Kockázat elemzés Dr. Koncsos László egy. Docens

Az előadások a következő témára: "Kockázat elemzés Dr. Koncsos László egy. Docens"— Előadás másolata:

1 Kockázat elemzés Dr. Koncsos László egy. Docens
BME Vízi Közmű és Környezetmérnöki tsz.

2 Statisztikai döntésfüggvények elméletének elemei
és azok alkalmazása

3 -Kockázat fogalma és matematikai leírása
-Ipari és környezeti katasztrófák -Védekezés, elhárítás lehetőségei

4 A Tisza és mellékfolyóinak árvízjárta területei és árvízi kitörései a szabályozások előtt (Ihrig D.)

5 A Tisza árvízvédelmi töltéseinek magasítása a folyószabályozás óta
A Tisza völgyben az első és másodrendű árvízvédelmi töltések hossza 1320 km, amelyekhez 119 km magasparti szakasz is tartozik. A magyarországi 600 km hosszú folyószakaszon a védvonalak jelenlegi hossza a folyó két partján 1085 km. A folyószabályozások során az eredeti árvédelmi töltéseken 1,5-2,5 m-t magasítottak, és szelvényprofiljukat is megváltoztatták.

6 A Tisza árterének feliszapolódás vizsgálata Szolnok, Alcsisziget melletti hullámtéren

7

8

9

10 Az esztelen erdőírtás következményei Kárpátalján

11 Tisza: a legnagyobb vízszintek alakulása

12 Detektálhatók a trendek? (Vásárosnamény)

13 Hidrodinamikai szimulációk: lehetséges árvízszint változások
1998 LEHETSÉGES ELŐREJELZETT 2 méter!

14 A Tisza vízgyűjtő ( km2)

15 Kockázat [Ft] töltésemelés tározás hullámtér r. [Ft] [m] klimaváltozás
Hullámtéri feltöltődés Területhasználat mód.

16

17 A rendszer 100 éves várható költsége:
i-edik állapot k i 100 S i

18 Kockázat-megelőzés K dK M dM dM

19 Árvízvédekezésre fordított vízügyi kiadások 1998-2001 [milliárd Ft]
Kockázat-megelőzés K Árvízvédekezésre fordított vízügyi kiadások [milliárd Ft] Évek Jelenlegi kiépítettség mellett (tényleges költségek) Kiépített védvonalak esetén (számított költségek) 1998 1.5 ~0,15-0,3 1999 7.5 ~0,75-1,5 2000 13.5 ~1,35-2,7 2001 6.5 ~0,65-1,3 Összesen: 29 ~2,9-5,8 dK M dM

20

21 A Balaton vízszintváltozása (klímaváltozás nélkül)
Mérések 2003 prognózis és észlelések

22 Balatonboglár (2003. november 11)
Siófoki vízállás: 22 cm Vizy Zsigmond

23 Balatonboglár (2005. október 13)
Siófoki vízállás: 110 cm Vizy Zsigmond

24 Feladat -döntéshozás támogatása -döntés függvényformában -cél: optimális döntés -Wald A.: Statistical decision functions Sequential analysis

25 Statisztikai eljárás is -> döntéshez vezet
(legegyszerűbb eset: valószínűségi változó várható értékének vagy szórásának meghatározása) Pl. hipotézis ellenhipotézis Döntés alapja: -véletlen ingadozásnak alávetett adatok, vagy statisztikák -hibás döntés -> kár -> döntési kockázat cél: a legkisebb kockázattal járó döntés kiválasztása

26 Statisztikai döntési eljárás
Példa: Szennyező anyag koncentrációjának szezonális maximuma: X -ez a mérések szerint exponenciális valószínűségi változó: Sűrűség fv. -Az eloszlás várható értékére döntést kell hoznunk Statisztikai döntés döntéstér

27 legyen Statisztikai minta A statisztikai minta elemei a múltbeli szezonális maximumok amelyek lényegesen nagyobb információtartalommal rendelkeznek, mint egy megfigyelés Mivel És E(x) legjobb becslése:

28 Másik lehetséges döntésfüggvény:
Statisztikai döntési eljárás: Megfigyeljük az X valószínűségi változó értékeit, és ennek alapján választunk egy d döntést a lehetséges döntések D halmazából, amelyet a gyakorlati probléma határoz meg. A D halmazt döntéstérnek nevezzük. A döntés megválasztása bizonyos szabály alapján történik. Ezt a szabályt döntésfüggvénynek nevezzük.

