Valószínűségszámítás és statisztika előadások Mérnök informatikus BSc szak PMKMANB011H PTE MIK Rendszer és Szoftver Technológia Tanszék, dr. Klincsik Mihály Kombinatorika elemei Számlálási technikák: összeadás szabály, szorzás szabály, kombinatorikai alapok: permutáció, variáció és kombináció, példák. Mintavétel visszatevés nélkül és visszatevéssel.

A kombinatorika alapelvei: összeadás szabály A számlálás összeadás szabálya: Ha A és B véges diszjunkt tevékenységek, akkor Tehát egymást kizáró A és B tevékenységek egyesítésének végrehajtási számát az A és B elemei számának összege adja. Példa. Egy n=6 lépcsőfokból álló lépcsőn úgy tudunk felmenni, hogy egyszerre vagy 1 lépcsőfokot lépünk vagy 2 lépcsőfokot ugrunk. Hány különböző módon mehetünk fel a földszintről egy 6 lépcsőfokból álló lépcsőn az első emeletre? 2. 1. 4. 3. 6. 5. földszint 1. emelet Jelölje xk az k-adik lépcsőfokra való különböző feljutások számát! x2=2, mert feljuthatunk úgy, hogy egyszerre 2 lépcsőfokot lépünk vagy kétszer lépünk 1 lépcsőfokot. x1=1 , mert egyet lépve feljutunk az első lépcsőfokra Vizsgáljuk a k-adik (>2) lépcsőfokra való feljutás lehetőségeinek számát. Keressünk összefüggést az alacsonyabb lépcsőfokokra való feljutás lehetőségeinek számával!

xk=xk-1+xk-2 k=3, 4, 5, 6, ahol x1=1 és x2=2 A kombinatorika alapelvei: összeadás szabály Ak ={ a k-adik lépcsőfokra feljutások, melyben utolsó lépésre 1 lépcsőfokot lépünk} Bk ={ a k-adik lépcsőfokra feljutások, melyben utolsó lépésre 2 lépcsőfokot ugrunk} Az Ak és Bk tevékenységeket egyszerre nem lehet végrehajtani, tehát egymást kizárók: Ck={ a k-adik lépcsőfokra feljutások} = Összeadás szabály alapján xk=|Ck|= |Ak| + |Bk| |Ak| = xk-1, mert a (k-1)-ik lépcsőfokról jutunk fel a k-adikra egy lépcsőfokot lépve. |Bk|=xk-2 , mert a (k-2)-ik lépcsőfokról jutunk fel a k-adikra két lépcsőfokot ugorva. A k-adik lépcsőfokra való különböző feljutások lehetőségét megkapjuk, ha a két diszjunkt feljutások számát összeadjuk xk=xk-1+xk-2 k=3, 4, 5, 6, ahol x1=1 és x2=2 Ezzel a rekurzív összefüggéssel értelmezett sorozatot Fibonacci-féle sorozatnak nevezzük. x1=1, x2=2, x3=1+2=3, x4=3+2=5, x5=5+3=8, x6=8+5=13 Tehát a 6 –ik lépcsőfokra 13 különböző módon juthatunk fel.

A={szürke, kék, piros, fekete} A kombinatorika alapelvei: szorzás szabály A számlálás szorzás szabálya Ha A és B halmazok, akkor a két halmaz rendezett (a,b) párjaiból álló AB Descartes-szorzat elemeinek száma a két halmaz elemei számának szorzata | AB|=|A| ∙|B| Példa. Egy autókereskedőnél rendelhető autó szinek A={szürke, kék, piros, fekete} Az autók kivitelezési lehetőségei B={3 ajtós, 4 ajtó, 5 ajtós} Miden színt lehet párosítani tetszőleges kivitelezéssel. Hányféle rendelést lehet összeállítani? Az összes párosítási lehetőség AB = { (szürke,3 ajtós) , (szürke, 4 ajtós), (szürke, 5 ajtós), (kék,3 ajtós) , (kék, 4 ajtós), (kék, 5 ajtós), (piros,3 ajtós) , (piros, 4 ajtós), (piros, 5 ajtós), (fekete,3 ajtós) , (fekete, 4 ajtós), (fekete, 5 ajtós), Tehát összesen |A|∙|B|= 4∙3=12 különböző módon lehet rendelést összeállítani.

