Business Mathematics www.uni-corvinus.hu/~u2w6ol

Elemi bázistranszformáció Lineáris egyenletrendszerek megoldása Inverz keresése LP feladatok megoldása

Elemi bázistranszformáció Generáló elemet választunk (≠0) A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből. A generáló elem oszlopa eltűnik.

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 e1 1 2 e2 3 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1 12

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1 12 ≠0 ! Lineárisan független

A generálóelem oszlopa A generálóelem helyére annak reciproka kerül. A generálóelem oszlopát végigszorozzuk a generálóelem reciprokának -1-szeresével

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 e1 1 2 e2 3 e3 -1 e1 x2 x3 x1 1 2 e2 -3 -5 e3

Elemi bázistranszformáció x2 x3 x1 1 2 e2 -3 -5 e3 e1 e2 x3 x1 1 2 x2 -3 -5 e3 7 -2 12

Elemi bázistranszformáció x3 x1 1 2 x2 -3 -5 e3 7 -2 12 e1 e2 e3 x1 -2/12 4/12 x2 -1/12 2/12 5/12 x3 7/12 1/12

Alapfogalmak a szimplex algoritmushoz Standard (normál) feladat Minden feltétel egyenlőség Minden változó nemnegatív Kiegészítő változó (hiány változó) ui – i. erőforrás fel nem használt mennyisége ui ≥ 0 Kiegyenlítő változó (többlet változó) vi – i. feltétel túlteljesítése vi ≥ 0

Alapfogalmak a szimplex algoritmushoz Bázismegoldás n-m változót 0-nak veszünk Bázisváltozók: m db Nembázis változók: (n-m) db Lehetséges bázismegoldás Bármely olyan bázismegoldás, amelyben minden változó nemnegatív Szomszédos bázismegoldás Szomszédosnak nevezünk két lehetséges bázismegoldást, ha a bázisváltozók halmazában m-1 közös

A szimplex algoritmus - általános Lehetséges bázismegoldás (LBM) keresése Induló lehetséges bázismegoldás Aktuális lehetséges bázismegoldás Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, keressünk olyan szomszédos LBM-et, ahol z értéke nagyobb (kisebb) Az előző lépés ismételgetése

Feladat – Winston 4.3 A Dakota Bútorkészítő Cég íróaszta- lokat, asztalokat és székeket gyárt. Mindegyik bútortípus gyártásához faanyag és kétféle szakmunka szükséges: durva asztalosmunka és felületkezelés. Az egyes bútortípusok előállításához a különböző erőforrásokból szükséges mennyiséget a következő táblázat adja meg:

Feladat – Winston 4.3 Erőforrás Író-asztal Asztal Szék Faanyag (egység) 8 6 1 Felületkezelés (óra) 4 2 1,5 Asztalos-munka (óra) 0,5

Feladat – Winston 4.3 Jelenleg 48 egység faanyag, 20 órányi felületkezelés és 8 órányi asztalos-munka kapacitás áll rendelkezésre. Egy íróasztal 60, egy asztal 30, egy szék pedig 20$-ért adható el. A Dakota cég azt gondolja, hogy íróas-talokra és székekre korlátlan kereslet van, de legfeljebb 5 asztal adható el. Mivel az erőforrásokat már megvásá- rolták, a Dakota cég az összjövedelmet kívánja maximalizálni.

A feladat felírása max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 8x1 + 6x2 + 1x3 ≤ 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 ≤ 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 ≤ 8 x2 ≤ 5 x1, x2, x3≥ 0

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

Alapfogalmak a szimplex algoritmushoz Standard feladat Minden feltétel egyenlőség Minden változó nemnegatív Kiegészítő változó (hiány változó) ui – i. erőforrás fel nem használt mennyisége ui ≥ 0 Kiegyenlítő változó (többlet változó) vi – i. feltétel túlteljesítése vi ≥ 0

A feladat felírása max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 8x1 + 6x2 + 1x3 ≤ 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 ≤ 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 ≤ 8 x2 ≤ 5 x1, x2, x3≥ 0

A standard (normál) feladat felírása z – 60x1 – 30x2 – 20x3 = 0 8x1 + 6x2 + 1x3 + u1 = 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 + u2 = 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 + u3 = 8 x2 + u4 = 5 x1, x2, x3≥ 0

A kiegészítő változók értékei u1 = 48 – 8x1 – 6x2 – 1x3 u2 = 20 – 4x1 – 2x2 – 1,5x3 u3 = 8 – 2x1 – 1,5x2 – 0,5x3 u4 = 5 – x2

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

A standard (normál) feladat felírása z – 60x1 – 30x2 – 20x3 = 0 8x1 + 6x2 + 1x3 + u1 = 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 + u2 = 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 + u3 = 8 x2 + u4 = 5 x1, x2, x3≥ 0

