisvektor nem szerepel az előállításában. Eredményünk a következő: Ellenőrzés: Mi a feltétele a felcserélhetőségnek? Az, hogy b 2 =2a 1 -a 3 összefüggésből ki tudjuk fejezni a 1 -et,ez akkor lehetséges, ha b 2 a 1 -re vonatkozó koordinátája nem 0. Most nézzük a problémát egy kicsit általánosabban, de nem teljesen általánosan. Maradjunk a 3 dimenziós euklideszi térben, legyenek itt a bázisvektorok a 1, a 2, a 3, a generált vektorok b 1, b 2. A b 1, b 2 vektorok a 1, a 2, a 3 bázisra vonatkozó koordinátáit jelöljék az  i,  i i=1, 2, 3 valós számok. b1=1a1+2a2+3a3b2=1a1+2a2+3a3b1=1a1+2a2+3a3b2=1a1+2a2+3a3..

19 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó a2a2 Majd ezt helyettesítsük be a második egyenletbe: Nézzük meg ugyanezt egy kicsit áttekinthetőbben, táblázatba rendezve. 33 33 a3a3 22 22 a2a2 11 11 a1a1 b2b2 b1b1 a 2  b 1 csere,  2 –t generáló elemnek nevezzük, a generáló elem nem lehet 0. (Lapozzunk vissza a konkrét példánkhoz. Mi a feltétele a felcserélhetőségnek?) Foglaljuk táblázatba a 2  b 1 felcserélésekor kapott új koordinátákat is. a3a3 b1b1 a1a1 b2b2 A generáló elem helyére a reciproka kerül A generáló elem sorában levő koordinátákat elosztjuk a generáló elemmel A generáló elem oszlopában levő koordinátákat elosztjuk a generáló elem (-1)-szeresével A g. oszlop k. sorában a következőképpen kapjuk meg az új elemeket:, látható, hogy hányados egy adott oszlopban állandó, ezért célszerű a számításokat oszloponként végezni. b1=1a1+2a2+3a3b2=1a1+2a2+3a3b1=1a1+2a2+3a3b2=1a1+2a2+3a3 Hajtsuk végre az a 2, b 1 báziscserét. Először fejezzük ki a 2 -t az első egyenletből:

20 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Nézzünk még egy konkrét példát a bázistranszformációra: Adott a 1, a 2, a 3 bázis és b 1, b 2, b 3 generált vektorok. Végezzük el először az a 1  b 2, majd az a 2  b 1 báziscserét. b 1 =a 1 +a 2 +a 3 b 2 =2a 1 -a 3 b3=2a 2 +a 3 b1b1 b2b2 b3b3 a1a1 120 a2a2 102 a3a3 11 b1b1 a1a1 b3b3 b2b2 0 a2a2 102 a3a3 1 a2a2 a1a1 b3b3 b2b2 b1b1 102 a3a3 -2 Ellenőrizzük pl. b 3 -at:

21 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Vektorrendszer rangja (r): a vektorrendszert alkotó vektorok között felvehető lineárisan független vektorok maximális száma. A bázist mindig lineáris független vektorok alkotják, tehát a vektorrendszerből a bázisba vonható vektorok maximális száma adja meg a rangot. Ha egy vektorrendszer rangját szeretnénk meghatározni általában kiindulási bázisnak az e 1, e 2, …e n un. triviális bázist választjuk. A vektorok koordinátái a triviális bázisban a „szokásos „ koordináták.

22 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Határozzuk meg a következő vektorrendszer rangját: b1b1 b2b2 b3b3 b4b4 b5b5 e1e e2e e3e e4e b2b2 b3b3 b4b4 b5b5 b1b e2e e3e3 1-2 e4e4 112 Vegyük észre, ha a generáló elem sorában valahol 0 van, a 0 elemet tartalmazó oszlop értékei nem változnak, s ugyanígy, ha a generáló elem sorában található 0 elem, a hozzá tartozó sor marad változatlan. b3b3 b4b4 b5b5 b1b1 121 b2b2 12 e3e3 000 e4e4 000 Ha az eredeti bázis az egységvektoro k bázisa a kivont e vektorok oszlopát elhagyhatjuk, ezt az egyszerűbb írásmódot használjuk mi is.

23 Menü Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó A harmadik táblázatban már nem tudunk generáló elemet választani, hiszen a 3. és 4. sorban csupa 0 elem áll. Eredményünk azt jelenti, hogy csak két vektort tudtunk bevonni a bázisba, a vektorrendszer rangja 2. Az 1. táblázatban más generáló elemből is kiindulhattunk volna, ekkor is csak két vektort tudtunk volna bevonni a bázisba, de másik kettőt. Eredményünk így is felírható: b 3, b 4 és b 5 vektorok kifejezhetők b 1 és b 2 lineáris kombinációjaként. Egy vektorrendszerben annyi lineárisan független vektor van, amennyi a bázisba bevonható, ezért a bázitranszformációval azt is eldönthetjük, hogy egy vektorrendszer lineárisan független, vagy összefüggő. Ha a vektorrendszer minden eleme bevonható a bázisba a vektorrendszer lineárisan független, különben összefüggő. Fenti példánkban a b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 vektorok összefüggő vektorrendszert alkottak. Ez látszik egyenletrendszerből és a lineáris függetlenség definíciójából is. A 0 vektort a b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 vektoroknak nem csak a triviális lineáris kombinációja állítja elő. ( )

24 Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Vissza a tartalomhoz


Letölteni ppt "Készítette: Stettner Eleonóra és Tevelné Matejdesz Anikó Elemi bázistranszformáció Vektorok lineáris kombinációja Bázisai Elem bázistranszformáció Vissza."

Hasonló előadás


Google Hirdetések