A kombinatorika alapelvei: szorzás szabály Általánosítás: A szorzási szabályt általánosítsuk az A és B két halmaz helyett tetszőleges számú halmazra! Feladat. Az A és B városokat 4 különböző út köt össze. A B és C városok között 2 különböző út halad, míg a C és D városokat 3 különböző út köt össze. Hányféleképpen juthatunk el (i) az A városból a C városba? (ii) az A városból a D városba? A B C D

A kombinatorika alapvető műveletei és számításaik Ismétlés nélküli Ismétléses Permutáció Variáció Kombináció

Összesen P2=2 befutási sorrend lehetséges. Ismétlés nélküli permutáció Példa. Egy futó versenyen r futó vesz részt. Hány különböző befutási sorrend alakulhat ki? Megoldás Jelöljük Pr-rel a keresett befutási sorrendek számát általánosan. Vizsgáljuk kis r résztvevőszám esetén Pr értékének meghatározását! Összesen P2=2 befutási sorrend lehetséges. r=2 résztvevő sorrendje kétféle lehet: (1,2) és (2,1). Legyen a résztvevők száma r=3. Az 1 rajtszámú futó az első helyen végzett Összesen P3=6=3·2 befutási sorrend lehetséges. A 2 rajtszámú futó az első helyen végzett A 3 rajtszámú futó az első helyen végzett

Ismétlés nélküli permutáció r=4 résztvevő esetén az összes eset felsorolása helyett alkalmazzuk inkább a szorzás szabályt! Az A1, A2, A3 és A4 tevékenységek jelentése rendre a következő: Ak jelentése: a k-adik helyre választunk egy nevet a befutók közül. Kezdjük a választást az első hellyel! Az A1 tevékenységet 4-féleképpen hajthatjuk végre, mert az 1, 2, 3 és 4 versenyzők bármelyikét tehetjük az első helyre. Ezért |A1|=4. Ha választottunk egy versenyzőt az első helyre, akkor a második helyre választhatunk a megmaradt 3 versenyző közül, ezért |A2|=3. Ha választottunk versenyzőt az első helyre és a második helyre is, akkor a harmadik helyre választhatunk a megmaradt 2 versenyző közül, ezért |A3|=2. Ha választottunk versenyzőt az első helyre, a második és a harmadik helyre is, akkor a negyedik helyre a megmaradt 1 versenyzőt tehetjük csak, ezért |A4|=1. A szorzás szabály alapján P4=4 · 3 · 2 · 1 = 24 befutási sorrend lehet 4 versenyző esetén.

Ismétlés nélküli permutáció r résztvevő esetén hasonló elgondolást követhetünk. Felbontjuk a tevékenységet r résztevékenységre! Jelöljük ezeket A1, A2, A3 … Ar –rel! Az Ak tevékenység jelentse azt, hogy a k-adik helyre választunk egy nevet a befutók közül. A korábbi meggondolások alapján az első helyre r választási lehetőségünk van, tehát |A1|=r. Ha választottunk egy versenyzőt az első helyre, akkor a második helyre választhatunk a megmaradt (r-1) versenyző közül, ezért |A2|=r−1. Ha választottunk versenyzőt az első helyre és második helyre is, akkor a harmadik helyre választhatunk a megmaradt 2 versenyző közül, ezért |A3|=r−2. Folytathatjuk a felsorolást úgy, hogy a választási lehetőségek száma minden esetben eggyel csökken. Ezért a végére éppen elfogynak a versenyzők, így |Ar|=1. A szorzás szabály alapján Pr= r · (r-1) · (r-2) · ·2 · 1 = r! befutási sorrend lehet r versenyző esetén. Ahol r! jelölést r faktoriálisnak olvassuk.

Pn = n! = n∙(n-1) ∙(n-2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1. Ismétlés nélküli permutáció DEFINÍCIÓ: ISMÉTLÉS NÉLKÜLI PERMUTÁCIÓ Az n különböző elem összes lehetséges sorrendjének számát az n elem permutációinak nevezzük és Pn-nel jelöljük. Most bizonyítottuk a következő állítást. TÉTEL. Az n különböző elem összes lehetséges sorrendjének száma n! n-faktoriális, azaz Pn = n! = n∙(n-1) ∙(n-2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1. Feladat Hányféleképpen lehet elhelyezni egy sakktáblán 8 bástyát úgy, hogy ne legyen kettő, amelyik üti egymást! (Vagyis ne legyen semelyik kettő sem egy sorban vagy egy oszlopban!)

Ismétléses permutáció Példa. Egy kosárban van 5 golyó, amelyek közül 3 fekete és 2 piros színű. Hányféleképpen lehet a golyókat egymásután kivenni a kosárból? Megoldás Jelölje a keresett kiválasztási sorrendek számát! Próbáljuk felsorolni az összes lehetséges különböző sorrendet! Ha átmenetileg megkülönböztetjük a három fekete golyót és a 2 piros golyót is, akkor ezek összes kihúzási sorrendje 5! lesz. A piros golyók egymás között 3! féleképpen rakhatók sorba, míg a pirosak 2! Így az összes esetet 3!∙2! kupacba tudjuk csoportosítani, és mindegyikből kupacból csak egy érdekel bennünket, mert az azonos színű golyók nem különböztethetők meg. Ezért Ahonnan

Ismétléses permutáció DEFINÍCIÓ: ISMÉTLÉSES PERMUTÁCIÓ Tegyük fel, hogy n elem közül ismétlődik k1, k2, …, kr darab. Az n elem összes lehetséges sorrendjének számát az n elem (k1, k2, …, kr) osztályú ismétléses permutációinak nevezzük és rá a jelölést használjuk, ahol a k1+k2+…+kr= n feltétel teljesül! Igazoljuk az előző példa bizonyítási módszerével a következő állítást. TÉTEL. Az n elem (k1, k2, …, kr) osztályú ismétléses permutációinak száma Feladat Egy futó versenyen 3 magyar, 5 német és 4 angol versenyző vesz részt. Hányféle sorrend lehet a befutók között, ha az egy nemzethez tartozókat nem különböztetjük meg egymástól?

Ismétlés nélküli variáció PÉLDA. Egy futó versenyen n futó vesz részt. A versenyen hány különböző befutási sorrend alakulhat ki az első k helyen? (k≤n) Megoldás Jelölje Vkn a keresett befutási sorrendek számát n futó esetén és csak az első k helyet figyelve. Felbontjuk a tevékenységet k résztevékenységre! Jelölje ezeket A1, A2, A3 … Ak –val! Az Ar tevékenység jelentse azt, hogy az r-edik helyre választunk egyet a versenyzők közül. Az első helyre n választási lehetőségünk van: |A1|=n Ha választottunk egy versenyzőt az első helyre, akkor a második helyre választhatunk a megmaradt (n-1) versenyző közül: |A2|=n-1 Ha választottunk versenyzőt az első helyre és a második helyre is, akkor a harmadik helyre választhatunk a megmaradt (n-2) versenyző közül: |A3|=n-2 Folytathatjuk a felsorolást úgy, hogy a választási lehetőségek száma minden esetben eggyel csökken. Ezért a k-adik helyre a választható versenyzők száma (n-k+1). A szorzás szabály alapján

Ismétlés nélküli variáció DEFINÍCIÓ: ISMÉTLÉS NÉLKÜLI VARIÁCIÓ Az n különböző elem k (≤n) helyre való összes lehetséges lepakolási sorrendjének számát az n elem k-ad osztályú variációjának nevezzük és Vkn-val jelöljük. Most bizonyítottuk a következő állítást. TÉTEL. Az n különböző elem k-ad osztályú variációinak száma Feladat Egy urnában 10 sorszámozott golyó van. Hányféleképpen húzhatunk ki belőle 4 golyót egymás után úgy, hogy a golyókat nem tesszük vissza?

Ismétléses variáció PÉLDA. A bank kártyák PIN kódja 4 számjegyből állnak. Összesen hány különböző PIN kódot lehet képezni, ha mindegyik jegy 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 vagy 9 lehet? Megoldás A 4 jegyű kód mindegyike helyére gépelhetjük a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, vagy 9 számok valamelyikét. Felbontjuk a tevékenységet 4 résztevékenységre azaz halmazra! Jelöljük ezeket A1, A2, A3, A4 –el! Az Ar tevékenység jelentse azt, hogy az r-edik helyre beírtunk egy számjegyet a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, vagy 9 számok közül. Mindegyik esetben |Ar |=10. Ezért a szorzás szabály alapján a PIN kódok különböző begépelési variációinak száma 10∙10 ∙10 ∙10 = 104= 10000 . Így a bank kártyák között kiadható különböző PIN kódok száma = 10 000.

Ismétléses variáció DEFINÍCIÓ: ISMÉTLÉSES VARIÁCIÓ Tegyük fel, hogy n elemet kell elhelyezni k helyre úgy, hogy az elhelyezés során az n elem bármelyike akárhányszor ismétlődhet. A különböző elhelyezések számát az n elem k-ad osztályú ismétléses variációjának nevezzük és a jelölést használjuk. Igazoljuk az előző példa bizonyítási módszerével a következő állítást. TÉTEL. Az n elem összes k osztályú ismétléses variációinak a száma Feladat Hány különböző rendszámtábla készíthető, ha az első 3 helyen csak betűt (26 félét) és az utolsó 3 helyen csak számjegyet engedünk meg?

Ismétlés nélküli kombináció PÉLDA Az ötös LOTTÓ esetén 90 számból kell 5 különböző számot megjelölni, melyben a jelölés sorrendje nem számít! Megoldás Ha az 5 szám húzási sorrendjét megkülönböztetjük, akkor 90 elem 5-öd osztályú ismétlés nélküli variációját kapjuk: Mivel a húzás sorrendjére nem vagyunk tekintettel, ezért a fenti variációs lehetőségek számát le kell osztani 5!=120 értékkel ugyanúgy, mint azt az ismétléses permutációnál tettük. Így kapjuk a következő számot Tehát mind az 5 szám eltalálásának esélye 1 szelvény esetén

Ismétlés nélküli kombináció DEFINÍCIÓ: ISMÉTLÉS NÉLKÜLI KOMBINÁCIÓ Tegyük fel, hogy n különböző elem közül kell kivenni k elemet úgy, hogy a sorrendre nem vagyunk tekintettel. A különböző kivételek számát az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációjának nevezzük és a jelölést használjuk. Az utóbbi képletet „n alatt a k” -nak olvassuk és binomiális együtthatónak is nevezzük Igazoljuk az előző példa bizonyítási módszerével a következő állítást. TÉTEL. Az n elem összes k –ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak a száma

Ismétléses kombináció PÉLDA. Alma, barack és körte van egy-egy tele kosárral mindegyik fajtából. Ki kell szednünk összesen 5 gyümölcsöt a kosarakból tetszőleges módon ismétlési lehetőséggel. A kiszedés sorrendje nem számít, csak az, hogy hány almát, barackot és körtét szedtünk ki. Hány különböző összetételben szedhetjük ki az 5 gyümölcsöt? Megoldás Ha az almát „a” betűvel, barackot „b”-vel és körtét „k” betűvel rövidítjük, akkor a következő kiszedések lehetségesek. [a, a, a, a, a], [a, a, a, a, b], [a, a, a, a, k], [a, a, a, b, b], [a, a, a, b, k], [a, a, a, k, k], [a, a, b, b, b], [a, a, b, b, k], [a, a, b, k, k], [a, a, k, k, k], [a, b, b, b, b], [a, b, b, b, k], [a, b, b, k, k], [a, b, k, k, k], [a, k, k, k, k], [b, b, b, b, b], [b, b, b, b, k], [b, b, b, k, k], [b, b, k, k, k], [b, k, k, k, k], [k, k, k, k, k] Láthatjuk, hogy 21 különböző kiszedést tudunk felsorolni. A gyümölcsöket jelöljük ` *` jellel és a kosarak váltását a `|` elválasztó jellel. Rakjuk sorrendbe az 5 csillagot és a 2 elválasztó jelet! [`*`, `*`, `*`, `*`, `*`, `|`, `|`], [`*`, `*`, `*`, `*`, `|`, `*`, `|`], [`*`, `*`, `*`, `*`, `|`, `|`, `*`], [`*`, `*`, `*`, `|`, `*`, `*`, `|`], [`*`, `*`, `*`, `|`, `*`, `|`, `*`], [`*`, `*`, `*`, `|`, `|`, `*`, `*`], [`*`, `*`, `|`, `*`, `*`, `*`, `|`], [`*`, `*`, `|`, `*`, `*`, `|`, `*`], [`*`, `*`, `|`, `*`, `|`, `*`, `*`], [`*`, `*`, `|`, `|`, `*`, `*`, `*`], [`*`, `|`, `*`, `*`, `*`, `*`, `|`], [`*`, `|`, `*`, `*`, `*`, `|`, `*`], [`*`, `|`, `*`, `*`, `|`, `*`, `*`], [`*`, `|`, `*`, `|`, `*`, `*`, `*`], [`*`, `|`, `|`, `*`, `*`, `*`, `*`], [`|`, `*`, `*`, `*`, `*`, `*`, `|`], [`|`, `*`, `*`, `*`, `*`, `|`, `*`], [`|`, `*`, `*`, `*`, `|`, `*`, `*`], [`|`, `*`, `*`, `|`, `*`, `*`, `*`], [`|`, `*`, `|`, `*`, `*`, `*`, `*`], [`|`, `|`, `*`, `*`, `*`, `*`, `*`]

Ismétléses kombináció Jelölje n=3 a gyümölcs fajták számát, jelen esetben ezek alma, barack, és körte. Ezek közül kell k=5 gyümölcsöt kivenni tetszőleges számú ismétlődési lehetőséggel és közben a kiválasztás sorrendje nem számít. Láttuk, hogy k=5 csillag ˙*` szimbólum és n1=2 elválasztó `|` pálcika jel sorrendje segítségével egyértelműen kódolható minden kiválasztás. Ez azt jelenti, hogy az n=3 különböző elem közül kiválasztani k=5 elemet ismétlődéssel megegyezik az 5+2=7 elem ismétléses permutációival. Az ismétléses permutációk számának ismeretében megkapjuk a 3 elemből 5 elem különböző kiválasztásainak számát, ha ismétlődést megengedünk és a sorrend nem számít.

Ismétléses kombináció DEFINÍCIÓ : ISMÉTLÉSES KOMBINÁCIÓ Tegyük fel, hogy n különböző elem közül kell kivenni k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít és az elemek kiválasztása tetszőlegesen ismétlődhet. A különböző kiválasztások számát az n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációjának nevezzük és a jelölést használjuk. Igazoljuk az előző példa bizonyítási módszerével a következő állítást. TÉTEL. Az n elem k –ad osztályú ismétléses kombinációinak a száma FELADAT Egy fagylaltozóban meglepetést szeretnénk szerezni barátunknak. Ezért részére titokban egy 5 gombócos fagylalt kelyhet rendelünk. Háromféle fagylalt van: csoki, vanília és citrom. Az 5 gombócot véletlenszerű összeállításban rendeljük. Kiderült azonban, hogy barátunk nem szereti a citromot. Mekkora a valószínűsége, hogy a rendelt kehelyben nem lesz citrom ízű gombóc?

Kombinatorika alkalmazása a mintavételezésben MINTAVÉTEL VISSZATEVÉS NÉLKÜL feltétel. Rendelkezésre áll N darab egyforma gyártmány pl. csavar. feltétel. A gyártmányok között s darab megkülönböztetett pl. selejt van. (1s<N) feltétel. Kiválasztunk véletlenszerűen n elemű mintát. (nN) Kérdés Mekkora valószínűséggel kerül a mintába k darab a megkülönböztettek közül, ahol k= 0,1,2, …., min(n,s) lehet. Megoldás lépés. Összes kiválasztási lehetőségek számítása: N elem közül kell n elemet kiválasztani úgy, hogy a sorrend nem számít. Ezek száma 2. lépés. Válasszunk ki k gyártmányt az s selejt közül! Ezek száma 3. lépés. Válasszunk ki (nk) gyártmányt a (Ns) jó közül! Ezek száma 4. lépés. Kedvező esetek száma

Kombinatorika alkalmazása a mintavételezésben MINTAVÉTEL VISSZATEVÉS NÉLKÜL A kapott eloszlás neve hipergeometrikus eloszlás és paraméterei : N, n, s. FELADAT Egy dobozban N=40 izzólámpa van, amelyből s=5 selejt. Kiveszünk n=8 izzót véletlenszerűen visszatevés nélkül. Mennyi selejt lesz legnagyobb valószínűséggel a kivett mintában? Maple - parancs eredménye Statistics – csomag segítségével

Kombinatorika alkalmazása a mintavételezésben MINTAVÉTEL VISSZATEVÉSSEL feltétel. Rendelkezésre áll N darab egyforma gyártmány pl. csavar. feltétel. A gyártmányok között s darab megkülönböztetett pl. selejt van. (1s<N) feltétel. Kiválasztunk véletlenszerűen n elemű mintát egyesével, amelyet minden alkalommal visszateszünk. Kérdés Mekkora valószínűséggel kerül a mintába k darab a megkülönböztettek közül, ahol k= 0,1,2, …., n lehet. Megoldás lépés. Összes kiválasztási lehetőségek számítása: N elem közül kell n elemet kiválasztani ismétlési lehetőséggel. Ezek száma 2. lépés. Válasszuk ki azt a k helyet, ahol selejtet választunk ki! Ezek száma 3. lépés. A k helyre választunk az s selejt közül ismétléssel Ezek száma 4. lépés. Az (nk) helyre választunk az (Ns) jó közül ismétléssel! 5. lépés. Kedvező esetek száma

Kombinatorika alkalmazása a mintavételezésben MINTAVÉTEL VISSZATEVÉSSEL = , ahol p=s/N a selejtarány. A kapott eloszlás neve binomiális eloszlás és paraméterei : n, p. FELADAT Egy dobozban N=40 izzólámpa van, amelyből s=5 selejt. Kiveszünk n=8 izzót véletlenszerűen visszatevéssel. Mennyi selejt lesz legnagyobb valószínűséggel a kivett mintában? Maple - parancs eredménye Statistics – csomag segítségével