29 Veszteségfüggvény és kockázatfüggvény
Ha a döntésünket a választásra alapozzuk Az elkövetett hibához veszteségeket rendelhetünk, a döntés által okozott veszteség is a függvénye Legyen a veszteség pl. vagy

30 Tekintsük a veszteség átlagos mértékét:
Amely a döntés kockázata Példa: Legyen v. szennyezőanyag éves középértéke normális eo. : A középértékek statisztikai mintája:

31 Legyen a döntésfüggvény:
Legyen a veszteségfüggvény: A kockázatfüggvény:

32 Ami a döntés kockázata Válasszunk most másik döntésfüggvényt a veszteségfüggvény:

33 A kockázatfüggvény: esetünkben Melyik a jobb döntés?

34 Cauchy egyenlőtlenség alapján
-> Megengedhetetlen döntésfüggvény

35 Értékétől függően változik a kockázat, akkor mindkét
döntésfüggvény megengedhető Ha 2 1 a b Melyik döntésfüggvényt válasszuk?

36 Tekintsük a döntés tárgyát valószínűségi változónak
sűrűségfüggvénye: a priori eloszlás (ismertnek tételezzük fel) Ekkor a kockázat várható értéke: Amelyet Bayes-féle kockázatnak nevezünk

37 -Azt a döntést, amelyre a Bayes-kockázat minimális, az
a priori eloszláshoz tartozó Bayes-döntésnek nevezzük - A Bayes-döntés a minimális átlagos kockázatú döntés Ha a valószínűségi változó véges számú értéket vehet fel, akkor az a priori eloszlás: Ekkor a Bayes kockázat:

38 Ha Különböző döntésfüggvények, akkor mindegyikre kiszámítjuk a Bayes-fále kockázatot, és azt a döntésfüggvényt választjuk, amelyre a Bayes-kockázat a legkisebb Példa: t<2hét > d1 döntés t>2hét > d2 döntés Kritikus szennyezettség tartóssága

39 Veszteség mátrix Döntési változó: szennyezési koncentráció tetőzési szintje x=1, ha c<ch x=2, ha c>ch példa

40 Ha az a priori eloszlás nem ismert, akkor
Minimax döntés

41 Szekvenciális döntési módszer
-egymást követő megfigyelések lehetőségek: a) a Ho hipotézist elfogadjuk b) a Ho hipotézist elvetjük (H1 -et elfogadjuk) c) folytatjuk a megfigyeléseket a) és b) …végső döntések

42 Elsőfajú hiba: az a téves döntés, amikor Ho hipotézist elvetjük,
pedig igaz, Másodfajú hiba: az a téves döntés, amikor Ho-t elfogadjuk pedig nem igaz Szekvenciális hipotézisvizsgálat során először megadjuk az első és másodfajú megengedett hibát Elsőfajú hiba valószínűsége: Másodfajú hiba valószínűsége: indifferens tartomány Elfogadási tartomány B A Kritikus, elutasítási tartomány

43 Szekvenciális próba végrehajtása:
- az X valószínűségi változóra megfigyelés: X=x1 -kiszámítjuk az értékét, mellett -képezzük a Hányszor valószínűbb az x1 eredmény a mellett mint mellett Elfogadjuk a Ho hipotézist

44 Folytatjuk a megfigyelést …X=x2
Elvetjük a hipotézist ha folytatjuk: x2 és: Likelihood hányados

45 Elfogadjuk a Ho hipotézist
Elvetjük a hipotézist együttes sűrűségfv. Elfogadjuk a Ho hipotézist

46 Mintavételezés folytatásának feltétele:
Példa..p0.

47 Mean [mm]= =SUM(Q)/A(Balaton) (S(year)=439 mm) standard deviation Precipitation

48 mean standard deviation Temperature

49 precipitation Temperature

50 Historical data Sum(A2)=339 mm Sum(B2)=445 mm Sum(histroric)=439 mm Monthly averages and max. of runoff from Zala watershed

51 X [mm] Comparison of historical water budget and B2 scenario (monthly averages) for Lake Balaton X=P+R-E-Qout

52 Thomas-Fiering model for water budget of Lake Balaton
Monthly averages ARMA Auto-correlation residuals Standard deviation X=P+R-E-Qout

53 R P E auto-correlation of precipitation, evapotranspiration, and runoff (past)

54 E[mm] t

55 Comparison of generated and measured water budget [mm]

56 Water level [cm] Scenario b2 present