Szerkezetek Dinamikája

Slides:



Advertisements
Hasonló előadás
Szerkezetek Dinamikája
Advertisements

SZÁMVITEL MSC 2012/2013 SZIGORLATI TÉTELEK Pénzügyi számviteli elemzések.
A FELNŐTTKÉPZÉSI A FELNŐTTKÉPZÉSI INTÉZMÉNYEK HATÉKONYSÁGÁNAK VIZSGÁLATA Felnőttképzők Szövetsége Borsi Árpád Budapest, december 10.
1 Az önértékelés mint projekt 6. előadás 1 2 Az előadás tartalmi elemei  A projekt fogalma  A projektek elemei  A projekt szervezete  Projektfázisok.
Hullámmozgás. Hullámmozgás  A lazán felfüggesztett gumiszalagra merőlegesen ráütünk, akkor a gumiszalag megütött része rezgőmozgást végez.
Vetésforgó tervezése és kivitelezése. Vetésforgó Vetésterv növényi sorrend kialakításához őszi búza250 ha őszi árpa50 ha lucerna ebből új telepítés 300.
Oktatói elvárások, oktatói vélemények a hallgatókról Cserné dr. Adermann Gizella egyetemi docens DUE.
A szerkezetátalakítási programban bekövetkezett változások
Összevont munkaközösség vezetői és igazgatótanácsi értekezlet
Valószínűségi kísérletek
Muraközy Balázs: Mely vállalatok válnak gazellává?
2. előadás Viszonyszámok
Adatbázis normalizálás
Frekvencia függvényében változó jellemzők mérése
Alhálózat számítás Osztályok Kezdő Kezdete Vége Alapértelmezett CIDR bitek alhálózati maszk megfelelője A /8 B
Becslés gyakorlat november 3.
Komplex természettudomány 9.évfolyam
AZ ÁTVITELI CSATORNA.
Végeselemes modellezés matematikai alapjai

Egy üzemben sok gyártósoron gyártanak egy bizonyos elektronikai alkatrészt. Az alkatrészek ellenállását időnként ellenőrzik úgy, hogy egy munkás odamegy.
Kommunikáció a könyvvizsgálatban
Nagyrugalmas deformáció – fenomenológia Vázlat
Lineáris algebra Mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek
 : a forgásszög az x tengelytől pozitív forgásirányában felmért szög
Technológiai folyamatok optimalizálása
A legnagyobb közös osztó
Végeselemes modellezés matematikai alapjai
VákuumTECHNIKAi LABORATÓRIUMI GYAKORLATOK
Kvantitatív módszerek
Komplex természettudomány 9.évfolyam
Hullámdigitális jelfeldolgozás alapok 5 Híd struktúrájú szűrők
Munka és Energia Műszaki fizika alapjai Dr. Giczi Ferenc
 : a forgásszög az x tengelytől pozitív forgásirányában felmért szög
Klasszikus szabályozás elmélet
Gazdaságstatisztika Korreláció- és regressziószámítás II.
Tartalékolás 1.
Molekuladinamika 1. A klasszikus molekuladinamika alapjai
Pontrendszerek mechanikája
KINEMATIKA (MOZGÁSTAN).
Szerkezetek Dinamikája
Mi a káosz? Olyan mozgás, mely
Kvantitatív módszerek
Business Mathematics
Algoritmusok és Adatszerkezetek I.
Dr. habil. Gulyás Lajos, Ph.D. főiskolai tanár
Regressziós modellek Regressziószámítás.
POLINÓMOK.
RUGÓK.
Ékszíj-, laposszíjtárcsa Kúpos kötések, szorítóbetétek
INFOÉRA Zsakó László Informatikai tanárszak problémái ELTE Informatikai Kar Juhász István-Zsakó László: Informatikai.
Készletek - Rendelési tételnagyság számítása -1
Az iskolai szervezet és fejlesztése
A csoportok tanulása, mint a szervezeti tanulás alapja
2. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI
Egymáson gördülő kemény golyók
1.5. A diszkrét logaritmus probléma
Matematika 10.évf. 4.alkalom
A szállítási probléma.
I. HELYZETFELMÉRÉSI SZINT FOLYAMATA 3. FEJLESZTÉSI FÁZIS 10. előadás
Matematika 11.évf. 1-2.alkalom
Matematika II. 5. előadás Geodézia szakmérnöki szak 2015/2016. tanév
Műveletek, függvények és tulajdonságaik Mátrix struktúrák:
Munkagazdaságtani feladatok
Áramlástan mérés beszámoló előadás
Az impulzus tétel alkalmazása (A sekélyvízi hullám terjedése)
Vektorok © Vidra Gábor,
Algoritmusok.
Hagyományos megjelenítés
Atomok kvantumelmélete
Előadás másolata:

Szerkezetek Dinamikája 4. hét: Rezgésegyenlet megoldása valós modálanalízissel. Arányos szerkezeti csillapítás. Komplex merevség, Részleges sajátértékfeladat-megoldás.

