Határfelület-ábrázolás geometriai struktúrája Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Alkalmazott Matematikai Intézet Alkalmazott matematikus MSc Modellezés c. tantárgy 3. téma Határfelület-ábrázolás geometriai struktúrája Dr. Horváth László http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ A viewport felvételek nem csupán illusztrációk, azok mindig saját, működő modellről készülnek, így a modellező rendszer által megkövetelt tudás próbáján átmentek. A laboratóriumi feladatok kísérletei során ezt a hallgatók egyénileg megtapasztalják. Ez a prezentáció szellemi tulajdon. Hallgatóim számára rendelkezésre áll. Minden más felhasználása és másolása nem megengedett! A prezentációban megjelent képernyő-felvételek a CATIA V5 és V6 PLM rendszereknek, az Óbudai Egyetem Intelligens Mérnöki Rendszerek Laboratóriumában telepített installációján készültek, valóságos működő modellekről, a rendszer saját eszközeivel. CATIA V5 és V6 PLM rendszerek a Dassult Systémes Inc. és a CAD-Terv Kft támogatásával üzemel laboratóriumunkban Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Tartalom Előadás Geometria kontextusban Interpolációs görbe Approximációs görbe Görbe globális és lokális tulajdonságai A mérnöki célú görbék definiálásának rövid története A DeCasteljau algoritmus Görbe és felület paraméteres egyenlete A geometriai entitásokat leíró függvények Bezier görbe B-szplájn görbe Racionális B-szplájn görbe Folytonosság Laboratórium Görbék és felületek tulajdonságainak és szerepének vizsgálata kísérleti alakmodellen. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Geometria kontextusban - görbe Pont felület kontextusában Pont határfelület elem kontextusában Pont görbe kontextusában Ne felejtsük el hogy az alakmodell építési folyamatában eljárásokat irányítunk, amelyek függvényeket generálnak, kontextusban. Görbe négy kontextuális (vagyis kontextusban ábrázolt) pont interpolációjával Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Geometria kontextusban - felület Felület görbe kontextusában. Felület görbe kontextusában – fejlődő kontextus-lánc. Azt sem felejtsük el, hogy kizárólag az modell definiálását és eredményét vizsgáló, valós idejű szimulációk során megfelelt alakábrázolás generálása történik meg. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Interpolációs görbe Elsőfokú Másodfokú Harmadfokú Az interpolációs feladat matematikai megoldásához interpolációs polinomokat fejlesztettek ki. Ezek közül a Lagrange* polinom a legegyszerűbb. Ez a pontokra illesztés legismertebb módszere. Hermite interpoláció: görbe fektetése két pont közé, a két pontnál érvényes érintő alapján. Hermite módszerét alkalmazta Ferguson és Coons. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Approximációs görbe Görbe alakjának módosítása vezérlőpontok elmozdításával Vezérlő sokszög (poligon) Vezérlő sokszög-háló felületen A görbe a vezérlő sokszög által lefedett konvex burkon belül helyezkedik el: P 1 2 3 P 1 2 3 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

n t b Görbe globális és lokális tulajdonságai Globális tulajdonságok Vezérlés Globális: vezérlőpont elmozdítása az egész görbét módosítja. Lokális: vezérlőpont elmozdítása csak a görbe egy részét módosítja. Fokszám (D). Osztály (N=D+1) A görbe végpontja szabad (F) vagy kapcsolt. Lokális tulajdonságok Az u paraméter értékű pontban Érintő (t), Főnormális (n) Binormális (b) Görbület (r) A t, n és b lokális tulajdonságok határozzák meg a kísérő triédert, amely egységvektorokból képezett derékszögű koordináta-rendszer . Simulósík: t és b vektorok Normálsík: b és n vektorok t n b Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

A mérnöki célú görbék definiálásának rövid története Paul Bezier francia matematikus (Renault gyár): autókarosszériák tervezésénél alkalmazható közelítési módszer. Paul Bezier bevezette a vezérlő sokszöget. Bezier Bernstein polinom alapfüggvényeket alkalmazott. 1972: UNISURF modellező és alkalmazása az R12 autótípus tervezésénél és gyártásánál. Ugyanilyen módszeren dolgozott Paul de Casteljau a Citroen gyárban. A módszer Paul Bezier neve alatt vált ismertté. A Bezier görbék hiányosságainak kiküszöbölésére a B-szplájn görbe alkalmazására tértek át. A Bezier görbe tulajdonságai is elérhetők. A középkori hajóépítők szegekkel kitűzött pontokon rugalmas fémszalagot (szplájnt) feszítettek ki: Spline alapfüggvények ezt modellezik. Ma ez képezi a mérnöki modellezésben kizárólagosan alkalmazott egységes geometriai ábrázolás alapját. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

