Társadalmi hálózatok további modelljei Gulyás László ELTE TTK Tudománytörténet és Tudományfilozófia Tanszék gulya@hps.elte.hu

Napirend Ismétlés További hálózat-modellek Egyéb hálózat-tulajdonságok Házi feladat 2018.12.28.

Ismétlés 2018.12.28.

Az Erdős-Rényi gráf (Véletlen gráf, 1959.) N csúcs, minden él p valószínűséggel. Kisvilág, ha összefüggő. Szinte mindig összefüggő: „Óriáskomponens” szinte azonnal és hirtelen. 1/N+ Komponenseken belül is kisvilág. Az összefüggőség is hamar. Exponenciálisan növekvő kapcsolatszám. 2018.12.28.

Az Erdős-Rényi gráf (Véletlen gráf, 1959.) 2018.12.28.

A Watts-Strogatz modell A „kisvilág modell”: Tetszőleges D dimenzióban (D=1,2) Rendezett rács, k-szomszédság w átdrótozás (rewiring) v. „levágások” (shortcuts) w w 2018.12.28.

A Watts-Strogatz modell tulajdonságai A átlagos legrövidebb út (l) hamarabb csökken, mint a klaszterezettség (C). Ezért viszonylag kis w értékekre: Egyszerre kisvilág és klaszterezett. 2018.12.28.

A Watts-Strogatz modell 2018.12.28.

Fokszám-eloszlás Hatványfüggvény, Poisson, etc. y ~ axb log(y) = log(a) + blog(x) Skálamentesség (scale-free), „vastag farok” (fat tail) A fizikusok „átlagmérete” 2018.12.28.

A Barabási-Albert féle „Preferential Attachment” modell M darab kezdőcsúcs, tetszőlegesen (pl. teljesen) összekötve. Minden lépésben egy új csúcs, E db új éllel. Véletlenszerű élek, de a valószínűség arányos az élszámmal (v.ö. preferenciális csatolás). 2018.12.28.

A Barabási-Albert modell tulajdonságai Hatványfüggvény-eloszlás (skálamentes). Triviálisan kisvilág, De triviálisan nem-klaszterezett. „The rich get richer” „Mert akinek van, annak adatik, és bővelkedik, akinek pedig nincs, attól az is elvétetik, amijevan.” (Máté 13:12) Pareto-eloszlás, befektetések, etc. Robosztussága és sérülékenysége. V.ö. Internet, WWW, stb. 2018.12.28.

A Barabási-Albert féle „Preferential Attachment” modell A „hub”-ok a középppontban… 2018.12.28.

További hálózati modellek 2018.12.28.

Skálafüggetlen hálók Vajon a Barabási-Albert féle modell az egyetlen lehetséges út ilyen hálózatok Generálásához / létrejöttéhez? 2018.12.28.

Kumar et al. másolásos modellje (lineáris eset) Irányított gráf, Minden lépésben F új csúcs, E db új éllel. Új élek hozzáadása: Véletlen „prototípus-csúcs” választása: V (weblapok esetén: témaválasztás) i-ik él: q valószínűséggel véletlen csúcshoz, (1-q) valószínűséggel V i-ik élének választása. 2018.12.28.

Mindhárom tulajdonsággal bíró modell? Vajon létezik-e olyan modell, mely egyszerre Kisvilág, Klaszterezett és Hatványfüggvény-eloszlású? 2018.12.28.

Mindhárom tulajdonsággal bíró modell? Igen, több is. Például Ravasz és Barabási hierarchikus modellje 2018.12.28.

Ravasz és Barabási hierarchikus hálózatának generálása 2018.12.28.

Ravasz és Barabási hierarchikus modelljének tulajdonságai I. Determinisztikus. Triviálisan kisvilág: Miért? A fokszám-eloszlás skálamentes. A klaszterezettség: Magas Fokszám-függő Nem függ a rendszer méretétől!! 2018.12.28.

Ravasz és Barabási hierarchikus modelljének tulajdonságai II. 2018.12.28.

A Ravasz-Barabási-féle modell valóságalapja Hasonló valós hálózatok: Filmszínészek Angol szinonímák WWW Internet domain-ek Eltérő valós hálózatok: Internet a router-ek szintjén Villamos hálózat 2018.12.28.