Irodalom BSc: Györgyi József Dinamika, Műegyetemi kiadó 2007. MSc: Györgyi József Szerkezetek dinamikája, Műegyetemi kiadó 2006. https://www.me.bme.hu/hu/teaching

Rúdszerkezetek rezgésszámítása pontos dinamikai merevségi mátrixszal Csillapítatlan rezgés mátrix-differenciálegyenlete harmonikus gerjesztésnél: A partikuláris megoldást 𝒙 𝑔 𝑡 = 𝒙 𝑔0 sin𝜔𝑡 alakban keresve: 𝐌 𝒙 𝑡 +𝐊𝒙 𝑡 =𝐪sin𝜔𝑡 − 𝜔 2 𝐌 𝒙 𝑔0 sin𝜔𝑡+𝐊 𝒙 𝑔0 sin𝜔𝑡=𝐪sin𝜔𝑡 𝐊− 𝜔 2 𝐌 𝒙 𝑔0 =𝐪 𝐊 din 𝒙 𝑔0 =𝐪 𝒙 𝑔0 = 𝐊 din −1 𝐪

Matematika: sajátértékek és sajátvektorok meghatározása (Wikipédia) 𝐀∙𝐯=𝜆∙𝐯=𝜆∙𝐄∙𝐯, ahol E az egységmátrix. 𝐀−𝜆𝐄 𝐯=𝟎 A definícióban szerepel az a kikötés, hogy a v vektor nem a nullvektor. Különben az egyenletben 𝜆 bármi lehetne. 𝐀−𝜆𝐄 =0 Ez a kifejtés egy karakterisztikus egyenletet ad, melynek fokszáma megegyezik a mátrix dimenziójával, vagyis egy n dimenziójú mátrix legfeljebb n különböző sajátértéket ad. A megoldás ezen módszere nehézkes, hiszen ötödfokúnál magasabb polinomokra nincs zárt formájú megoldóképlet. A 𝜆 𝑖 -hez tartozó sajátvektorokat ezután az 𝐀−𝜆𝐄 𝐯=𝟎 egyenletből számítjuk ki.

Matematika: sajátértékek és sajátvektorok meghatározása (Wikipédia) Numerikus módszerek: QR-módszer hatványiteráció inverz iteráció Lánczos-módszer Arnoldi-módszer Jacobi-eljárás

A rezgésegyenlet megoldása a sajátvektorok ismeretében Általánosított sajátérték feladat: 𝐊𝐯= 𝜔 0 2 𝐌𝐯 Számítógépes programok szolgáltatják az 𝜔 0𝑟 2 sajátértékeket és 𝐯 𝑟 sajátvektorokat. Igazolható, hogy a sajátvektorok a tömegmátrixra és a merevségi mátrixra ortogonálisak: 𝐯 𝑟 T 𝐌 𝐯 𝑠 =0 és 𝐯 𝑟 T 𝐊 𝐯 𝑠 =0

Normálás Normáljuk a különböző sajátvektorokat úgy, hogy a 𝐯 𝑟 T 𝐌 𝐯 𝑟 =1. Ekkor 𝐯 𝑟 T 𝐊 𝐯 𝑟 = 𝜔 0𝑟 2 . A sajátvektorokat egy V mátrixba foglalva az ortonormalitás miatt 𝐕 T 𝐌𝐕=𝐄 és 𝐕 T 𝐊𝐕= 𝜔 01 2 ⋯ 𝜔 0𝑟 2 ⋯ 𝜔 0𝑛 2 = 𝛀 2 . Ha bevezetünk egy új 𝐱 𝑡 =𝐕𝐲 𝑡 összefüggést és behelyettesítjük az 𝐌 𝒙 𝑡 +𝐊𝒙 𝑡 =𝟎 egyenletbe, majd az egyenletet balról megszorozzuk a 𝐕 T mátrixszal: 𝐕 T 𝐌𝐕 𝐲 𝑡 + 𝐕 T 𝐊𝐕𝐲 𝑡 =𝟎 𝐲 𝑡 + 𝛀 2 𝐲 𝑡 =𝟎 𝑦 1 𝑡 ⋮ 𝑦 𝑟 𝑡 ⋮ 𝑦 𝑛 𝑡 + 𝜔 01 2 𝑦 1 𝑡 ⋮ 𝜔 0𝑟 2 𝑦 𝑟 𝑡 ⋮ 𝜔 0𝑛 2 𝑦 𝑛 𝑡 =𝟎