A DeCasteljau algoritmus Görbe pontjainak meghatározására Lineáris interpolációval közbenső u paraméter értékű pont: ab egyenest az u és 1-u értékek arányában felosztva. Többszörös lineáris interpoláció görbe pontjának meghatározására. A b0b1, a b1b2 és a b2b3 vezérlõ sokszög oldalakat az u és az 1-u arányában részekre osztjuk. Harmadfokú görbe, az interpolációk száma három és u=1/4. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Görbe paraméteres egyenlete P (x,y,z) ( u ) min max Z X Y P A görbe pontjait a paraméter (u) függvényében fejezi ki. Az uP paraméter értékéhez adja meg a P pont modelltérbeli x, y és z koordinátáit. P(u) a P pont helyzetvektora Descartesi tér A görbe paraméteres egyenletének általános alakja: P(u)=[x(u) y(u) z(u)] ahol umin <= u <= umax A P pont modelltérbeli x, y és z koordinátái az u paraméter függvényében: x=x(u), y=y(u) és z=z(u) Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Felület paraméteres egyenlete Izoparamétergörbe u=1 v=0 u=1 , v=0 P u=0,4 v v=0,8 u=1 , v=1 P (x,y,z) P u u=0 u=0 v=1 v=0 P ( u, v ) Y X Z u=0 v=1 Izoparamétergörbe A felület paraméteres egyenletének általános alakja: P(u,v)=[x(u,v) y(u,v) z(u,v)] ahol umin <= u <= umax és vmin <= v <= vmax A P pont modelltérbeli x, y és z koordinátái az u és v paraméterek függvényében: x=x(u,v), y=y(u,v) és z=z(u,v) Modell koordináta-rendszer Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

A geometriai entitásokat leíró függvények Egyszerű függvények Analitikus alakhoz. Polinom Analitikus és szabadformájú (bármely alakhoz). Jól deriválható, amely tulajdonsága érintő, normális és görbület meghatározásánál ez alapvető. Egységes geometria Miközben erőfeszítéseket tettek az egyszerű függvények és a polinomok azonos alak-ábrázolásban való alkalmazására, megalkották a racionális polinomokat, amelyek alkalmasak analitikus alkalmasak egzakt ábrázolására. Az n-ed fokú polinom általános alakja ( ) 1 a x p n + = - … ( ) i n x a p å = A mai geometriai leírások általánosan alkalmazott függvény-osztálya. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Bezier görbe Tulajdonságai Globális vezérlés. Fokszáma a vezérlőpontok számával összefügg. Görbe osztálya: vezérlőpontok száma Görbe fokszáma: vezérlőpontok száma - 1. Nagyszámú vezérlőpont csak magas fokszámú függvényekkel közelíthető. A probléma megoldására több görbét fűztek össze. Bernstein polinom alapfüggvények kedvező tulajdonságokat is adtak a görbének, amely az első és utolsó vezérlőponton áthalad és a vezérlő sokszög első és utolsó szegmensére érintőleges. P 1 2 3 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Bezier görbe Bernstein polinom alapfüggvények Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ B-szplájn görbe A B-szplájn görbe analitikus definiciója: ( ) P = i 1 n u N k å , ahol: a normalizált B-szplájn alapfüggvény: N i, k ( u) a vezérlőpontok: { } P : i = 0,1, . , n A B-szplájn görbe polinomokkal leírt szegmensekből épül fel A szegmens rendűsége k, fokszáma k-1. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ B-szplájn görbe Az alapfüggvény csak a B-szplájn görbe szegmensre eső paramétertartományában vezéreli a görbét (lokális vezérlés). DE: A szegmenshatáron a másodrendű folytonosságnak (érintőben és görbületben) automatikusan meg kell maradni a görbe bármely módosítása után. Ezért a valóságban a vezérlés: V 1 2 3 4 5 Vezérlőpontok, amelyek hatnak a vastag vonallal kiemelt szegmensre Szegmens, pl. 1 V - V 2 2 V - V 1 3 6 V - V 5 1 A görbe fokszáma megegyezik az alapfüggvény fokszámával. Szegmensenként eltérő fokszám lehet. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ B-szplájn görbe A szegmenshatárokon érvényes paraméterértékeket a csomóvektorban (knot vector) adják meg: { } u : i = 0,1, . , n k + u i i+2 i+1 i+3 i+4 N 0,3 1,3 2,3 3,3 ahol: u i £ + 1 Az n + 1 vezérlőpont, k -ad rendű, k-1 fokszámú, m számú csomó esetében: (m+1) = (n+1) + k Ebből a csomók száma: m = n + k A görbe paraméter-tartományának a felosztása a szegmensek között egyenközű (uniform) vagy nem egyenközű (non-uniform). Periódikus (periodic) görbe: A paraméter-intervallumok ismétlődnek. Az egyenközű B-szplájn egyben periódikus is. Nem-periódikus (non-periodic): A vektor belső csomói egyenlő elosztásúak, de a vektor elején és végén legfeljebb a görbe rendűségével azonos számú intervallum ismétlődik. Ennek egyik haszna, hogy ugyan a B-szplájn görbe nem megy át az első és az utólsó vezérlőponton, az első és az utólsó paraméter-intervallum többszörözésével erre kényszerítik. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ B-szplájn görbe A nem-egyenközű B-szplájn csomóvektorának belsejében is lehetnek intervallum-többszöröződések, például [01223] vagy az intervallumok a teljes vektor mentén eltérnek, például [0,0 0,1 0,33 0,6 0,8 1,0]. A B-szplájn leírás a Bezier leírás általánosításának tekinthető. Ha a csomóvektorban a 0 majd az 1 érték a görbe rendűségével (k) egyenlõ számban ismétlődik, Bezier tulajdonságú görbét kapunk. Például valamely négy vezérlőpontú nem-periodikus köbös B-szplájn görbe csomóvektora [00001111] („c” görbe, alább). Ez egy Bezier görbe. Példák: b a c "a" görbe: k=2, fokszám=1, csomóvektor: [001233] "b" görbe: k=3, fokszám=2, csomóvektor: [0001222] "c" görbe: k=4, fokszám=3, csomóvektor: [00001111] Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

