Makai M: Transzport31 Most meghatározzuk az egyenlet aszimptotikus megoldását, ami t  esetén alakul ki. Feltesszük, hogy nincsenek külső erők, ekkor.

Az előadások a következő témára: "Makai M: Transzport31 Most meghatározzuk az egyenlet aszimptotikus megoldását, ami t  esetén alakul ki. Feltesszük, hogy nincsenek külső erők, ekkor."— Előadás másolata:

1 Makai M: Transzport31 Most meghatározzuk az egyenlet aszimptotikus megoldását, ami t  esetén alakul ki. Feltesszük, hogy nincsenek külső erők, ekkor minden r egyforma, azért f gradiense eltűnik. Nagy idők elteltével a perturbációk is eltűnnek, ezért  t f=0, vagyis f stacionáriusnak tekinthető. Jelölje f 0 (v) a keresett sűrűséget. f 0 akkor és csak akkor elégíti ki ezt az egyenletet, ha a [ ] eltűnik minden, az ütközésekben megengedett argumentum négyesre. Az elegendőség triviálisan belátható, a szükségesség nem. Vezessük be a (a) funkcionált. Itt feltesszük, hogy f kielégíti a Bolztmann-egyenletet:

2 Makai M: Transzport32 Megmutatjuk, hogy a H’=0 feltétel azonos -val. Először megmutatjuk, hogy H’  0. Ehhez a deriváltat behelyettesítjük, az eredmény nem változik a v 1  v 2 csere esetén. A két egyenletet összeadjuk. A kapott eredmény invariáns a (v 1,v 2 )  (v’ 1,v’ 2 ) cserére, ezt a két egyenletet megint összeadjuk, és kihasználjuk, hogy az infi- niezimális térfogatok és a hkrm-ek egyenlőek. Az eredmény: (a)-t differenciálva, látjuk, hogy H(t) kielégíti a köv. egyenletet: f 0 (v 1 )f 0 (v 2 )-f 0 (v’ 1 )f 0 (v’ 2 )=0

3 Makai M: Transzport33 Ez a kifejezés pedig nem lehet pozitív. Nulla pedig csak akkor lehet, ha ez a tag eltűnik. Ezt kellett bizonyítani. Következmény: Vagyis, f 0 (V) az ütközések során megmarad. Ha a molekulák nem foroghatnak, akkor a legáltalánosabb megmaradó skalár A(v-v 0 ) 2 +C, azaz, Ebben 5 szabad állandó van. Ezek meghatározása az alábbiak

4 Makai M: Transzport34 szerint történhet. Ebből Határozzuk meg a sebesség átlagértékét: Az utolsó állandó pedig az átlagos energiából kapható meg:

5 Makai M: Transzport35 Az ekvipartíció-tételből tudjuk, hogy  =3/2kT, amivel a keresett eloszlás: Ez a Maxwell-Boltzmann-féle eloszlásfüggvény. Egyensúlyban lévő gázban a molekulák sebesség szerinti eloszlását adja meg. A levezetés során nem használtuk ki a molekulák közötti köl- csönhatás tulajdonságait, ezért általános érvényű.

6 Makai M: Transzport36 Ennek megfelelően létezik az egyensúlyi eloszlásfüggvénynek más levezetése is. Amennyiben van külső, konzervatív erőtér, azaz, a molekulákra ható erő alakja Az egyensúlyi eloszlás már a helynek is függvénye lesz: Ennek belátásához meg kell mutatni, hogy ez a képlet kielégíti a Boltzmann-egyenletet. 1, 2, Mert  (r) nem függ v-től

7 Makai M: Transzport37 Azt kell még belátni, hogy Ez azonnal belátható, ha az alábbi alakba írjuk az új eloszlás fv-t: ahol Az egyensúlyi eloszlásból megkapható a termodinamika is, ezt a statisztika fizika könyvekből feltehetően jól ismerik.

