Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI/1 MECHANIKA BALÁZS ZOLTÁN BMF, KVK, MTI 2009.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI/1 MECHANIKA BALÁZS ZOLTÁN BMF, KVK, MTI 2009."— Előadás másolata:

1 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI/1 MECHANIKA BALÁZS ZOLTÁN BMF, KVK, MTI 2009.

2 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika tárgya: - physis görög szó, jelentése: természet - magyar neve: természettan - a 18. század végéig: a természetre vonatkozó ismeretek összessége. - később: az élettelen világ azon jelenségei, amelyekben a testek vegyi összetétele nem változik - ma: nem lehet ilyen éles határvonalat húzni, új tudományok alakultak ki a tudományok határterületein. A fizika tárgya: - physis görög szó, jelentése: természet - magyar neve: természettan - a 18. század végéig: a természetre vonatkozó ismeretek összessége. - később: az élettelen világ azon jelenségei, amelyekben a testek vegyi összetétele nem változik - ma: nem lehet ilyen éles határvonalat húzni, új tudományok alakultak ki a tudományok határterületein.

3 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika feladata: - a körébe tartozó anyagi világ objektív tulajdonságait képező jelenségek összességének minél jobb megismerése - nemcsak egyes jelenségek egyszerű leírása, hanem az ezek közötti kapcsolatok, törvényszerűségek meghatározása A fizika feladata: - a körébe tartozó anyagi világ objektív tulajdonságait képező jelenségek összességének minél jobb megismerése - nemcsak egyes jelenségek egyszerű leírása, hanem az ezek közötti kapcsolatok, törvényszerűségek meghatározása

4 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika módszerei: - első lépés: megfigyelés - 17.századtól: kísérlet - kvalitatív összefüggések megállapítása - kvantitatív összefüggések megállapítása - a kvantitatív összefüggések alapján a matematika módszereinek felhaszná- lásával fizikai törvények meghatározása. A fizika módszerei: - első lépés: megfigyelés - 17.századtól: kísérlet - kvalitatív összefüggések megállapítása - kvantitatív összefüggések megállapítása - a kvantitatív összefüggések alapján a matematika módszereinek felhaszná- lásával fizikai törvények meghatározása.

5 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fizikai törvények: - A kvantitatív összefüggések kiala- kításához szükséges, hogy a fizikai mennyiségek mérhető mennyiségek legyenek. - A fizikai mennyiségek definíciójához mérési utasítás tartozik. - Mértékegység rendszerek kialakítása. Fizikai törvények: - A kvantitatív összefüggések kiala- kításához szükséges, hogy a fizikai mennyiségek mérhető mennyiségek legyenek. - A fizikai mennyiségek definíciójához mérési utasítás tartozik. - Mértékegység rendszerek kialakítása.

6 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fizikai törvények: - a tapasztalati úton talált törvények önmagukban csak egy áttekinthetetlen ismerethalmazt jelentenének, ezek rendezése szükséges - a sok speciális törvény leszármaztatható (általában matematikai úton) kis számú általános érvényű alaptörvényből. Fizikai törvények: - a tapasztalati úton talált törvények önmagukban csak egy áttekinthetetlen ismerethalmazt jelentenének, ezek rendezése szükséges - a sok speciális törvény leszármaztatható (általában matematikai úton) kis számú általános érvényű alaptörvényből.

7 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fizikai törvények: - Alaptörvények elvek főtételek axiómák alapegyenletek - A nagyobb jelenségcsoportok alaptörvé- nyeiből levonható következtetések fizikai elméletet alkothatnak. Fizikai törvények: - Alaptörvények elvek főtételek axiómák alapegyenletek - A nagyobb jelenségcsoportok alaptörvé- nyeiből levonható következtetések fizikai elméletet alkothatnak.

8 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fizikai törvények: - A fizikai elmélet kialakítása során közbülső állomásként gyakran hipotézis (feltevés) felállításával kísérlik meg a jelenség csoport megmagyarázását, ha a kísérletek igazolják, akkor fizikai elmélet lesz belőle, ha nem elvetik. Fizikai törvények: - A fizikai elmélet kialakítása során közbülső állomásként gyakran hipotézis (feltevés) felállításával kísérlik meg a jelenség csoport megmagyarázását, ha a kísérletek igazolják, akkor fizikai elmélet lesz belőle, ha nem elvetik.

9 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fizikai törvények: A fizikai jelenségek vizsgálata során gyakran vezetnek be a valóságos testek tulajdonságainak egy részét tudatosan elhanyagoló, egyszerűsítő fogalmakat, amelyek segítségével a jelenségek egyszerűbben vizsgálhatók. Ezeket idealizált testeknek, vagy modelleknek nevezzük Fizikai törvények: A fizikai jelenségek vizsgálata során gyakran vezetnek be a valóságos testek tulajdonságainak egy részét tudatosan elhanyagoló, egyszerűsítő fogalmakat, amelyek segítségével a jelenségek egyszerűbben vizsgálhatók. Ezeket idealizált testeknek, vagy modelleknek nevezzük

10 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fizikai törvények: A modellek segítségével alkotott törvények a valóságos testekre alkalmazva nem jelentenek abszolút pontos leírást. A mérési módszerek szintén korlátozott pontosságúak, ezért a fizikai törvények közelítő jellegűek és érvényességi területűk korlátozott. A fejlődés során mindig pontosabb törvényeket ismerünk fel. Fizikai törvények: A modellek segítségével alkotott törvények a valóságos testekre alkalmazva nem jelentenek abszolút pontos leírást. A mérési módszerek szintén korlátozott pontosságúak, ezért a fizikai törvények közelítő jellegűek és érvényességi területűk korlátozott. A fejlődés során mindig pontosabb törvényeket ismerünk fel.

11 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika felosztása: - Kísérleti fizika: feladata tervszerű kísérletek megvalósítása, megfelelő mennyiségek mérése. A mérési eredmények alapján a vizsgált jelenségekre tapasztalati törvények felállítása. Módszere az indukció, legfontosabb eszköze a fizikai mérőműszer. A fizika felosztása: - Kísérleti fizika: feladata tervszerű kísérletek megvalósítása, megfelelő mennyiségek mérése. A mérési eredmények alapján a vizsgált jelenségekre tapasztalati törvények felállítása. Módszere az indukció, legfontosabb eszköze a fizikai mérőműszer.

12 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika felosztása: Elméleti fizika: feladata az egyes jelenségekre vonat- kozó törvények közötti összefüggések, általános összefüggések felderítése, fizikai elmélet kialakítása, egyes jelenségekre vonatkozó törvények meghatározása. Módszere a dedukció, eszköze a matematika. A fizika felosztása: Elméleti fizika: feladata az egyes jelenségekre vonat- kozó törvények közötti összefüggések, általános összefüggések felderítése, fizikai elmélet kialakítása, egyes jelenségekre vonatkozó törvények meghatározása. Módszere a dedukció, eszköze a matematika.

13 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika történeti felosztása: Klasszikus fizika Időrendben kb. 19. század végéig, 20. század elejéig. Tudományágai: -mechanika - hőtan - hangtan - fénytan - elektromosság és mág- nesseségtan - atomfizika A fizika történeti felosztása: Klasszikus fizika Időrendben kb. 19. század végéig, 20. század elejéig. Tudományágai: -mechanika - hőtan - hangtan - fénytan - elektromosság és mág- nesseségtan - atomfizika

14 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika történeti felosztása: Modern fizika Időrendben kb. 19. század végétől, 20. század elejétől. Tudományágai:- relativisztikus fizika - kvantumfizika A fizika történeti felosztása: Modern fizika Időrendben kb. 19. század végétől, 20. század elejétől. Tudományágai:- relativisztikus fizika - kvantumfizika

15 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mértékegység rendszerek: - A kvantitatív összefüggések kiala- kításához szükséges, hogy a fizikai mennyiségek mérhető mennyiségek legyenek. - A fizikai mennyiségek definíciójához mérési utasítás tartozik. - Mértékegység rendszerek kialakítása. Mértékegység rendszerek: - A kvantitatív összefüggések kiala- kításához szükséges, hogy a fizikai mennyiségek mérhető mennyiségek legyenek. - A fizikai mennyiségek definíciójához mérési utasítás tartozik. - Mértékegység rendszerek kialakítása.