Megoldás Az 𝑦 𝑟 𝑡 + 𝜔 0𝑟 2 𝑦 𝑟 𝑡 =0 egyszabadságfokú rendszer megoldása: A megoldáshoz szükségünk van az 𝑦 0𝑟 és 𝑦 0𝑟 kezdeti feltételekre, melyeket az 𝐱 𝑡 =𝐕𝐲 𝑡 egyenletből határozunk meg: 𝑦 𝑟 𝑡 = 𝑦 0𝑟 cos 𝜔 0𝑟 𝑡+ 𝑦 0𝑟 𝜔 0𝑟 sin 𝜔 0𝑟 𝑡 𝐲 𝑡 = 𝐕 −1 𝐱 𝑡 𝐲 0 = 𝐕 −1 𝐱 0 = 𝐯 𝒓 T 𝐌 𝐱 0 𝐕 −1 = 𝐕 T 𝐌 𝐲 0 = 𝐕 −1 𝐱 0 = 𝐯 𝒓 T 𝐌 𝐱 0 𝑦 𝑟 𝑡 = 𝐯 𝒓 T 𝐌 𝐱 0 cos 𝜔 0𝑟 𝑡+ 1 𝜔 0𝑟 𝐯 𝒓 T 𝐌 𝐱 0 sin 𝜔 0𝑟 Az elmozdulásvektor minden időpillanatban a sajátvektorok egy lineáris kombinációja 𝑥 𝑡 = 𝒓=𝟏 𝒏 𝐯 𝒓 𝐯 𝒓 T 𝐌 𝐱 0 cos 𝜔 0𝑟 𝑡+ 1 𝜔 0𝑟 𝐱 0 sin 𝜔 0𝑟 𝑡

Sajátrezgésalakok Ha 𝐱 0 = 𝐯 𝑠 és 𝐱 0 =0, akkor 𝑟≠𝑠 esetén 𝐯 𝑟 T 𝐌 𝐯 𝑠 =0. Így a megoldásban csak a 𝐯 𝑠 vektor jelenik meg: A rendszer tehát a sajátvektornak megfelelő amplitúdókkal rezeg. A sajátvektorokat sajátrezgésalakoknak is nevezzük. A legkisebb sajátkörfrekvenciához pedig az alap rezgésalak tartozik. 𝐱 𝑡 = 𝐯 𝑠 cos 𝜔 0𝑠 𝑡

Modálanalízis Az eljárást, amely a sajátvektorok bázisában írja fel a rezgésegyenlet megoldását, modálanalízisnek nevezzük. (Az egyes rezgésalakokat szokás módusnak nevezni). Előnye, hogy ad egy képletet, amelyből bármely időpontban számíthatók az elmozdulások. (Az elmozdulásokra levezetett összefüggés időszerinti deriválásával pedig olyan összefüggést kapunk, amelyekből a sebességek számíthatók.) Az eljárás igényli a sajátvektorok meghatározását, amely több tízezer szabadságfokú rendszereknél nem lehetséges. Ha nem tudjuk az összes sajátvektort számítani, akkor a részleges összegzés pontatlan eredményt ad. Látni fogjuk, hogy az egyes sajátvektorok szerepe különböző, így lehetséges, hogy bizonyos számú sajátvektor számítása elegendő a mérnöki gyakorlat megkövetelte pontosság eléréséhez. A sajátvektorok szükséges számának meghatározása egy felelős mérnöki feladat, amellyel a későbbi tanulmányainkban fogunk találkozni.