LBM előállítása x1 x2 x3 u1 u2 u3 u4 8 6 1 48 4 2 1,5 20 0,5 5 z -60 48 4 2 1,5 20 0,5 5 z -60 -30 -20 Lehetséges bázismegoldás: x1, x2, x3 = 0

LBM előállítása x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 5 z -60 -30 -20 x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0 z = 0 BV: u1, u2, u3, u4 NBV: x1, x2, x3

A feladat felírása max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 8x1 + 6x2 + 1x3 ≤ 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 ≤ 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 ≤ 8 x2 ≤ 5 x1, x2, x3≥ 0

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

Optimalitás vizsgálata x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 x1 –t 1-gyel növelve a célfüggvény 60-nal nő!

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

A generáló elem meghatározása Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

A generáló elem meghatározása Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nemnegatív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

Generáló elem meghatározása x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20

Generáló elem meghatározása Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

Generálóelem meghatározása x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 48/8 = 6 20/4 = 5 8/2 = 4

Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 u3 x2 x3 u1 u2 x1 u4 z

Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 u3 x2 x3 u1 u2 x1 0,5 u4 z

Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 u3 x2 x3 u1 -4 u2 -2 x1 0,5 u4 z 30

Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 u3 x2 x3 u1 -4 u2 -2 x1 0,5 0,75 0,25 4 u4 z 30

Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

Elemi bázistranszformáció x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240

Elemi bázistranszformáció u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240

Elemi bázistranszformáció u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 x1 = 4 x2 = 0 x3 = 0 z = 240 BV: x1, u1, u2, u4 NBV: x2, x3, u3

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

Optimalitás vizsgálata u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 x3 –t 1-gyel növelve a célfüggvény 5-tel nő!

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

Generálóelem meghatározása u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 16/-1 = -16 4/0,5 = 8 4/0,25 = 16

Elemi bázistranszformáció u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 u3 x2 u2 u1 x3 x1 u4 z

Elemi bázistranszformáció u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 u3 x2 u2 u1 x3 2 x1 u4 z

Elemi bázistranszformáció u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 u3 x2 u2 u1 2 x3 x1 -0,5 u4 z 10

Elemi bázistranszformáció u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 u3 x2 u2 u1 2 x3 -4 -2 8 x1 -0,5 u4 z 10

Elemi bázistranszformáció u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 u3 x2 u2 u1 -8 -2 2 24 x3 -4 8 x1 1,5 1,25 -0,5 u4 1 5 z 10 280

Elemi bázistranszformáció u3 x2 u2 u1 -8 -2 2 24 x3 -4 8 x1 1,5 1,25 -0,5 u4 1 5 z 10 280

Elemi bázistranszformáció u3 x2 u2 u1 -8 -2 2 24 x3 -4 8 x1 1,5 1,25 -0,5 u4 1 5 z 10 280 x1 = 2 x2 = 0 x3 = 8 z = 280 BV: x1, x3, u1, u4 NBV: x2, u2, u3

A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

Optimalitás vizsgálata u3 x2 u2 u1 -8 -2 2 24 x3 -4 8 x1 1,5 1,25 -0,5 u4 1 5 z 10 280 x1 = 2 x2 = 0 x3 = 8 z = 280 Nincsen negatív elem a célfüggvény sorában: Optimumban vagyunk.

Megoldás x1 = 2 x2 = 0 x3 = 8 u1 = 24 u2 = 0 u3 = 0 u4 = 5 z = 60x1 + 30x2 + 20x3 z = 60∙2 + 30∙0 + 20∙8 = 280

Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

Alternatív optimum max z = -3x1 + 6x2 5x1 + 7x2 ≤ 35 -x1 + 2x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0

Alternatív optimum – A standard feladat felírása z + 3x1 – 6x2 = 0 5x1 + 7x2 + u1 = 35 -x1 + 2x2 + u2 = 2 x1, x2 ≥ 0

Alternatív optimum – A szimplex tábla 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6

Alternatív optimum – A szimplex tábla 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 x1 = 0 x2 = 0 z = 0 BV: u1, u2 NBV: x1, x2

Alternatív optimum – Generálóelem meghatározása x1 x2 u1 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 35/7 = 5 2/2 = 1

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 x2 u1 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 x1 u2 u1 x2 z

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 x2 u1 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 x1 u2 u1 x2 0,5 z

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 x2 u1 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 x1 u2 u1 -3,5 x2 0,5 z 3

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 x2 u1 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 x1 u2 u1 -3,5 x2 -0,5 0,5 1 z 3

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 x2 u1 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 x1 = 0 x2 = 1 z = 6 BV: u1, u2 NBV: x1, x2

Alternatív optimum – Optimalitás vizsgálata x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 Honnan látszik hogy alternatív optimuma lehet?

A belépő változó meghatározása Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

Alternatív optimum – Optimalitás vizsgálata x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 x1 = 0 x2 = 1 z = 6 x1 –t 1-gyel növelve a célfüggvény 0-val nő!

Alternatív optimum – Generálóelem meghatározása x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 28/(17/2)= 56/17 1/ (-1/2) = -2

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 u1 u2 x1 x2 z

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 u1 u2 x1 2/17 x2 z

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 u1 u2 x1 2/17 x2 1/17 z

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 u1 u2 x1 2/17 -7/17 56/17 x2 1/17 z

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 u1 u2 x1 2/17 -7/17 56/17 x2 1/17 5/17 45/17 z 3 6

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 2/17 -7/17 56/17 x2 1/17 5/17 45/17 z 3 6

Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1 2/17 -7/17 56/17 x2 1/17 5/17 45/17 z 3 6 x1 = 56/17 x2 = 45/17 z = 6 BV: x1, x2 NBV: u1, u2

Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

Nem korlátos LP max z = 2x2 x1 – x2 ≤ 4 -x1 + x2 ≤ 1 x1, x2 ≥ 0

Nem korlátos LP – A standard feladat felírása z – 2x2 = 0 x1 – x2 + u1 = 4 -x1 + x2 + u2= 1 x1, x2 ≥ 0

Nem korlátos LP – A szimplex tábla u1 1 -1 4 u2 z -2

Nem korlátos LP – A szimplex tábla u1 1 -1 4 u2 z -2 x1 = 0 x2 = 0 z = 0 BV: u1, u2 NBV: x1, x2

Nem korlátos LP – Generálóelem meghatározása x1 x2 u1 1 -1 4 u2 z -2 4/(-1)= -4 1/1 = 1

Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x1 x2 u1 1 -1 4 u2 z -2 x1 u2 u1 x2 z

Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x1 x2 u1 1 -1 4 u2 z -2 x1 u2 u1 x2 1 z

Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x1 x2 u1 1 -1 4 u2 z -2 x1 u2 u1 1 x2 z 2

Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x1 x2 u1 1 -1 4 u2 z -2 x1 u2 u1 1 x2 -1 z 2

Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x1 x2 u1 1 -1 4 u2 z -2 x1 u2 u1 1 5 x2 -1 z -2 2

Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x1 u2 u1 1 5 x2 -1 z -2 2 x1 = 0 x2 = 1 z = 2 BV: u1, x2 NBV: x1, u2

Nem korlátos LP – Optimalitás vizsgálata x1 u2 u1 1 5 x2 -1 z -2 2 Honnan látszik hogy nem korlátos az LP?

Nem korlátos LP – Generálóelem választása x1 u2 u1 1 5 x2 -1 z -2 2 5/0 1/(-1) Nincs eredménye a hányadostesztnek!

Minimum feladat felírása – 2 módszer Minimum feladat átírása maximum feladattá: max (-z) - ekkor a táblát akkor tekintjük optimálisnak, ha a célfüggvény sora mindenütt negatív vagy 0 Minimum feladat célfüggvényének megszorzása -1-gyel - ekkor a táblát akkor tekintjük optimálisnak, ha a célfüggvény sora mindenütt pozitív vagy 0

Minimum feladat felírása – feladat min z = 2x1 – 3x2 x1 + x2 ≤ 4 x1 – x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0

Minimum feladat felírása – 1. módszer min z = 2x1 – 3x2 x1 + x2 ≤ 4 x1 – x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 max – z = – 2x1 + 3x2 z – 2x1 + 3x2 = 0 (akkor optimális, ha a célfüggvény sora mindenütt nempozitív)

Minimum feladat felírása – 1. módszer x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z -2 3 4/1 = 4 6/(-1) = -6

Minimum feladat felírása – 1. módszer x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z -2 3 x1 u1 x2 u2 z

Minimum feladat felírása – 1. módszer x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z -2 3 x1 u1 x2 1 u2 z

Minimum feladat felírása – 1. módszer x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z -2 3 x1 u1 x2 1 u2 z -3

Minimum feladat felírása – 1. módszer x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z -2 3 x1 u1 x2 1 4 u2 z -3

Minimum feladat felírása – 1. módszer x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z -2 3 x1 u1 x2 1 4 u2 2 10 z -5 -3 -12

Minimum feladat felírása – 1. módszer x1 x2 u1 1 4 u2 2 10 z -5 -3 -12 Nincsen pozitív elem a célfüggvény sorában: Optimumban vagyunk.