Függvénytranszformációk Készítette: Lesku Katalin IV. évfolyam matematika szak

A függvények és a geometriai transzformáció Ismerjük a különböző alapfüggvényeket, azok ábrázolását, és a geometriai transzformációkat. Vajon függvényábrázolás közben találkozha-tunk geometriai transzformációkkal is? Tekintsük a következő függvényábrázolásokat.

Induljunk ki a legegyszerűbb másodfokú függvény képéből.

Hozzárendelési szabályok Változtassuk meg a hozzárendelési szabályt, és figyeljük meg a függvény képének változásait! 1. ábra 2. ábra 3. ábra 4. ábra 5. ábra

1. ábra

2. ábra

3. ábra

4. ábra

5. ábra

Változások a függvény képében Milyen változásokat figyelhetünk meg? 1. ábra: a függvény képe az y tengellyel párhuzamosan elto-lódik 3 egységgel felfelé. 2. ábra: a függvény képe az x tengellyel párhuzamosan elto-lódik 3 egységgel balra. 3. ábra: a függvény képe az x tengelyre tükröződik. 4. ábra: a függvény képe az y tengely irányában 3-szorosára nyúlik. 5. ábra: a függvény képe az x tengely irányában 1/3-szoro-sára összenyomódik.

Mit állapíthatunk meg? Az öt példából úgy tűnik, hogy ha egy-egy alapfüggvény hozzárendelési szabályát a fenti módon megváltoztatjuk, akkor az új függvény képét az alapfüggvény képéből valamilyen geometriai transzformációval megkaphatjuk. Az alapfüggvényeknél a hozzárendelés ilyen jellegű megváltoztatását függvénytranszfor-mációnak nevezzük.

Függvénytranszformációk esetei A függvényérték transzformációi A változó transzformációi f(x)+c f(x+c) –f(x) f(– x) cf(x) 0<c f(cx) 0<c Alapfüggvényünk az f függvény, helyettesítési értéke az x helyen: f(x).

Néhány példa a transzformációkra Négyzetgyök függvény esetén

Abszolútérték függvény esetén

Az eredeti függvény grafikonjának változása A függvényérték transzformációi A változó transzformációi f(x)+c: az f függvény képe az y tengellyel párhuzamosan eltolódik |c|-vel, ha 0<c felfelé, ha 0>c lefelé f(x+c): az f függvény képe az x tengellyel párhuzamosan eltolódik |c|-vel, ha 0<c balra, ha 0>c jobbra -f(x): az f függvény képe az x tengelyre tükröződik f(-x): az f függvény képe az y tengelyre tükröződik cf(x): az f függvény képe az y tengely irányában c-szeresére nyúlik, ha 1<c, összenyomódik, ha 0<c<1 f(cx): az f függvény képe az x tengely irányában 1/c-szeresére összenyomódik, 1<c, nyúlik, ha 0<c<1