8 Makai M: Transzport38 Transzport jelenségek A kérdéskör témája: hogyan közelít az S rendszer az egyensúlyi eloszláshoz? Nem egyensúlyi állapot: hőmérséklet, vagy sűrűség inhomogén (azaz, intenzív mennyiség(ek) gradiense nem nulla)  megindul az extenzívek árama  ütközések révén energia, impulzus, stb. áramlik. 1, Közepes szabad úthossz Két ütközés között megtett átlagos út. Az ütközések száma 1 sec alatt az r pont közelében:

9 Makai M: Transzport39 A szög szerinti integrálás elvégzése után a differenciális hkrm-ből teljes hkrm lesz: Minden ütközésben két molekula fordul elő, ezért az 1 sec alatt a molekulák által az ütközések közötti szabad rohanások száma 2Z, egységnyi térfogatban n molekula van, ezért az 1 molekulára jutó futások száma 2Z/n, mindez 1 sec alatt. A megtett út =2Z/n*v átl. Z kiszámítása általában nem egyszerű, spec. Eset:  tot =áll. f() pedig Maxwell-Boltzmann (azaz egyensúlyi eloszlású).

10 Makai M: Transzport310 Ekkor Náhány szám a jelenség megértéséhez: 10 -7 cm, két ütközés között 10 -11 sec telik el (relaxációs távolság és idő). Megmaradó mennyiségek Az ütközések során egyes mennyiségek megmaradnak  a gáz egé- szére érvényes megszorítások. Legyen egy megmaradó mennyiség. Ekkor

11 Makai M: Transzport311 A bizonyításhoz az ütközési integrál definícióját kell felírni és kihasználni a hkrm invariancia tulajdonságait. A fenti egyenlet segítségével megmaradási egyenletekhez jutunk a Boltzmann- egyenletből. Szorozzuk meg a BE-t  (r,v)-vel és integráljunk a sebességre. Bevisszük  -t a differenciálások mögé:

12 Makai M: Transzport312 A negyedik tag eltűnik, ha v→  esetén f(r,v,t) eltűnik. Jelölés: Amivel az alábbi megmaradási egyenletet kapjuk:

13 Makai M: Transzport313 Itt tehát  egy ütközésekben megmaradó mennyiség. Azt kaptuk, hogy a gáz egészére vett átlagok nem lehetnek tetszőlegesek. A,  =m: tömeg megmaradása  (r,t)  mn(r,t); u(r,t)= Ez a kontinuitás egyenlet: az anyag- megmaradás matematikai kifejezése. B, impulzus megmaradás

14 Makai M: Transzport314  =mv i Itt a második tag a sebesség i-ik és j-ik komponense közötti korre- lációat írja le. Ezt behelyettesítve a fenti egyenletbe: Ismétlődő indexekre összegzés!!!

15 Makai M: Transzport315 Bevezetjük a nyomástenzort: Ezzel kapunk egy egyenletet amiből a sebességek meghatároz- hatóak: C, Energiamegmaradás (E1)

16 Makai M: Transzport316 A következő képlettel definiáljuk a hőmérsékletet és a hőáramot: Ezzel (E1) első tagja: (E1) második tagja:

17 Makai M: Transzport317 Az (E1) egyenlet egésze: Ezek az egyenletek tehát a gáz egészére jelentenek megszorítást, az ütközési folyamatokból következnek. A megszorítás: megmarad a tömeg megmarad az energia megmarad az impulzus. Ezeket a mennyiségeket csak az eloszlásfüggvény ismeretében lehet meghatározni.

18 Makai M: Transzport318 Neutrontranszport A Boltzmann-egyenletet alkalmazzuk a híg neutrongázra, a köv. Feltevések mellett: neutron-neutron ütközések elhagyhatóak az ütközési integrálban a neutron-mag kcsh hkrm-it lehet hasz- nálni a neutronszám elég nagy ahhoz, hogy elegendő az átlagra vonat- kozó egyenletet vizsgálni a vizsgált térfogatot peremfeltétellel tesszük végessé.

19 Makai M: Transzport319 A Boltzmann-egyenlet eredeti alakja: A neutronokra ható erő elhagyható, ezért a baloldalon csak az első két tag marad. Az ütközési integrál most a neutron-mag kcshatást írja le, itt három reakciót különböztetünk meg: 1. Szórás (  s ) 2, hasadás (  f ) 3, befogás (  c ) Ha feltesszük, hogy a mag nyugalomban van, akkor a reakció- gyakoriságok rendre

20 Makai M: Transzport320 Mivel egy neutron hasadáskor is kilép a neutron gázból, ezért bevezetjük  a =  f +  c hkrm-et.  normálása: A hasadásban keletkező neutronok átlagos száma