16 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mérés: A mérés azt jelenti, hogy meghatározzuk hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, vele egynemű önkényesen egységnyinek megválasztott mennyiség. A mérés eredménye két adat a mértékszám és a mértékegység. X méréseredménye ={X msz }{X me } Mérés: A mérés azt jelenti, hogy meghatározzuk hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, vele egynemű önkényesen egységnyinek megválasztott mennyiség. A mérés eredménye két adat a mértékszám és a mértékegység. X méréseredménye ={X msz }{X me }

17 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mértékegység rendszerek: - helyi, lokális rendszerek - egységesített, országos rendszerek - nemzetkőzi mértékegység rendszerek angolszász rendszerek: Nagy Britania USA európai és nemzetközi rendszerek: MKSA CGS SI Mértékegység rendszerek: - helyi, lokális rendszerek - egységesített, országos rendszerek - nemzetkőzi mértékegység rendszerek angolszász rendszerek: Nagy Britania USA európai és nemzetközi rendszerek: MKSA CGS SI

18 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mértékegység rendszerek: Felépítésük: - alapmennyiségek: néhány - a lehető legkevesebb - fizikai mennyiség, amelyek és a fizikai összefüggé- sek felhasználásával az összes fizikai mennyiség fogalma és mértékegysége meghatározható (pld. idő, hosszúság, tömeg, stb.). Mértékegységük önkényesen választott. Mértékegység rendszerek: Felépítésük: - alapmennyiségek: néhány - a lehető legkevesebb - fizikai mennyiség, amelyek és a fizikai összefüggé- sek felhasználásával az összes fizikai mennyiség fogalma és mértékegysége meghatározható (pld. idő, hosszúság, tömeg, stb.). Mértékegységük önkényesen választott.

19 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mértékegység rendszerek: Felépítésük: - származtatott mennyiségek: az alapmennyiségek és a fizikai összefüggések segítségével meghatározott fizikai mennyiségek és mértékegységük. Például a sebesség, Mértékegység rendszerek: Felépítésük: - származtatott mennyiségek: az alapmennyiségek és a fizikai összefüggések segítségével meghatározott fizikai mennyiségek és mértékegységük. Például a sebesség, a hosszúság és az idő hányadosa. a hosszúság és az idő hányadosa.

20 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mértékegység rendszerek: Felépítésük: - kiegészítő mennyiségek: egyéb szempontok alapján választott mennyiségek és mértékegységük. Például síkszög és mértékegysége. Mértékegység rendszerek: Felépítésük: - kiegészítő mennyiségek: egyéb szempontok alapján választott mennyiségek és mértékegységük. Például síkszög és mértékegysége.

21 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mértékegység rendszerek: SI – nemzetközi mértékegység rendszer (System International) Használata ma Magyarországon kötelező! Elfogadva: 1960 Magyarországon elfogadva: 1976 Mértékegység rendszerek: SI – nemzetközi mértékegység rendszer (System International) Használata ma Magyarországon kötelező! Elfogadva: 1960 Magyarországon elfogadva: 1976

22 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI alapmennyiségei: - Hosszúság jele : ℓ mértékegysége: m (méter) 1m, az az úthossz, amelyet a fény vákuumban 1/ másodperc alatt megtesz. Az SI alapmennyiségei: - Hosszúság jele : ℓ mértékegysége: m (méter) 1m, az az úthossz, amelyet a fény vákuumban 1/ másodperc alatt megtesz.

23 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI alapmennyiségei: - Idő jele : t mértékegysége: s (másodperc – secundum) Az SI alapmennyiségei: - Idő jele : t mértékegysége: s (másodperc – secundum) 1s, az az idő, amely a cézium 133-as izotópja által, két meghatározott energia szintje közötti átmenet során kibocsátott sugárzása során periódusa alatt eltelik

24 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI alapmennyiségei: - Tömeg jele : m mértékegysége: kg (kilogramm) 1kg az a tömeg, amely éppen egyenlő a nemzetközi prototípusának töme- gével Az SI alapmennyiségei: - Tömeg jele : m mértékegysége: kg (kilogramm) 1kg az a tömeg, amely éppen egyenlő a nemzetközi prototípusának töme- gével

25 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI alapmennyiségei: - Áramerősség jele : I mértékegysége: A (amper) 1A, annak az állandó áramnak az erős- sége, amely két párhuzamos, egyenes, végtelen hosszú, elhanyagolható keresztmetszetű és vákuumban egy- mástól egy méterre elhelyezett vezető- ben áramolva méterenként 2 x N erőt hoz létre. Az SI alapmennyiségei: - Áramerősség jele : I mértékegysége: A (amper) 1A, annak az állandó áramnak az erős- sége, amely két párhuzamos, egyenes, végtelen hosszú, elhanyagolható keresztmetszetű és vákuumban egy- mástól egy méterre elhelyezett vezető- ben áramolva méterenként 2 x N erőt hoz létre.áramhosszúvákuum erőáramhosszúvákuum erő

26 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI alapmennyiségei: - Fényerősség jele : I v mértékegysége: cd (kandela) 1cd, egy olyan fényforrás adott irányú fényerőssége, amely 540x10 12 Hz-es frekvenciájú monokromatikus sugárzást bocsát ki, és az adott irányban 1/683 watt per szteradián nagyságú a sugárzás erőssége. Az SI alapmennyiségei: - Fényerősség jele : I v mértékegysége: cd (kandela) 1cd, egy olyan fényforrás adott irányú fényerőssége, amely 540x10 12 Hz-es frekvenciájú monokromatikus sugárzást bocsát ki, és az adott irányban 1/683 watt per szteradián nagyságú a sugárzás erőssége.fényforrás fényerősség frekvenciájúmonokromatikus wattszteradiánfényforrás fényerősség frekvenciájúmonokromatikus wattszteradián

27 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI kiegészitő mennyiségei: - Síkszög jele : φ mértékegysége: rad (radián) Az SI kiegészitő mennyiségei: - Síkszög jele : φ mértékegysége: rad (radián) 1 radián annak a szögnek (φ) a nagysága, amely egy olyan körcikk középpontjában van, amelynek kerülete azonos hosszúságú a kör sugarával szöghosszúságszöghosszúság

28 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI kiegészitő mennyiségei: - Térszög jele : W, Ώ mértékegysége : sr (szteradián) Az SI kiegészitő mennyiségei: - Térszög jele : W, Ώ mértékegysége : sr (szteradián) 1sr az a térszög, amely az 1m sugarú gömb, 1m 2 gömbfelületéhez tartozó középponti térszög.

29 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli jobb sodrású derékszö- gű koordináta rendszer: három, egy ponton átmenő, egymásra merőleges, irányított egyenes (az x, az y, a z koordináta tengely három egymásra merő- leges koordináta síkot határoz meg. A tér egy tetszőleges P pontját az x, y, z koordi- náták a koordináta síkoktól mért, előjeles távolságok, egyértelműen meghatározzák. - Descartes- féle térbeli jobb sodrású derékszö- gű koordináta rendszer: három, egy ponton átmenő, egymásra merőleges, irányított egyenes (az x, az y, a z koordináta tengely három egymásra merő- leges koordináta síkot határoz meg. A tér egy tetszőleges P pontját az x, y, z koordi- náták a koordináta síkoktól mért, előjeles távolságok, egyértelműen meghatározzák.