Stochasztikus Ravasz-Barabási modell 1. lépés: Kis „ötös” mag. 2. lépés: 4 másolat Az új csúcsok p-ed részétől véletlen kapcsolatot gyártunk a mag egyes csúcsaihoz. „Preferenciális” választás. 3. lépés: 4 másolat az eddigi 25 csúcsból álló hálóról. Az új csúcsok p2-ed részétől véletlen kapcsolatot gyártunk a mag egyes csúcsaihoz. „Preferenciális” választás. 4. lépés: … 2018.12.28.

A stochasztikus Ravasz-Barabási modell tulajdonságai Fokszám-eloszlás kitevője Klaszterezettség kitevője 2018.12.28.

Egyéb hálózat-tulajdonságok 2018.12.28.

Centralitás A csúcs vagy él „központi szerepének” jellemzése 2018.12.28.

Fok-centralitás (degree ~, Freeman,`79) Kapcsolatok száma: di Normalizálva: di/(N-1) „Népszerűség”, „társaságkedvelés”. Indikátora lehet a hálózatban terjedő információ / betegség megszerzési valószínűségének. 2018.12.28.

Közelség-centralitás (closeness ~, Freeman, `79) A többi csúcshoz vezető min. utak összege: A centralitás inverz mértéke: ~„távolság”. Normalizálva: 0 és 1 közötti érték + „invertálva” Az információ megszerzésének / a betegség elkapásának „gyorsasága”. 2018.12.28.

Köztesség-centralitás (betweenness ~, `79) Az áthaladó utak száma: Normalizálva (max-szal osztva): Információ kontrollálásának képessége / „brókerség”, távoli régiók összekötése / az összefüggőség fenntartásának képessége. 2018.12.28.

Sajátérték-centralitás (eigenvector ~, Bonacich `72) A(z esetleg súlyozott) szomszédsági mátrix fő sajátvektora. Rekurzívan: Minden csúcshoz 1 centralitást rendelünk. A centralitásokat újraszámoljuk a szomszédok centralitásának súlyozott összegeként: Normalizálunk (végigosztunk max(ci)-vel). Addig ismételjük, amíg változás van. A „centrális csúcsokhoz való kapcsoltság mértéke”. Járvány esetén növeli a fertőzés valószínűségét. 2018.12.28.

Motívum-analízis (motif analysis) Interakciós mintázatok gyakorisága. Összehasonlítva a véletlenül várható értékkel. Lokális konfigurációk statisztikája. Alkalmas lehet hálózatok osztályozására. A hálózatok „építőkockái”. A lokális klaszterezettség fogalmának egy általánosítása. 2018.12.28.

Motívum-analízis I. (irányított, n=3) 2018.12.28.

Motívum analízis II. (irányított, n=3) 2018.12.28.

Motívum-analízis III. (irányított, n=3) 2018.12.28.

Motívum-analízis IV. Fontos motívum az, amelynek a véletlen előfordulási valószínűsége egy adott küszöbértéknél kisebb. Lehetnek olyan funkcionálisan fontos mintázatok, amelyek így nem azonosíthatóak. Mégis, a motívum-analízis sok tekintetben jellemző képet ad a hálózatokról. 2018.12.28.

Válogatott keveredés I. (assortative mixing) „Válogatott házasodás” (assortative mating) A házastársak hasonlóak Vagyoni szempont, iskolázottság, etc. „Válogatott keveredés” A sok kapcsolattal rendelkező csúcsok általában sok kapcsolattal rendelkező csúcsokhoz kapcsolódnak. Preferenciális kapcsolódás a „startoldalon”… 2018.12.28.

Válogatott keveredés II. (assortative mixing) „Anti-válogatott” keveredés (disassortative mixing): A sok kapcsolattal rendelkező csúcsok alacsony fokszámú csúcsokhoz kapcsolódnak… Semleges „keveredés”: S van olyan, hogy egyik fajta összefüggés, sem áll… 2018.12.28.

Válogatott keveredés III. (assortative mixing) 2018.12.28.

Házi feladat 2018.12.28.

Házi feladat A hálózatok robusztusságával kapcsolatos két cikk elolvasása. Ld. az óra honlapját… A dinamikus hálózat-generálással kapcsolatos Jin-Girvan-Newman cikk magyar kivonatának elolvasása. Találkozunk október végén… 2018.12.28.