A G szigettel kapcsolatban a következő dián olvasható két pár kérdés A G szigettel kapcsolatban a következő dián olvasható két pár kérdés. Sikerült otthon megválaszolni?

265. Gödeli szigetek általában 265. Gödeli szigetek általában. Gödeli sziget az olyan sziget, lovagokkal, lókötőkkel és klubokkal, ahol teljesül a G feltétel. Craig felügyelő épp azt szeretné tudni, hogy a sziget, ahol nyomoz, ilyen-e.

Kijelentések könyve: mindegyik oldalon egy kijelentés (egyesek igazak, mások hamisak). Egyes igaz kijelentések axiómák. Az axiómákból bizonyítható kijelentések mind igazak, és a cáfolható mondatok mind hamisak. Bizonyítható-e minden igaz kijelentés, cáfolható-e minden hamis? Ez a teljesség kérdése. Halmazok könyve: minden oldalon egy pozitív egész számokból álló halmaz leírása szerepel. A könyvben szereplő halmazok a felsorolt halmazok. Az n rendkívüli szám, ha eleme az n-edik oldalon levő halmaznak. h asszociáltja n-nek, ha a (Kijelentések könyvében) h-adik kijelentés azt állítja, hogy n rendkívüli. E1: A bizonyítható mondatok oldalszámának halmaza felsorolt halmaz. E2: A cáfolható mondatok oldalszámának halmaza felsorolt halmaz. C: Bármely A felsorolt halmaz komplementere (az az A# halmaz, amelyben pont az A-ban nem szereplő számok vannak) felsorolt halmaz. H: Tetszőleges felsorolt A halmazhoz van olyan felsorolt B halmaz, hogy B minden n elemének van egy h asszociáltja A-ban, ha pedig n nem eleme B-nek, akkor van neki olyan h asszociáltja, amelyik nem eleme A-nak.

Tétel: Ha ez a négy feltétel teljesül, akkor van olyan igaz mondat, amely nem bizonyítható és van olyan hamis mondat, amely nem cáfolható. (Gödel-Tarski-tétel) Először azt bizonyítsuk be, hogy teljesül a következő feltétel: G: Tetszőleges A felsorolt halmazhoz létezik egy P kijelentés, amely akkor és csak akkor igaz, ha P oldalszáma eleme A-nak. Vegyük az A-hoz H szerint tartozó B halmazt. Legyen B oldalszáma n, n egy asszociáltja, amely akkor és csak akkor eleme A-nak, ha n eleme B-nek, h. Mivel h asszociáltja n-nek, a h-adik oldalon levő P kijelentés azt állítja, hogy n rendkívüli, azaz hogy n eleme az n-edik halmaznak, azaz B-nek. Ha ez a P kijelentés igaz, akkor n tényleg eleme B-nek, és P oldalszáma, azaz h eleme A-nak. Ha P nem igaz, ez azt jelenti, hogy n nem eleme B-nek, és így P oldalszáma, h nem eleme A-nak. Tehát P akkor és csak akkor igaz, ha az oldalszáma, h eleme A-nak. Ez egyedül a H feltétel következménye.

Legyen a bizonyítható kijelentések oldalszámának(E1 szerint felsorolt) halmaza T. Legyen a T#-hoz (azaz azon számok halmazához, amelyek nem bizonyítható kjelentések oldalszámai) G szerint tartozó kijelentés Gt#. Gt# akkor és csak akkor igaz, ha az oldalszáma eleme T#-nak , azaz nem egy bizonyítható kijelentés oldalszáma. Ha Gt# hamis, akkor az oldalszáma T-ben van, azaz Gt# bizonyítható, ez lehetetlen. Marad a másik lehetőség, hogy Gt# egy igaz és nem bizonyítható kijelentés. Ugyanez kifordítva: legyen a cáfolható kijelentések oldalszámának halmaza F. A G feltétel szerint ehhez tartozik egy Gf kijelentés, ami akkor és csak akkor igaz, ha az oldalszáma eleme F-nek. Tehát ha Gf igaz,akkor cáfolható – ez lehetetlen. Marad az, hogy Gf hamis, és az oldalszáma nem eleme F-nek, tehát nem cáfolható.