30 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer:

31 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: Ábrázolják a koordináta rendszerben a következő pontokat: Ábrázolják a koordináta rendszerben a következő pontokat: A(1; 2; 2); A(1; 2; 2); B(-3; 1; -2); B(-3; 1; -2); C(3/2;-1; 9/2); C(3/2;-1; 9/2); D(3; 1; -3); D(3; 1; -3); E(-2; -1; 2). E(-2; -1; 2).

32 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer:

33 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Koordináta rendszerek - Descartes- féle derékszögű koordináta rendszer: Koordináta rendszerek - Descartes- féle derékszögű koordináta rendszer: Descartes-i koordináta

34 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: Két pont távolsága: Ha P 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) és P 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ) A két pont távolsága: d Két pont távolsága: Ha P 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) és P 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ) A két pont távolsága: d

35 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Két pont távolsága: Számítsuk ki két pont távolságát ha P 1 (-2;3;5) és P 2 (-3;4;0) A két pont távolsága: d Két pont távolsága: Számítsuk ki két pont távolságát ha P 1 (-2;3;5) és P 2 (-3;4;0) A két pont távolsága: d

36 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái: ha P 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) és P 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ), az osztási arány k=(P 1 P)/(P P 2 ) Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái: ha P 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) és P 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ), az osztási arány k=(P 1 P)/(P P 2 )

37 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái: ha P 1 (5;2;-1) és P 2 (-3;4;2), az osztási arány k=(P 1 P)/(P P 2 )=1/2=0,5 Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái: ha P 1 (5;2;-1) és P 2 (-3;4;2), az osztási arány k=(P 1 P)/(P P 2 )=1/2=0,5

38 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes egyenletei: Az egyenes egyenletének iránytényezős alakja Az egyenes az y tengelyt a y=b; x=0 pontban metszi és iránytényezője, vagy meredeksége: tgα=m=(y-b)/x, amelyből az y-t kifejezve Az egyenes egyenlete: y=mx+b Síkbeli egyenes egyenletei: Az egyenes egyenletének iránytényezős alakja Az egyenes az y tengelyt a y=b; x=0 pontban metszi és iránytényezője, vagy meredeksége: tgα=m=(y-b)/x, amelyből az y-t kifejezve Az egyenes egyenlete: y=mx+b

39 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes egyenletei: határozzuk meg az egyenes egyenletét, ha B(0;3),[B(0;b)] és P (-3;4), [P(x;y)] tgα=m=(y-b)/x, m=(4-3)/(-3)=-1/3 Az egyenes egyenlete: y=(-1/3)x+3 Síkbeli egyenes egyenletei: határozzuk meg az egyenes egyenletét, ha B(0;3),[B(0;b)] és P (-3;4), [P(x;y)] tgα=m=(y-b)/x, m=(4-3)/(-3)=-1/3 Az egyenes egyenlete: y=(-1/3)x+3

40 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes egyenletei: Egy adott ponton átmenő adott irányú egyenes egyenlete: Síkbeli egyenes egyenletei: Egy adott ponton átmenő adott irányú egyenes egyenlete: Az egyenes átmegy a P 1 (x 1 ;y 1 ) ponton és m ismert, akkor az egyenes egyenlete az y-y 1 =m(x-x 1 ) egyenletből számolható Az egyenes átmegy a P 1 (x 1 ;y 1 ) ponton és m ismert, akkor az egyenes egyenlete az y-y 1 =m(x-x 1 ) egyenletből számolható

41 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenes átmegy a P 1 (5;-3) ponton és az m ismert, α =35 o, akkor az egyenes egyenlete az m=tg35 o =0,7002 Az egyenes átmegy a P 1 (5;-3) ponton és az m ismert, α =35 o, akkor az egyenes egyenlete az m=tg35 o =0,7002 y-(-3)=0,7002(x-(+5)) egyenletből számolható. y+3=0,7002x-3,5 y=0,7002x-6,5 y-(-3)=0,7002(x-(+5)) egyenletből számolható. y+3=0,7002x-3,5 y=0,7002x-6,5

42 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenes átmegy a P 1 (-5;-1) és a P 2 (6;-2) ponton, akkor az egyenes egyenlete az y-(-1)=[(-2-(-1))/(6-(-5))](x-(-5)) egyenletből számolható y+1=[(-2+1)/(6+5)](x+5) y+1=[(-1)/(11)](x+5)=(-1/11)x -5/11 y=(-1/11)x -16/11 Az egyenes átmegy a P 1 (-5;-1) és a P 2 (6;-2) ponton, akkor az egyenes egyenlete az y-(-1)=[(-2-(-1))/(6-(-5))](x-(-5)) egyenletből számolható y+1=[(-2+1)/(6+5)](x+5) y+1=[(-1)/(11)](x+5)=(-1/11)x -5/11 y=(-1/11)x -16/11

43 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: Az egyenletek rendezésének szabályai: a.) Valamely számot vagy algebrai egész kifejezést az egyenlet mindkét oldalához hozzáadva vagy mindkét oldalból kivonva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. a.) Valamely számot vagy algebrai egész kifejezést az egyenlet mindkét oldalához hozzáadva vagy mindkét oldalból kivonva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. x-a=c l(+a) x-a+a=c+a x=c+a Példa:x-12=27 l(+12) x-12+12=27+12 x=39

44 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: Az egyenletek rendezésének szabályai: b.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozva vagy osztva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. b.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozva vagy osztva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. x/a=c l( *a) (x/a)(*a)=c(*a) x=ca Példa:x/12=27 l(*12) (x/12)*12=27*12 x=324 12x=36 l(:12) 12x/12=36/12 x=3

45 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: Az egyenletek rendezésének szabályai: c.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal az algebrai kifejezéssel szorozva eredményül az eredeti egyenlet következményét kapjuk, nem esik ki gyök. c.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal az algebrai kifejezéssel szorozva eredményül az eredeti egyenlet következményét kapjuk, nem esik ki gyök. x-1=0 l( *(x+1)) (x-1)(x+1)=0 egyenletnek gyöke az x 1 =1, de gyöke az x 2 =-1 is. Nem esett ki gyök, de van egy másik gyök is, a két egyenlet nem egyenértékű. Új gyök nem lép fel mindig! Példa:3x/(x+2)=2 l(*(x+2) 3x=2*(x+2) 3x=2x+4 Ekkor azx=4 gyököt kapjuk, ami az eredeti egyenletnek is gyöke.

46 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI MECHANIKA A mechanika feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó törvények felállítása. Valamennyi természettudo- mány közül a mechanika fejlődött elsőként egységes átfogó tudományos rendszerré. E rendszer megalapozása Galilei ( ) és Newton ( ) munkássá- gához köthető. MECHANIKA A mechanika feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó törvények felállítása. Valamennyi természettudo- mány közül a mechanika fejlődött elsőként egységes átfogó tudományos rendszerré. E rendszer megalapozása Galilei ( ) és Newton ( ) munkássá- gához köthető.

47 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mechanikája Itt alkalmazunk először egyszerűsítő feltételeket, modellt alkotunk. Ez a modell a pontszerű, térbeli kiterjedés nélküli test, amely tömeggel rendelkezik. A modell alkalmas a kiterjedéssel rendelkező, de tiszta haladó mozgást végző testek, nem forgó, mozgásának a leírására. Ezen testeket anyagi pontnak, vagy tömeg- pontnak is nevezik. Pontszerű testek mechanikája Itt alkalmazunk először egyszerűsítő feltételeket, modellt alkotunk. Ez a modell a pontszerű, térbeli kiterjedés nélküli test, amely tömeggel rendelkezik. A modell alkalmas a kiterjedéssel rendelkező, de tiszta haladó mozgást végző testek, nem forgó, mozgásának a leírására. Ezen testeket anyagi pontnak, vagy tömeg- pontnak is nevezik.

48 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mechanikája A pontszerű testek mozgásának leírása során a jellemző fizikai mennyiségeket vektormennyiségekként kezeljük (természetesen nem mindegyiket, pld. az időt nem), ez azt jelenti, hogy a mennyi- ségekhez abszolút értéket (nagyságot) és irányt rendelünk Pontszerű testek mechanikája A pontszerű testek mozgásának leírása során a jellemző fizikai mennyiségeket vektormennyiségekként kezeljük (természetesen nem mindegyiket, pld. az időt nem), ez azt jelenti, hogy a mennyi- ségekhez abszolút értéket (nagyságot) és irányt rendelünk

49 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok jellemzői: A vektor jele: A vagy A vektor összetevői, komponensei: A x, A y, A z A vektor megadása: A=(A x, A y, A z ), vagy A=iA x +jA y +kA z A vektor abszolút értéke: A vektorok jellemzői: A vektor jele: A vagy A vektor összetevői, komponensei: A x, A y, A z A vektor megadása: A=(A x, A y, A z ), vagy A=iA x +jA y +kA z A vektor abszolút értéke:

50 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok jellemzői: A vektorok jellemzői: Vektorösszetevők

51 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok összeadása: A vektorok kivonása: A vektorok összeadása: A vektorok kivonása:

52 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok összeadása: A vektorok összeadása:

53 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok kivonása: A vektorok kivonása:

54 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok összeadása: A vektorok összeadása: vektorösszeadás

55 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A erővektorok összeadása: A erővektorok összeadása: Erővektorösszeadás

56 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok skaláris szorzása: A vektorok skaláris szorzása:

57 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok skaláris szorzása: A vektorok skaláris szorzása:

58 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: A vektorok vektoriális szorzása:

59 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: A vektorok vektoriális szorzása:

60 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: A vektorok vektoriális szorzása:

61 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: A vektorok vektoriális szorzása:

62 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: A vektorok vektoriális szorzása:

63 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: A vektorok vektoriális szorzása: Vektoriális szorzás

64 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mechanikája Minden test helyzete és ennek kapcsán mozgá- sa is csak más testekhez viszonyítva jellemez- hető, minden mozgás relatív, viszonylagos. Ha egy test mozgását le akarjuk írni elsőként vá- lasztanunk kell egy másik testet, amelyhez a mozgást viszonyítjuk, ezt a testet vonatkozta- tási rendszernek nevezzük. Hozzá egy koor- dináta rendszert rögzítünk és ebben határoz- zuk meg a mozgó test helyzetét Pontszerű testek mechanikája Minden test helyzete és ennek kapcsán mozgá- sa is csak más testekhez viszonyítva jellemez- hető, minden mozgás relatív, viszonylagos. Ha egy test mozgását le akarjuk írni elsőként vá- lasztanunk kell egy másik testet, amelyhez a mozgást viszonyítjuk, ezt a testet vonatkozta- tási rendszernek nevezzük. Hozzá egy koor- dináta rendszert rögzítünk és ebben határoz- zuk meg a mozgó test helyzetét

65 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Koordináta rendszerek - A test helyzetének megadása polárkoor- dinátákkal: Koordináta rendszerek - A test helyzetének megadása polárkoor- dinátákkal: Polárkoordináta

66 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mechanikája Egy pontszerű test mindenkori helyzetét akkor ismerjük a térben, ha megadott a derékszögű koordináta rendszerben a test mindhárom koorditájának időfüggvénye. Vagyis adott: x=f x (t), y=f y (t), z=f z (t), Pontszerű testek mechanikája Egy pontszerű test mindenkori helyzetét akkor ismerjük a térben, ha megadott a derékszögű koordináta rendszerben a test mindhárom koorditájának időfüggvénye. Vagyis adott: x=f x (t), y=f y (t), z=f z (t),

67 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mozgó pontszerű test jellemzői: - pályagörbe: a pont által időben egymás után érintett pontok halmaza. - megtett út : a pályagörbe hossza. Jele: s, mértékegysége: m. - sebesség : a megtett út és a megtételé- hez szükséges idő hányado- sa (átlagos sebesség!!) Jele: v, mértékegysége: m/s A mozgó pontszerű test jellemzői: - pályagörbe: a pont által időben egymás után érintett pontok halmaza. - megtett út : a pályagörbe hossza. Jele: s, mértékegysége: m. - sebesség : a megtett út és a megtételé- hez szükséges idő hányado- sa (átlagos sebesség!!) Jele: v, mértékegysége: m/s

68 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mozgó pontszerű test jellemzői: - gyorsulás: a sebesség változás és a változáshoz szükséges idő hányadosa (átlagos gyorsu- lás!!). Jele: a, mértékegysége: m\s 2 A mozgó pontszerű test jellemzői: - gyorsulás: a sebesség változás és a változáshoz szükséges idő hányadosa (átlagos gyorsu- lás!!). Jele: a, mértékegysége: m\s 2

69 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenes vonalú mozgás. A pályagörbe egyenes vonal. A koordináta rendszert úgy választjuk meg, hogy egyik tengelye az egyenes vonalon feküdjön, így a három koordináta közül csak az egyik változik, és csak azt kell vizsgálni. Például, csak az x tengelyt. Az egyenes vonalú mozgás. A pályagörbe egyenes vonal. A koordináta rendszert úgy választjuk meg, hogy egyik tengelye az egyenes vonalon feküdjön, így a három koordináta közül csak az egyik változik, és csak azt kell vizsgálni. Például, csak az x tengelyt.

70 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenes vonalú mozgásra vonatkozó összefüggések: - a gyorsulás állandó, vagy nulla, a=áll. Lehet negatív is (lassulás) - a sebesség: v=at+v 0 Az egyenes vonalú mozgásra vonatkozó összefüggések: - a gyorsulás állandó, vagy nulla, a=áll. Lehet negatív is (lassulás) - a sebesség: v=at+v 0 - A megtett út: s=at 2 /2+v 0 t+s 0 ahol a v 0 a kezdeti sebesség, s 0 pedig a kezdeti helyzet.

71 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenes vonalú mozgásra vonatkozó összefüggések, : 1. példa - a gyorsulás nulla, a=0m/s 2 - A sebesség, ha v 0 =10m/s v=at+v 0 =0*t+10=10m/s állandó - A megtett út, ha kezdeti helyzet s 0 =0: Az egyenes vonalú mozgásra vonatkozó összefüggések, : 1. példa - a gyorsulás nulla, a=0m/s 2 - A sebesség, ha v 0 =10m/s v=at+v 0 =0*t+10=10m/s állandó - A megtett út, ha kezdeti helyzet s 0 =0: s=at 2 /2+v 0 t+s 0 =0t 2 /2+10t+0=(10t)m Vagyis a megtett út az idővel arányosan nő. A fentiekben a v 0 a kezdeti sebesség, s 0 pedig a kezdeti helyzet. A fentiekben a v 0 a kezdeti sebesség, s 0 pedig a kezdeti helyzet.

72 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenes vonalú mozgásra vonatkozó összefüggések, : 2. példa - a gyorsulás nem nulla, a=10m/s 2 - A sebesség, ha v 0 =10m/s v=at+v 0 =(10*t+10)m/s Vagyis a sebesség az idővel arányosan nő. - A megtett út, ha kezdeti helyzet s 0 =0: Az egyenes vonalú mozgásra vonatkozó összefüggések, : 2. példa - a gyorsulás nem nulla, a=10m/s 2 - A sebesség, ha v 0 =10m/s v=at+v 0 =(10*t+10)m/s Vagyis a sebesség az idővel arányosan nő. - A megtett út, ha kezdeti helyzet s 0 =0: s=at 2 /2+v 0 t+s 0 =(10*t 2 /2+10*t+0)m Vagyis a megtett út az idővel négyzetesen nő. A fentiekben a v 0 a kezdeti sebesség, s 0 pedig a kezdeti helyzet. A fentiekben a v 0 a kezdeti sebesség, s 0 pedig a kezdeti helyzet.

73 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: -általános alakja: ax+b=0, ahol a≠0 Az egyenlet akkor megoldott, ha az egyik oldalon az ismeretlen, a másikon pedig csak ismert mennyiség van. Ezt rendezés- sel érhetjük el. ax+b=0 l(-b) ax=-b l:a x=-b/a az egyenlet megoldása Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: -általános alakja: ax+b=0, ahol a≠0 Az egyenlet akkor megoldott, ha az egyik oldalon az ismeretlen, a másikon pedig csak ismert mennyiség van. Ezt rendezés- sel érhetjük el. ax+b=0 l(-b) ax=-b l:a x=-b/a az egyenlet megoldása

74 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: A gyök akkor helyes, ha azt az egyenlet eredeti alakjában behelyettesítve egyenlő- séget kapunk. x=-b/a az egyenlet megoldása. Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: A gyök akkor helyes, ha azt az egyenlet eredeti alakjában behelyettesítve egyenlő- séget kapunk. x=-b/a az egyenlet megoldása. Behelyettesítve: a(-b/a)+b=0 -ab/a+b=0 -b+b=0 0=0 Behelyettesítve: a(-b/a)+b=0 -ab/a+b=0 -b+b=0 0=0

75 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 1. példa: 2x-22+x+11=2x-5-x összevonás 3x-11=x-5 l(-x+11) 2x=6 l:2 x=3 Ellenőrzés: 2* =2* = =-2 egyenlőség! Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 1. példa: 2x-22+x+11=2x-5-x összevonás 3x-11=x-5 l(-x+11) 2x=6 l:2 x=3 Ellenőrzés: 2* =2* = =-2 egyenlőség!

76 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 2. példa: 2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójel felbontás 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 l (-3x+33) -2x=+28 l :(-2) x=-14 Ellenőrzés: 2*(-14)-( )=2*19-(5-(-14) -28-(19)= =-47 egyenlőség! Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 2. példa: 2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójel felbontás 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 l (-3x+33) -2x=+28 l :(-2) x=-14 Ellenőrzés: 2*(-14)-( )=2*19-(5-(-14) -28-(19)= =-47 egyenlőség!

77 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 3. példa: 2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójelek felbontása 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 l(-3x+33) -2x=+28 l:(-2) x=-14 Ellenőrzés: 2*(-14)-( )=2*19-(5-(-14) -28-(19)= =-47 egyenlőség! Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 3. példa: 2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójelek felbontása 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 l(-3x+33) -2x=+28 l:(-2) x=-14 Ellenőrzés: 2*(-14)-( )=2*19-(5-(-14) -28-(19)= =-47 egyenlőség!

78 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 4. példa: (9x+7)/2+(x-2)/7=36+x l A nevezők legkisebb közös többszörösével szorzunk, most 2*7=14 (9x+7)*7+(x-2)*2=(36+x)14 l zárójelek felbontása 63x+49+2x-4=504+14x l x és összevonás 51x=459 l:(51) x=459/51=9 Ellenőrzés: (9*9+7)/2+(9-2)/7= /2+7/7=45 45=45 egyenlőség! Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 4. példa: (9x+7)/2+(x-2)/7=36+x l A nevezők legkisebb közös többszörösével szorzunk, most 2*7=14 (9x+7)*7+(x-2)*2=(36+x)14 l zárójelek felbontása 63x+49+2x-4=504+14x l x és összevonás 51x=459 l:(51) x=459/51=9 Ellenőrzés: (9*9+7)/2+(9-2)/7= /2+7/7=45 45=45 egyenlőség!

79 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 5. példa: 16/(5x-3)=8/x l A nevezők szorzatával szorzunk, most (5x-3)*x, feltéve, hogy x≠0 és x≠3/5 16x=8(5x-3) l zárójelek felbontása 16x=40x-24 l-40x és összevonás -24x=-24 l:(-24) x=1 Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 5. példa: 16/(5x-3)=8/x l A nevezők szorzatával szorzunk, most (5x-3)*x, feltéve, hogy x≠0 és x≠3/5 16x=8(5x-3) l zárójelek felbontása 16x=40x-24 l-40x és összevonás -24x=-24 l:(-24) x=1 Ellenőrzés: 16/(5*1-3)=8/1 16/2=1 8=8 egyenlőség! Ellenőrzés: 16/(5*1-3)=8/1 16/2=1 8=8 egyenlőség!

80 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: Az egyenlet megoldásának lehetséges lépései: - eltávolítjuk a törteket, - elvégezzük a kijelölt műveleteket, felbontjuk a zárójeleket, - rendezzük az egyenletet, - összevonunk, - elosztjuk az ismeretlen együtthatójával mindkét oldalt, - elvégezzük az ellenőrzést. Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: Az egyenlet megoldásának lehetséges lépései: - eltávolítjuk a törteket, - elvégezzük a kijelölt műveleteket, felbontjuk a zárójeleket, - rendezzük az egyenletet, - összevonunk, - elosztjuk az ismeretlen együtthatójával mindkét oldalt, - elvégezzük az ellenőrzést.

81 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton I. törvénye: minden test megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását, ha annak megváltoztatására más test köl- csönhatása nem kényszeríti. Ezt a hatást erőhatásnak, vagy erőnek nevezzük. A törvény a tehetetlenség törvénye. A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton I. törvénye: minden test megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását, ha annak megváltoztatására más test köl- csönhatása nem kényszeríti. Ezt a hatást erőhatásnak, vagy erőnek nevezzük. A törvény a tehetetlenség törvénye.

82 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton II. törvénye: Az erő és az általa okozott gyor- sulás egyenesen arányos egy- mással, az arányossági tényező a test tömege. F=ma ahol m a test tömege. A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton II. törvénye: Az erő és az általa okozott gyor- sulás egyenesen arányos egy- mással, az arányossági tényező a test tömege. F=ma ahol m a test tömege.

83 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton II. törvénye: F erő, vektor mennyiség, iránya és nagysága van. Származtatott mennyi- ség. Mértékegysége: kgm/s 2 =N (Newton) A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton II. törvénye: F erő, vektor mennyiség, iránya és nagysága van. Származtatott mennyi- ség. Mértékegysége: kgm/s 2 =N (Newton)

84 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton II. törvénye: A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton II. törvénye: Newton II. törvénye

85 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton III. törvénye: A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton III. törvénye: hatás- ellenhatás törvénye. Ha egy test erővel hat egy másikra, akkor a másik ugyanakkora abszolút értékű, azonos hatásvonalú, de ellentétes irányú erővel hat rá. F 1,2 =-F 2,1 hatás- ellenhatás törvénye. Ha egy test erővel hat egy másikra, akkor a másik ugyanakkora abszolút értékű, azonos hatásvonalú, de ellentétes irányú erővel hat rá. F 1,2 =-F 2,1

86 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - „Newton IV. törvénye”: erőhatások függetlenségének az elve. Ha egy testre egyszerre több erő hat, mindegyik erő a többitől függetlenül fejti ki hatását, így az eredő gyorsulás az eredő erők által meghatározott lesz. A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - „Newton IV. törvénye”: erőhatások függetlenségének az elve. Ha egy testre egyszerre több erő hat, mindegyik erő a többitől függetlenül fejti ki hatását, így az eredő gyorsulás az eredő erők által meghatározott lesz.

87 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az impulzus (mozgásmennyiség): definíciója: a tömeg és a sebesség szorzata, jele: I vektor mennyiség I=mv mértékegysége: kgm/s=Ns Az impulzus (mozgásmennyiség): definíciója: a tömeg és a sebesség szorzata, jele: I vektor mennyiség I=mv mértékegysége: kgm/s=Ns

88 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az impulzus megmaradás törvénye: Az impulzus megmaradás törvénye: ha egy testre nem hat erő, vagy az erők eredője nulla, akkor a test impulzusa nem változhat meg F=0NI 1 =I 2

89 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: -általános alakja: ax 2 +bx+c=0, ahol a#0 A fenti alakot vegyes másodfokú egyenlet- nek nevezzük. Ha b=0 akkor kapjuk a tiszta másodfokú egyenletet: ax 2 +c=0 Ha c=0 akkor kapjuk a hiányos másodfo- kú egyenletet: ax 2 +bx=0 A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: -általános alakja: ax 2 +bx+c=0, ahol a#0 A fenti alakot vegyes másodfokú egyenlet- nek nevezzük. Ha b=0 akkor kapjuk a tiszta másodfokú egyenletet: ax 2 +c=0 Ha c=0 akkor kapjuk a hiányos másodfo- kú egyenletet: ax 2 +bx=0

90 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: ax 2 +c=0 x 2 =-c/a rendezés után A két gyököt különválasztva: Az „a” mindig pozitív, így c 0 esetén nincs valós gyök. A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: ax 2 +c=0 x 2 =-c/a rendezés után A két gyököt különválasztva: Az „a” mindig pozitív, így c 0 esetén nincs valós gyök.

91 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: Példa: 5x 2 -12=0 x 2 =12/5=2,4 rendezés után A két gyököt különválasztva: A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: Példa: 5x 2 -12=0 x 2 =12/5=2,4 rendezés után A két gyököt különválasztva:

92 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A hiányos másodfokú egyenletet: ax 2 +bx=0 az egyenletből x-et kiemelve x(ax+b)=0 kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla: x 1 =0 az egyik gyök, vagyax+b=0 x 2 =-b/aa másik gyök. A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A hiányos másodfokú egyenletet: ax 2 +bx=0 az egyenletből x-et kiemelve x(ax+b)=0 kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla: x 1 =0 az egyik gyök, vagyax+b=0 x 2 =-b/aa másik gyök.

93 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A hiányos másodfokú egyenletet: 3x 2 +5x=0 az egyenletből x-et kiemelve x(3x+5)=0 kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla: x 1 =0 az egyik gyök, vagy3x+5=0 x 2 =-3/5a másik gyök. A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A hiányos másodfokú egyenletet: 3x 2 +5x=0 az egyenletből x-et kiemelve x(3x+5)=0 kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla: x 1 =0 az egyik gyök, vagy3x+5=0 x 2 =-3/5a másik gyök.

94 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A vegyes másodfokú egyenlet: ax 2 +bx+c=0, ahol a#0 Az egyenlet megoldó képlete: A két gyök: A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A vegyes másodfokú egyenlet: ax 2 +bx+c=0, ahol a#0 Az egyenlet megoldó képlete: A két gyök:

95 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A vegyes másodfokú egyenlet: 8x 2 +2x-1=0 Az egyenlet megoldó képlete: A két gyök: A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A vegyes másodfokú egyenlet: 8x 2 +2x-1=0 Az egyenlet megoldó képlete: A két gyök:

96 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A vegyes másodfokú egyenlet gyökeinek jellegét a diszkrimináns a b 2 -4ac kifejezés határozza meg: a.)ha b 2 -4ac>0 két egymástól különböző valós gyök van A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A vegyes másodfokú egyenlet gyökeinek jellegét a diszkrimináns a b 2 -4ac kifejezés határozza meg: a.)ha b 2 -4ac>0 két egymástól különböző valós gyök van b.)ha b 2 -4ac=0 a gyökök egymással egyenlők c.) ha b 2 -4ac<0 nincsenek valós gyökök b.)ha b 2 -4ac=0 a gyökök egymással egyenlők c.) ha b 2 -4ac<0 nincsenek valós gyökök

97 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Erőhatás fajták: - Gravitációs (súly) erő: G néha W G=mg ahol g= 9,81m/s 2 a gravitációs gyorsulás Erőhatás fajták: - Gravitációs (súly) erő: G néha W G=mg ahol g= 9,81m/s 2 a gravitációs gyorsulás

98 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Erőhatás fajták: - a felület síkjára merőleges nyomóerő N=G cos ß Erőhatás fajták: - a felület síkjára merőleges nyomóerő N=G cos ß

99 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Erőhatás fajták: - súrlódási erők tapadási súrlódási erő F tap =μ tap N csúszási súrlódási erő F s =μ s N Erőhatás fajták: - súrlódási erők tapadási súrlódási erő F tap =μ tap N csúszási súrlódási erő F s =μ s N

100 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Erőhatás fajták: - rugalmas erő A rugó megnyújtásához szüksé- ges erő egyenesen arányos a megnyújtással: F rug =Dx ahol a D a rugóállandó, egységnyi megnyúj- táshoz szükséges erő mértéke, mértékegy- sége: N/m. A rúgóerő tehát: F rugó =-Dx Erőhatás fajták: - rugalmas erő A rugó megnyújtásához szüksé- ges erő egyenesen arányos a megnyújtással: F rug =Dx ahol a D a rugóállandó, egységnyi megnyúj- táshoz szükséges erő mértéke, mértékegy- sége: N/m. A rúgóerő tehát: F rugó =-Dx

101 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgását a lejtőn két erő egyenlet határozza meg: Az x tengely irányában: F x =F-μN, ahol F=G sinß és a F s = μN Az y tengely irányában: F y =0=N-G cosß A test gyorsul, ha F x > 0N Pontszerű testek mozgását a lejtőn két erő egyenlet határozza meg: Az x tengely irányában: F x =F-μN, ahol F=G sinß és a F s = μN Az y tengely irányában: F y =0=N-G cosß A test gyorsul, ha F x > 0N

102 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A munka: fizikai munkavégzés akkor van, ha a test az erő hatására elmozdul. A munka jele: W A munka kiszámítása: W=Fs két vektor skalárszorzata Mértékegysége: Nm=J (joule) A munka: fizikai munkavégzés akkor van, ha a test az erő hatására elmozdul. A munka jele: W A munka kiszámítása: W=Fs két vektor skalárszorzata Mértékegysége: Nm=J (joule)

103 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az energia: ha egy testen munkát végzünk, akkor azt olyan állapotba hozhatjuk, hogy az maga is munkát képes végezni. Ezt a munkavégző képességet energiának nevezzük. Az energia jele: E, vagy W Mértékegysége: J Az energia: ha egy testen munkát végzünk, akkor azt olyan állapotba hozhatjuk, hogy az maga is munkát képes végezni. Ezt a munkavégző képességet energiának nevezzük. Az energia jele: E, vagy W Mértékegysége: J

104 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A munka fajtái: - Az emelési munka: W em =mgh, ahol h az emelési magasság - A gyorsítási munka: W gy =mv 2 /2 A munka fajtái: - Az emelési munka: W em =mgh, ahol h az emelési magasság - A gyorsítási munka: W gy =mv 2 /2

105 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A munka fajtái: - A feszítési munka: W fesz =Dx 2 /2 - A súrlódási munka: W s =-μF ny s cos ß A munka fajtái: - A feszítési munka: W fesz =Dx 2 /2 - A súrlódási munka: W s =-μF ny s cos ß

106 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A munka és energia fajták kapcsolata: Emelési munka, helyzeti energia W em =mghW h =E h =mgh Gyorsítási munka, mozgási energia W gy =mv 2 /2 W m =E m =mv 2 /2 A munka és energia fajták kapcsolata: Emelési munka, helyzeti energia W em =mghW h =E h =mgh Gyorsítási munka, mozgási energia W gy =mv 2 /2 W m =E m =mv 2 /2

107 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az energia megmaradás tétele: Konzervatív terekben a helyzeti energia és a mozgási energia összege állandó W h1 +W m1 =áll.=W h2 +W m2 mgh 1 +mv 1 2 /2=mgh 2 +mv 2 2 /2 Az energia megmaradás tétele: Konzervatív terekben a helyzeti energia és a mozgási energia összege állandó W h1 +W m1 =áll.=W h2 +W m2 mgh 1 +mv 1 2 /2=mgh 2 +mv 2 2 /2

108 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Összefüggés a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között: ha az ax 2 +bx+c=0 egyenlet diszkriminánsa pozitív, akkor az egyenletnek két gyöke van: Adjuk össze a két gyököt: x 1 +x 2 =-b/a szorozzuk össze őket: x 1 *x 2 =c/a ha az egyenletet a-val osztjuk, akkor: x 2 +(b/a)x+c/a=0 egyenlethez jutunk Összefüggés a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között: ha az ax 2 +bx+c=0 egyenlet diszkriminánsa pozitív, akkor az egyenletnek két gyöke van: Adjuk össze a két gyököt: x 1 +x 2 =-b/a szorozzuk össze őket: x 1 *x 2 =c/a ha az egyenletet a-val osztjuk, akkor: x 2 +(b/a)x+c/a=0 egyenlethez jutunk

109 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk: legyen x 1 =4, x 2 =-2 4+(-2)=-b/a; 2=-b/a 4*(-2)= c/a -8=c/a A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk: legyen x 1 =4, x 2 =-2 4+(-2)=-b/a; 2=-b/a 4*(-2)= c/a -8=c/a Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: x 2 +(b/a)x+c/a=0, azaz x 2 +(-2)x+(-8)=0 x 2 -2x -8=0 Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: x 2 +(b/a)x+c/a=0, azaz x 2 +(-2)x+(-8)=0 x 2 -2x -8=0

110 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja: az x 2 +(b/a)x+c/a=0 egyenlet szorzattá alakítható a fenti összefüggések alapján: x 2 +(-(x 1 +x 2) )x+x 1 *x 2 =0 megfelelő átalakítások után: ax 2 +bx+c=a(x-x 1 )(x-x 2 ) a-val osztva: x 2 +(b/a)x+c/a=(x-x 1 )(x-x 2 ) a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja: az x 2 +(b/a)x+c/a=0 egyenlet szorzattá alakítható a fenti összefüggések alapján: x 2 +(-(x 1 +x 2) )x+x 1 *x 2 =0 megfelelő átalakítások után: ax 2 +bx+c=a(x-x 1 )(x-x 2 ) a-val osztva: x 2 +(b/a)x+c/a=(x-x 1 )(x-x 2 ) a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja

111 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk: legyen x 1 =4, x 2 =-2 Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: x 2 +(b/a)x+c/a=(x-x 1 )(x-x 2 )=0, azaz x 2 +(b/a)x+c/a=(x-4)(x-(-2))=0 x 2 +(b/a)x+c/a=(x-4)(x+2)=0 x 2 +(b/a)x+c/a=x 2 -4x+2x-8=0 x 2 +(b/a)x+c/a=x 2 -2x-8=0 tehát a másodfokú egyenlet: x 2 -2x-8=0 A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk: legyen x 1 =4, x 2 =-2 Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: x 2 +(b/a)x+c/a=(x-x 1 )(x-x 2 )=0, azaz x 2 +(b/a)x+c/a=(x-4)(x-(-2))=0 x 2 +(b/a)x+c/a=(x-4)(x+2)=0 x 2 +(b/a)x+c/a=x 2 -4x+2x-8=0 x 2 +(b/a)x+c/a=x 2 -2x-8=0 tehát a másodfokú egyenlet: x 2 -2x-8=0

112 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása lejtőn: Pontszerű testek mozgása lejtőn: Mozgás lejtőn

113 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek gyorsuló mozgása: Pontszerű testek gyorsuló mozgása: Gyorsuló mozgás

114 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: a test sebességvektorának hatásvonala mindig a kör adott pontjához húzott érintő. Egyenletes körmozgás esetén a sebesség nagysága állandó iránya változik.A centripetális gyorsulás iránya az érintőre merőleges és állandó. Pontszerű testek mozgása körpályán: a test sebességvektorának hatásvonala mindig a kör adott pontjához húzott érintő. Egyenletes körmozgás esetén a sebesség nagysága állandó iránya változik.A centripetális gyorsulás iránya az érintőre merőleges és állandó.

115 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: a kör síkbeli vonal, ezért az x-y síkban megha- tározható, a következő egyenletekkel: x=r cos φ y=r sin φ ahol φ=θ, a szögelfordulás Pontszerű testek mozgása körpályán: a kör síkbeli vonal, ezért az x-y síkban megha- tározható, a következő egyenletekkel: x=r cos φ y=r sin φ ahol φ=θ, a szögelfordulás

116 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: körmozgás esetén meghatározható a - szögelfordulás: mértékegysége: rad Δφ=φ 2 -φ 1 - szögsebesség: ω= Δφ/ Δt mértékegysége: rad/s Pontszerű testek mozgása körpályán: körmozgás esetén meghatározható a - szögelfordulás: mértékegysége: rad Δφ=φ 2 -φ 1 - szögsebesség: ω= Δφ/ Δt mértékegysége: rad/s

117 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: körmozgás esetén meghatározható a - szöggyorsulás: mértékegysége: rad/s 2 Pontszerű testek mozgása körpályán: körmozgás esetén meghatározható a - szöggyorsulás: mértékegysége: rad/s 2 β=Δω/ Δt

118 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: Kapcsolatok a fizikai mennyiségek között: -A körvonalon megtett út hossza: s=rφ csak akkor, ha [φ]=rad!! - A kerületi sebesség: v=rω - A centripetális gyorsulás a cp =v 2 /r= rω 2 Pontszerű testek mozgása körpályán: Kapcsolatok a fizikai mennyiségek között: -A körvonalon megtett út hossza: s=rφ csak akkor, ha [φ]=rad!! - A kerületi sebesség: v=rω - A centripetális gyorsulás a cp =v 2 /r= rω 2

119 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: Kapcsolatok a fizikai mennyiségek között: - érintő irányú (tangenciális) gyorsulás: ha a szöggyorsulás nem nulla, akkor a kerületi sebesség változó, ekkor van érintő irányú gyorsulás a é =a t =rβ Pontszerű testek mozgása körpályán: Kapcsolatok a fizikai mennyiségek között: - érintő irányú (tangenciális) gyorsulás: ha a szöggyorsulás nem nulla, akkor a kerületi sebesség változó, ekkor van érintő irányú gyorsulás a é =a t =rβ

120 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: Pontszerű testek mozgása körpályán: Körmozgás

121 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán, körhinta modell: Pontszerű testek mozgása körpályán, körhinta modell: Körhinta

122 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása, ferde hajítás: Pontszerű testek mozgása, ferde hajítás: Ferde hajítás

123 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas testek ütközése: Pontszerű testek, vagy homogén golyók ütközése csak centrális lehet, de lehet egyenes, vagy ferde. Ha a súlypontokból felmért sebességvektorok egy egyenesbe esnek, akkor egyenes, ha nem akkor ferde ütközésről beszélünk. Tökéletesen rugalmas testek ütközése: Pontszerű testek, vagy homogén golyók ütközése csak centrális lehet, de lehet egyenes, vagy ferde. Ha a súlypontokból felmért sebességvektorok egy egyenesbe esnek, akkor egyenes, ha nem akkor ferde ütközésről beszélünk.

124 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas testek ütközése: Általában bármilyen ütközésnél fennáll az impulzus megmaradásának tétele, mivel a külső erők rendszerint elhanya- golhatók. m 1 v 1 +m 2 v 2 =m 1 u 1 +m 2 u 2 Tökéletesen rugalmas testek ütközése: Általában bármilyen ütközésnél fennáll az impulzus megmaradásának tétele, mivel a külső erők rendszerint elhanya- golhatók. m 1 v 1 +m 2 v 2 =m 1 u 1 +m 2 u 2

125 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas testek ütközése: A tökéletesen rugalmas testek ütközé- sénél fennáll, hogy az ütközés előtti és az ütközés utáni kinetikai (mozgási) energiák összege egyenlő. m 1 v 1 2 /2+m 2 v 2 2 /2=m 1 u 1 2 /2+m 2 u 2 2 /2 Tökéletesen rugalmas testek ütközése: A tökéletesen rugalmas testek ütközé- sénél fennáll, hogy az ütközés előtti és az ütközés utáni kinetikai (mozgási) energiák összege egyenlő. m 1 v 1 2 /2+m 2 v 2 2 /2=m 1 u 1 2 /2+m 2 u 2 2 /2

126 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas testek ütközése: a fenti két egyenlet felhasználásával egyenes ütközés esetén kiszámítható a két új sebesség u 1 =2(m 1 v 1 +m 2 v 2 )/(m 1 +m 2 )-v 1 u 2 =2(m 1 v 1 +m 2 v 2 )/(m 1 +m 2 )-v 2 Tökéletesen rugalmas testek ütközése: a fenti két egyenlet felhasználásával egyenes ütközés esetén kiszámítható a két új sebesség u 1 =2(m 1 v 1 +m 2 v 2 )/(m 1 +m 2 )-v 1 u 2 =2(m 1 v 1 +m 2 v 2 )/(m 1 +m 2 )-v 2

127 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas testek ütközése: Tökéletesen rugalmas testek ütközése: Trt ütközése

128 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas testek ütközése: Tökéletesen rugalmas testek ütközése: Trt ütközése

129 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas és rugalmatlan testek ütközése: Tökéletesen rugalmas és rugalmatlan testek ütközése: Ütközések

130 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tömegközéppont: s Tömegközéppont

131 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása: Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek általános alakja: a 1 x+b 1 y=d 1 a 2 x+b 2 y=d 2 Az egyenletrendszer csak akkor oldható meg egyértelműen, ha két egyenlet egymástól független és nincs ellentmondásban egymással. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása: Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek általános alakja: a 1 x+b 1 y=d 1 a 2 x+b 2 y=d 2 Az egyenletrendszer csak akkor oldható meg egyértelműen, ha két egyenlet egymástól független és nincs ellentmondásban egymással.

132 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása: - Helyettesítő módszer: valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent és azt behelyettesítjük a másikba, majd az így kapott egyismeretlenes egyenletet megoldjuk. Az így kapott eredményt bármelyik egyenletbe behelyettesítve, kiszámítjuk a másik ismeretlent. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyettesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása: - Helyettesítő módszer: valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent és azt behelyettesítjük a másikba, majd az így kapott egyismeretlenes egyenletet megoldjuk. Az így kapott eredményt bármelyik egyenletbe behelyettesítve, kiszámítjuk a másik ismeretlent. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyettesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát.

133 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze- rek megoldása: (I)x-2y=-4 (II)2x+y= Az első egyenletből kifejezzük az x-et x=2y-4 és behelyettesítjük a (II)-be Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze- rek megoldása: (I)x-2y=-4 (II)2x+y= Az első egyenletből kifejezzük az x-et x=2y-4 és behelyettesítjük a (II)-be 2(2y-4)+y=-3 4y-8+y=-3

134 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze- rek megoldása (folytatás): 4y-8+y=-3 l: összevonás 5y-8=-3l +8 5y=5 l :5 y= behelyettesítés az (I) egyenletbe: x-2(1)=-4 x-2=-4 l +4 x=-2 Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze- rek megoldása (folytatás): 4y-8+y=-3 l: összevonás 5y-8=-3l +8 5y=5 l :5 y= behelyettesítés az (I) egyenletbe: x-2(1)=-4 x-2=-4 l +4 x=-2

135 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze-rek megoldása (próba): (I) (-2)-2(1)=-4 l zárójel felbontás -2-2=-4 -4=-4 (II) 2(-2)+1=3 l zárójel felbontás -4+1=-3 -3=-3 tehát az egyenlet gyökei: x=-2 ; y=1 Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze-rek megoldása (próba): (I) (-2)-2(1)=-4 l zárójel felbontás -2-2=-4 -4=-4 (II) 2(-2)+1=3 l zárójel felbontás -4+1=-3 -3=-3 tehát az egyenlet gyökei: x=-2 ; y=1

136 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze-rek megoldása: - Az egyenlő együtthatók módszer: Az egyenleteket egy-egy alkalmasan megválasz- tott számmal úgy szorozzuk meg, hogy a kikü- szöbölendő ismeretlen együtthatója mindkét egyenletben azonos legyen. Ezután a két egyenlet megfelelő oldalait összevonjuk, így egyismeretlenes egyenletet kapunk, megoldjuk az egyenletet, amely megoldását a másikba behelyettesítjük és azt is megoldjuk. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyet- tesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze-rek megoldása: - Az egyenlő együtthatók módszer: Az egyenleteket egy-egy alkalmasan megválasz- tott számmal úgy szorozzuk meg, hogy a kikü- szöbölendő ismeretlen együtthatója mindkét egyenletben azonos legyen. Ezután a két egyenlet megfelelő oldalait összevonjuk, így egyismeretlenes egyenletet kapunk, megoldjuk az egyenletet, amely megoldását a másikba behelyettesítjük és azt is megoldjuk. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyet- tesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát.

137 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze- rek megoldása: (I)5x+3y=19 (II)6x-2y= minkét egyenletet megszorozzuk egy alkalmas számmal, az (I)-et 6-tal a (II)-öt 5-tel: (I)5x+3y=19 l*6 (II)6x-2y= 6 l* Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze- rek megoldása: (I)5x+3y=19 (II)6x-2y= minkét egyenletet megszorozzuk egy alkalmas számmal, az (I)-et 6-tal a (II)-öt 5-tel: (I)5x+3y=19 l*6 (II)6x-2y= 6 l*

138 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (folytatás): (I)30x+18y=114 (II)30x-10y= 30 l* (I)-ből vonjuk ki a (II)-öt 28y=84 l :28 y=3 behelyettesítés az eredeti (I)-be 5x+3*(3)=19 5x+9=19 l -9 5x=10 l :5 x=2 Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (folytatás): (I)30x+18y=114 (II)30x-10y= 30 l* (I)-ből vonjuk ki a (II)-öt 28y=84 l :28 y=3 behelyettesítés az eredeti (I)-be 5x+3*(3)=19 5x+9=19 l -9 5x=10 l :5 x=2

139 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze- rek megoldása (próba): (I) 5(2)+3(3)=19 l zárójel felbontás 10+9=19 19=19 (II) 6(2)-2(3)=6 l zárójel felbontás 12-6=6 6=6 tehát az egyenlet gyökei: x=2 ; y=3 Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze- rek megoldása (próba): (I) 5(2)+3(3)=19 l zárójel felbontás 10+9=19 19=19 (II) 6(2)-2(3)=6 l zárójel felbontás 12-6=6 6=6 tehát az egyenlet gyökei: x=2 ; y=3


Letölteni ppt "A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI/1 MECHANIKA BALÁZS ZOLTÁN BMF, KVK, MTI 2009."

Hasonló előadás


Google Hirdetések