A szerkezeti csillapítás hatása többszabadságfokú szabad rezgésnél Ha a belső súrlódási tényező minden rugóelemnél azonos

Többszabadságfokú rendszer harmonikus gerjesztése Az állandósult rezgés számítása harmonikus gerjesztésnél a rezgésegyenlet közvetlen megoldásával A differenciálegyenlet: A partikuláris megoldás alakja: Behelyettesítve a mátrix-differenciálegyenletbe: A megoldás:

Többszabadságfokú rendszer harmonikus gerjesztése Kétszabadságfokú rendszer esetében a feladat egyszerűen megoldható:

Többszabadságfokú rendszer harmonikus gerjesztése A rezgésegyenlet megoldása a sajátvektorok ismeretében A mátrix-differenciálegyenlet: Bevezetjük az új ismeretlent: Behelyettesítünk és szorzunk balról 𝐕 T -vel:

Többszabadságfokú rendszer harmonikus gerjesztése Egyszerűsítve: Az egyszabadságfokú rezgésnek megfelelő r-dik differenciálegyenlet: A partikuláris megoldás:

Többszabadságfokú rendszer harmonikus gerjesztése Az 𝐱 𝑡 =𝐕𝐲 𝑡 összefüggés ismeretében: 𝜇 𝑟 Rezonanciatényező tényező: annál kisebb, minél nagyobb az adott sajátkörfrekvencia tényező: az egyes sajátvektoroknak a megoldásban lévő hatását a sajátvektor és a tehervektor skalárszorzata is befolyásolja. Ha a két vektor egymásra merőleges (például az egyik szimmetrikus a másik ferdén szimmetrikus) ez a tényező zérus is lehet.

Többszabadságfokú rendszer harmonikus gerjesztése szerkezeti csillapítással Ha a gerjesztő frekvencia bármelyik sajátkörfrekvenciával egybeesik végtelen nagy amplitúdót kapunk. A valóságban a mindig meglévő szerkezeti csillapítás miatt ez nem történhet meg: Mivel az tényező a magasabb sajátkörfrekvenciáknál egyre kisebb lesz, a mérnöki gyakorlat csak korlátozott számú sajátvektort von be a megoldásba. A fáziseltolódás:

Többszabadságfokú rendszer harmonikus gerjesztése szerkezeti csillapítással Az állandósult rezgésrész:

Rezgésegyenlet megoldása arányos csillapítás esetén Arányos csillapítás: a külső - sebességgel arányos - csillapítás mátrixa a tömegmátrix és a merevségi mátrix lineáris kombinációjaként állítható elő: Megoldás modálanalízissel: Az egyszabadságfokú rendszer: E E 𝛀 2 𝛀 2

Rezgésegyenlet megoldása arányos csillapítás esetén A megoldás alakja: és komplex számok. A karakterisztikus egyenlet: Ennek megoldása: Bevezetve a és jelöléseket:

Rezgésegyenlet megoldása arányos csillapítás esetén Ha a gyökalatti mennyiség negatív, akkor és képzetes számok lesznek. Ekkor nincs rezgés, nagy a csillapítás. bevezetésével: ar és br konstansok a kezdeti értékekből számíthatóak (8. dia).

Gerjesztett rezgés arányos csillapítással

A tömeggel és a merevséggel való arányosság, valamint a kettő kombinációja

A modálanalízis alkalmazása részleges sajátérték-feladat megoldásával Az eddigiekben ismertetett megoldásoknál feltételeztük, hogy ismerjük a feladathoz tartozó összes sajátértéket és sajátvektort. Ez azonban - kis méretű feladatoktól eltekintve – nem lehetséges. Kérdés az, hogy hogyan dönthetünk az adott alkalmazásban szükséges sajátvektorok számáról.

A modálanalízis alkalmazása részleges sajátérték-feladat megoldásával Szabad rezgés A t=0 időpontban: Tetszőleges s vektor esetén: Ha nem vesszük figyelembe az összes sajátvektort, m<n Az s vektor és az 𝐬 vektor összehasonlítása után dönthetünk arról, hogy elegendő sajátvektort vettünk-e figyelembe a vizsgálatok során. E

A modálanalízis alkalmazása részleges sajátérték-feladat megoldásával Harmonikus erővel való gerjesztés

A modálanalízis alkalmazása részleges sajátérték-feladat megoldásával 18 27

A modálanalízis alkalmazása részleges sajátérték-feladat megoldásával Gerjesztés időtől tetszőlegesen függő erő esetén 18 28

Rezgésszámítás kvázi-modálanalízissel a megoldást a csillapítatlan eset sajátvektorai segítségével írjuk fel, de módusonként más-más ekvivalens 𝛾-val számolunk.