Valószínűségi kísérletek

Í: Írás van felül; K: Kép van felül 1. feladat Becsüljük meg, hogy egy kétforintost sokszor feldobva az esetek mekkora részében lesz írás, vagy kép felül. (Gyakran mondjuk így: fej vagy írás?) Végezzük el a kísérletet, majd hasonlítsuk össze a becsült értéket a kapott eredménnyel! Becslés: A pénzfeldobásoknak kétféle konkrét kimenetele lehet: Í: Írás van felül; K: Kép van felül Szabályos pénzérmével dobva a két esemény ugyanakkora eséllyel következhet be, vagyis a két eseménynek ugyanakkora a valószínűsége. Ha sokszor elvégezzük a kísérletet, akkor várható, hogy mindkét esemény megközelítően az összes dobás 0,50 részében fordul elő. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy mindkét esemény valószínűsége 0,50. Kísérlet: Jó tanácsok: Célszerűség (egyszerre több darab pénzzel), rögzítés (táblázat).

1. feladat K (kép) Í (írás) 9 11 X 9 Í (írás) 11 Ha az értékeket soronként összegezzük, akkor megkapjuk, hogy 20 dobásból hányszor következett be a K, illetve az I esemény, vaqgyis, hogy mennyi volt ezen események gyakorisága. K esemény gyakorisága: 9; I esemény gyakorisága: 11 Ha a gyakoriságok értékét osztjuk az összes dobás számával, akkor megkapjuk, hogy a kísérletek mekkora részében következett be az esemény. Az így kapott értéket az esemény relatív gyakoriságának nevezzük . K esemény relatív gyakorisága: 9 : 20 = 0,45; I esemény relatív gyakorisága: 11 : 20 = 0,55

1. feladat + = 1 0,45 + 0,55 = 1 A K előfordulásának száma K esemény relatív gyakorisága: A számba vett dobások száma Az I előfordulásának száma I esemény relatív gyakorisága: A számba vett dobások száma A kétforintos feldobásának nem lehet más kimenetele. A K, illetve az I események kizárják egymást, egyszerre nem következhetnek be. Ezért + = 1 K esemény relatív gyakorisága I esemény relatív gyakorisága 0,45 + 0,55 = 1

A nagy számok törvénye Minél több kísérletet végzünk el, annál jobban bízunk az eredményben. A nagy számok törvénye azt fejezi ki, hogy a relatív gyakoriság nagy számú kísérlet esetén nagy valószínűséggel jól megközelíti a valószínűséget. Nagyon valószínű, hogy minél több kísérletet végzünk el, annál nagyobb biztonsággal állíthatjuk, hogy jól megközelítjük a számításokkal kimutatható valószínűséget.

2. feladat Mekkora a valószínűsége annak, hogy két darab kétforintossal dobva a földet érés után: A: Mindkét kétforintoson a kép van fölül? B: Mindkét kétforintoson az írás van fölül? C: Az egyiken a kép, a másikon az írás az írás van fölül? A valószínűség értékét kísérlet segítségével becsülték meg. 1000 dobást megfigyelve a K esemény (kép van felül) 568-szor következett be. A K relatív gyakorisága 568:1000=0,568 volt. Ha a K esemény relatív gyakorisága 0,568, akkor az I esemény (írás van felül) relatív gyakorisága: 1 – 0,568 = 0,432. I ≈ 0, 43. Az A esemény valószínűségének becslése: az első kétforintoson a kép lesz felül az esetek mintegy 0,57 részében. Mivel a kétforintosok egymástól függetlenül esnek le, a második kétforintos esetében a kép lesz felül azoknak az eseteknek a 0,57 részében amikor az első kétforintoson is a kép van felül. Így az esetek 0,57  0,57 ≈ 0,32 részében várható, hogy mindkét kétforintoson a kép van felül. (pontos érték: 0,568  0,568 = 0,322624)

2. feladat + + = 1 A valószínűsége B valószínűsége C valószínűsége A B esemény valószínűségét hasonló gondolatmenettel kapjuk: A B esemény (mindkét kétforintoson az írás van felül) valószínűsége: 0,43  0,43 ≈ 0,18 (pontos értékkel számolva: 0,432  0,432 = 0,186624) A C esemény kétféleképpen következhet be: 1. kétforintos 2. kétforintos valószínűség Egyik eset kép írás ≈ 0,57  0,43 Másik eset ≈ 0,43  0,57 A C esemény valószínűsége: ≈ 2  0,43  0,57 ≈ 0, 49 (pontos értékekkel számolva: 2  0,432  0,568 = 0,490752) A valószínűsége + B valószínűsége + C valószínűsége = 1 0,322624 + 0,186624 + 0,490752 = 1

3. feladat 9 1 = = = 36 4 A: A két dobott szám szorzata páratlan. Két szabályos dobókockával dobva mekkora a valószínűsége a következő eseménynek? A: A két dobott szám szorzata páratlan. A 2. kockán lévő szám 1 2 3 4 5 6 Az 1. kockán lévő szám 8 10 12 9 15 18 16 20 24 25 30 36 A kísérlet konkrét kimeneteleit táblázatban rögzíthetjük. A táblázatba beírjuk a dobható számok szorzatát. A kísérletnek összesen 36 kimenetele lehetséges. Mindegyik ugyanolyan eséllyel következhet be. Az A esemény szempontjából kedvező kimenetelek száma 9. Ha sokszor végezzük el a kísérletet, várható, hogy az esetek 9 : 36 részében lesz a két dobott szám szorzata páratlan. 9 1 Kedvező kimenetelek száma A valószínűsége = = = Összes kimenetel száma 36 4

Összefoglalás Valószínűség számítása: A következő valószínűségi fogalmakkal ismerkedtünk meg: becslés: várható érték megközelítése számmal kísérlet: az eset többszöri modellezése kimenetel: végeredmény esemény: a feladat elvégzése, a kimenetel vizsgálata valószínűség: bekövetkezési esély gyakoriság: amennyiszer az esemény bekövetkezik relatív gyakoriság: az összes kísérlet mekkora részében következik be egy konkrét esemény nagy számok törvénye: minél többször végezzük el a kísérletet, annál jobban megközelítjük a várható eredményt (a valóságot) független események: az események bekövetkeznek úgy, hogy nem befolyásolják egymást Valószínűség számítása: