Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

- 1- T.5. tétel (minimálpolinom egyértelmű létezése) Tetszőleges F[x] test feletti polinomgyűrűben minden J   0  ideálhoz egyértelműen létezik olyan.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "- 1- T.5. tétel (minimálpolinom egyértelmű létezése) Tetszőleges F[x] test feletti polinomgyűrűben minden J   0  ideálhoz egyértelműen létezik olyan."— Előadás másolata:

1 - 1- T.5. tétel (minimálpolinom egyértelmű létezése) Tetszőleges F[x] test feletti polinomgyűrűben minden J   0  ideálhoz egyértelműen létezik olyan g  F[x] főpolinom, amire J =  g . Bizonyítás. Legyen h minimális fokszámú polinom J –ben, h főegyütthatója b, ekkor belátható, hogy a g = b -1 h főpolinom jó választás lesz. Maradékos osztás tetszőleges f  J –re : f = gq + r és deg(r) < deg(g) = deg(h) 1. Egzisztencia.

2 - 2- J ideál  r = f –gq  J Kaptuk: tetszőleges f  J g –nek többszöröse  J =  g . Tfh  g’  F[x] : J =  g’ .  g = c’cg  c’c az egységelem c, c’ konstans és g, g’ főpolinom  deg(h) minimális  r = Unicitás.   c, c’  F[x] : g = c’g’ és g’ = cg. g = g’

3 -3- Definíció. Legyen F tetszőleges test és K egy részteste F –nek. Ha α  F algebrai elem K felett, akkor J = { f(x)  K[x]  f(α) = 0 } =  g , az az egyértelműen meghatározott g  K[x] főpolinom, amelyre az α K feletti minimálpolinomja. α K feletti fokszámán deg(g) –t értjük azaz, g generálja a J K[x] –beli ideált,

4 -4- T.6. tétel (minimálpolinom tulajdonságai) Legyen F tetszőleges test és K egy részteste F –nek, továbbá α  F K felett algebrai elem. (1) g irreducibilis K[x]-ben. (2)  f  K[x] –re f(α) = 0 g osztója f –nek. Ha α K feletti minimálpolinomja g, akkor  (3) g a legalacsonyabb fokszámú főpolinom K[x]-ben, amelynek α gyöke.

5 -5- Bizonyítás. (1) indirekte tfh g nem irreducibilis.   h 1, h 2  K[x] : g = h 1 h 2 és 1  deg(h i ) < deg(g) i = 1, 2. deg(g) > 0, hiszen van gyöke  0 = g(α) = h 1 (α)h 2 (α)  h 1 vagy h 2 J –beli és g ‌ h 1 vagy g ‌ h 2

6 -6- (2) a definícióból következik. (3) Legyen f  K[x] –re f(α) = 0  f  J, azaz f a g többszöröse. g főpolinom  f = g vagy deg(f) > deg(g). Definíció. F : K esetén, ha F mint K feletti vektortér nem véges dimenziós akkor a bővítés végtelen, egyébként véges bővítésről beszélünk. Az F : K testbővítés foka az F K feletti vektortér dimenziója, jelben [F:K].

7 -7- T.7. tétel (testbővítések foka) Legyen M : L és L : K véges testbővítés. Ekkor M : K véges bővítés és [M : K] = [M : L][L : K]. Bizonyítás. Legyen [M : L] = m, [L : K] = n bázisok: M : L {a 1, …, a m }, L : K {b 1, …, b n } ahol r ij  K, c i  L.

8 -8- b j a i elemből mn db van elég látni, hogy lineárisan függetlenek. Tehát legyen valamely s ij  K együtthatókkal : a i –k függetlenek L felett  b j –k függetlenek K felett 

9 -9- T.8. tétel (véges bővítés algebrai) Tetszőleges K test véges bővítése algebrai K felett. Bizonyítás. Legyen [L : K] = n  az n+1 db 1, a, a 2, …, a n elem lineárisan összefüggő K felett.  valamely c i K –beli, nem csupa nulla elemekre : c 0 + c 1 a c n a n = 0 Pontosan azt jelenti, hogy a algebrai K felett.

10 -10- T.9. tétel (faktorgyűrű és felbonthatatlan elem) Legyen R tetszőleges főideálgyűrű. Bizonyítás. R/  a  test  a felbonthatatlan R –ben. Ha a egység  R/  a  egyelemű  nem test. Ha a felbontható   b, c  R nem nulla nem egység elemek : a = bc. Kérdés : b   a  ? Ha igen, akkor b a többszöröse, azaz b = ad = bcd  b(1 –cd) = 0  cd = 1 : c és d egység  b  a b  a 1. eset 2. eset

11 -11- Mivel viszont a többszöröse b –nek :  a    b   R   a  nem maximális ideál R –ben  R/  a  nem test. 3. eset Ha a felbonthatatlan, akkor nem egység, tehát  a   R Vizsgáljuk a tetszőleges J R –beli ideált, amire  a   J =  b   R  a  J  b  a  vagy b egység, vagy b ~ a J = R J =  a   a  maximális ideál R –ben  R/  a  test

12 -12- T.10. tétel (egyszerű bővítés izomorfiája) F : K esetén legyen α  F K felett n –edfokú algebrai elem g K feletti minimálpolinommal. Ekkor Bizonyítás. K(α) izomorf K[x] /  g  –vel.  : K[x]  K(α) :  (f) = f(α) gyűrűhomomorfizmus.  g  = ker  = { f  K[x]  f(α) = 0 } Legyen S =  (K[x]) Homomorfizmus-tétel  S izomorf K[x] /  g  –vel.

13 -13- K[x] test feletti polinomgyűrű K[x] /  g  test  T.9. tétel   K[x] főideálgyűrű + minimálpolinom irreducibilis  S test Kérdés: S = K(α) ? S definíciója  S  K(α) Konstans polinom  melletti képe önmaga  K  S  K(α) és α  S K(α) a legszűkebb test, ami tartalmazza K –t és α –t  S = K(α)

14 -14- T.11. tétel (egyszerű bővítés bázisa) F : K esetén legyen α  F K felett n –edfokú algebrai elem g K feletti minimálpolinommal. Ekkor Bizonyítás. [K(α) : K] = n és K(α) K feletti bázisa  1, α,..., α n-1 . S = K(α)   c  K(α) felírható f(α) alakban, ahol f  K(α). Maradékos osztás g –vel : c = f(α) = q(α)g(α) + r(α), ahol deg(r) < deg(g) = n és g(α) = 0  c = f(α) = r(α) = b 0 + b 1 α b n-1 α n-1, valamely b i  K együtthatókkal.

15 -15- Tehát  K(α) –beli elem felírható  1, α,..., α n-1  - beli elemek K feletti lineáris kombinációjaként.   1, α,..., α n-1  bázis, ha elemei lineárisan függetlenek. b 0 + b 1 α b n-1 α n-1 = 0 Tehát tfh valamely b i  K együtthatókkal Ez pontosan azt jelenti, hogy a h(x) = b 0 + b 1 x b n-1 x n-1 polinomnak α gyöke, T.6/2 tétel  g  h   deg(h) < n = deg(g)  h = 0   b i = 0

16 -16- Következmény. c = b 0 + b 1 α b n-1 α n-1 Ha K(α) tetszőleges egyszerű testbővítése K –nak, akkor minden c  K(α) elem alakban írható, valamely b i  K együtthatókkal, azaz c előáll egy legfeljebb n – 1 –edfokú K feletti polinom α helyen vett helyettesítési értékeként.

17 -17- T.12. tétel (egyszerű bővítés elemeinek fokszáma) F : K esetén legyen α  F K felett n –edfokú algebrai elem g K feletti minimálpolinommal. Ekkor  c  K(α) elem algebrai K felett és c K feletti fokszáma osztója n –nek. Bizonyítás. T.8. tétel  K(α) algebrai bővítés K felett. T.11. tétel  K(α) véges bővítés K felett. K(c) résztest K(α) –ban. K résztest K(c) –ben.  c K feletti fokszáma [K(c) : K] n = [K(α) : K] = [K(α) : K(c) ][K(c) : K] T.7. tétel 

18 -18- Példa. Legyen K = Q, továbbá

19 -19-

20 -20- Tehát:


Letölteni ppt "- 1- T.5. tétel (minimálpolinom egyértelmű létezése) Tetszőleges F[x] test feletti polinomgyűrűben minden J   0  ideálhoz egyértelműen létezik olyan."

Hasonló előadás


Google Hirdetések