( ) ( ) Q = wx , wy , wz , w w ³ x , y , z P w Racionális B-szplájn görbe Az analóg és szabad formájú geometriák azonos határfelületben való ábrázolását a racionális B-szpájnokkal oldották meg. A racionális elnevezés alapja az angol „ratio” szó, amely a függvények arányával való kifejezésre utal. A racionális B-szplájn geometria megalkotásánál a homogén koordináták elvét vették át, amelyet eredetileg transzformációs mátrixok ábrázolására alkalmaztak. A háromdimenziós Euklideszi tér ( ) x , y , z P pontjának a négydimenziós homogén térben a w ( ) Q = wx , wy , wz , w leírás felel meg, ahol a w a homogén koordináta, amelyet súlyozásnak is nevezünk: w ³ A w értékeket a súlyvektor adja meg a vezérlőpontokhoz Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

( ) å Q u w = , ( ) Q u N V = x y z V V w = , innen Racionális B-szplájn görbe B-szplájn homogén koordinátákkal: ( ) Q u N V w i k n = å , ahol: Qw(u) a görbe pontja négydimenziós homogén koordinátákkal kifejezve: ( ) Q u w x y z = , N i,k ( u ) szplájn alapfüggvény, V a vezérlőpont a négydimenziós homogén térben: V w i = , innen Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

å Racionális B-szplájn görbe x w y z = ( ) A négydimenziós pont háromdimenziós vetülete az első három koordinátának a homogén koordinátával való elosztásával: Hasonlóképpen, a görbe Q(u) pontját a négy dimenziós térnek a három dimenziós térre való vetítésével ábrázolják: x w y z = ( ) Q u N w V i k n = , å A racionális B-szplájn görbéket a csomóvektor és a súlyvektor jellemzi. Analitikus görbék esetében a w értéke meghatározza, hogy egyenes, ellipszis, parabola vagy hiperbola az adott szegmens. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Racionális B-szplájn görbe Nem-egyenközű racionális B-szplájn NURBS – non uniform rational B-spline) görbe jellemzői Valamennyi alak leírására Analitikus alak egzakt (nem közelítő!) Az alakmodellezésben egyeduralkodóvá vált A racionális B-szplájn görbéket a csomóvektor és a súlyvektor jellemzi. Például öt vezérlőpontot közelítő görbe csomóvektora [0000122222] és w súlyvektora [1, 4, 1, 1, 1] Analitikus görbék leírásánál a w értéke meghatározza, hogy egyenes, ellipszis, parabola vagy hiperbola az adott szegmens. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/ Folytonosság A probléma A test határfelületében és felület-komplexum esetében a felületek kapcsolódásánál a generáló eljárásoknak specifikált folytonosságot kell biztosítani. Két felület között egy harmadik felületet hozunk létre, ahol az egyik élnél a görbületnek, a másik élnél az érintőnek kell a kacsolódás minden pontjában, mindkét oldalon azonosnak lenni Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Folytonosság A folytonosság definíciója Két görbe kapcsolódása egy él mentén n rendűen folytonos, ha minden kapcsolódási pontra érvényes: az n és az ennél alacsonyabb rendű deriváltak megegyeznek. Így: Nullarendű: közös pont létezik. Elsőrendű: érintőben folytonos a közös pontban Másodrendű: érintőben és görbületben folytonos a közös pontban. Harmadrendű: érintőben, görbületben és a görbület változásában (sebességnek is szokták nevezni) is folytonos, a görbe mentén. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/

Folytonosság Parametrikus (C) folytonosság A parametrikus folytonosság esetében a kapcsolódó görbék és paraméterezésük is folytonos. Geometriai (G) folytonosság Csak a kapcsolódó görbékre vonatkozik, a parametrizálásra nem. Geometriai (G) és parametrikus (C) folytonosság Gn folytonosság fennáll, és a kapcsolódó görbék parametrizálása megváltoztatható Cn parametrikus folytonosság elérésére. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI http://users.nik.uni-obuda.hu/lhorvath/