Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI 1. Matematika v2.2 kiegészített verzió ÓE-KVK-MTI2009-2010.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI 1. Matematika v2.2 kiegészített verzió ÓE-KVK-MTI2009-2010."— Előadás másolata:

1 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI 1. Matematika v2.2 kiegészített verzió ÓE-KVK-MTI

2 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Számhalmazok Természetes számok: N Egész számok: Z (N negatív számok) Racionális számok: Q (Z + véges törtek) Valós számok: R (Q + irracionális számok) Komplex számok: C (R + képzetes számok)

3 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Számhalmazok Természetes számok: 1;2;3... Egész számok:...;-2;-1;0;1;2;... Racionális számok: 1; ½; -23/56; 0,01 Valós számok: 1; ½; 3, ; 2, Komplex számok: 1; -½; i (j); 2+3i; e j π Ha egy buszon 4 ember utazik, és leszáll 6, akkor hány embernek kell felszállnia, hogy senki ne legyen a buszon?

4 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek tulajdonságai kommutativitás: összeadás: a+b=b+a összeadás: a+b=b+a szorzás: ab=ba szorzás: ab=baasszociativitás: összeadás: (a+b)+c=a+(b+c) összeadás: (a+b)+c=a+(b+c) szorzás: (ab)c=a(bc) szorzás: (ab)c=a(bc)disztributivitás: szorzás az összeadásra nézve: a(b+c)=ab+ac szorzás az összeadásra nézve: a(b+c)=ab+ac

5 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Nevezetes szorzatok (a+b) 2 =a 2 +b 2 +2ab (a-b) 2 =a 2 +b 2 -2ab (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3 (a+b)(a-b)=a 2 -b 2 Zárójel felbontása: a-(b+c-d)=a-b-c+d (a-b)(c-d)=ac-bc-ad+bd

6 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek összevonása: Megkeressük a nevezők legkisebb közös többszörösét. Az összevonandó tagokat egyenként úgy bővítjük, hogy a meghatározott legkisebb közös többszörös legyen a nevező. Az eredmény számlálóját az így kapott számlálok összevonásával kapjuk, a nevező a meghatározott legkisebb közös többszörös lesz.

7 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek összevonása: 1. példa: A legkisebb közös többszörös meghatározása: 9=3*3, 6=2*3; 2*3*3=18 Az összevonás eredménye:

8 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek összevonása: 2. példa: A legkisebb közös többszörös meghatározása: 9=3*3, 6=2*3, 4=2*2; 2*2*3*3=36 Az összevonás eredménye:

9 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek összevonása: 3. példa: A legkisebb közös többszörös meghatározása: a-b, (a 2 -b 2 )=(a+b)*(a-b); (a+b)*(a-b)=a 2 -b 2 Az összevonás eredménye:

10 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek szorzása: Az eredő számláló a számlálók szorzata, az eredő nevező pedig a nevezők szorzata lesz. 1. példa 2. példa

11 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Műveletek törtekkel Törtek osztása: Az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk. 1. példa 2. példa

12 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet Általános alakja: ax+b=0, ahol a≠0 Az egyenlet akkor megoldott, ha az egyik oldalon az ismeretlen, a másikon pedig csak ismert mennyiség van. Ezt rendezéssel érhetjük el. ax+b=0 l (-b) ax=-b l :a x=-b/a az egyenlet megoldása

13 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet A gyök (megoldás) akkor helyes, ha azt az egyenlet eredeti alakjában behelyettesítve egyenlőséget kapunk. x=-b/a az egyenlet megoldása. Behelyettesítve: a(-b/a)+b=0 -ab/a+b=0 -b+b=0 0=0

14 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 1. példa: 2x-22+x+11=2x-5-x összevonás 3x-11=x-5 l (-x+11) 2x=6 l :2 x=3 Ellenőrzés: 2* =2* = =-2 egyenlőség!

15 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 2. példa: 2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójel felbontás 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 l (-3x+33) -2x=+28 l :(-2) x=-14 Ellenőrzés: 2*(-14)-( )=2*19-(5-(-14) -28-(19)= =-47 egyenlőség!

16 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 3. példa: 2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójelek felbontása 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 l (-3x+33) -2x=+28 l :(-2) x=-14 Ellenőrzés: 2*(-14)-( )=2*19-(5-(-14) -28-(19)= =-47 egyenlőség!

17 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 4. példa: (9x+7)/2+(x-2)/7=36+x l A nevezők legkisebb közös többszörösével szorzunk, most 2*7=14 (9x+7)*7+(x-2)*2=(36+x)14 l zárójelek felbontása 63x+49+2x-4=504+14x l x és összevonás 51x=459 l :(51) x=459/51=9 Ellenőrzés: (9*9+7)/2+(9-2)/7= /2+7/7=45 45=45 egyenlőség!

18 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 5. példa: 16/(5x-3)=8/x l A nevezők szorzatával szorzunk, most (5x-3)*x, feltéve, hogy x≠0 és x≠3/5 16x=8(5x-3) l zárójelek felbontása 16x=40x-24 l-40x és összevonás -24x=-24 l:(-24) x=1 Ellenőrzés: 16/(5*1-3)=8/1 16/2=1 8=8 egyenlőség! Ellenőrzés: 16/(5*1-3)=8/1 16/2=1 8=8 egyenlőség!

19 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet Az egyenlet megoldásának lehetséges lépései: - eltávolítjuk a törteket, - elvégezzük a kijelölt műveleteket, felbontjuk a zárójeleket, - rendezzük az egyenletet, - összevonunk, - elosztjuk az ismeretlen együtthatójával mindkét oldalt, - elvégezzük az ellenőrzést.

20 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: a.) Valamely számot vagy algebrai egész kifejezést az egyenlet mindkét oldalához hozzáadva vagy mindkét oldalból kivonva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. a.) Valamely számot vagy algebrai egész kifejezést az egyenlet mindkét oldalához hozzáadva vagy mindkét oldalból kivonva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. x-a=c l(+a) x-a+a=c+a x=c+a Példa:x-12=27 l(+12) x-12+12=27+12 x=39

21 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: b.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozva vagy osztva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. b.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozva vagy osztva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. x/a=c l( *a) (x/a)(*a)=c(*a) x=ca Példa:x/12=27 l(*12) (x/12)*12=27*12 x=324 12x=36 l(:12) 12x/12=36/12 x=3

22 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: c.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal az algebrai kifejezéssel szorozva eredményül az eredeti egyenlet következményét kapjuk, nem esik ki gyök. c.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal az algebrai kifejezéssel szorozva eredményül az eredeti egyenlet következményét kapjuk, nem esik ki gyök. x-1=0 l ( *(x+1)) (x-1)(x+1)=0 egyenletnek gyöke az x 1 =1, de gyöke az x 2 =-1 is. Nem esett ki gyök, de van egy másik gyök is, a két egyenlet nem egyenértékű. Új gyök nem lép fel mindig! Példa:3x/(x+2)=2 l (*(x+2) 3x=2*(x+2) 3x=2x+4 Ekkor azx=4 gyököt kapjuk, ami az eredeti egyenletnek is gyöke.

23 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet Általános alakja: ax 2 +bx+c=0, ahol a#0 A fenti alakot vegyes másodfokú egyenletnek nevezzük. Ha b=0, akkor kapjuk a tiszta másodfokú egyenletet: ax 2 +c=0 Ha c=0, akkor kapjuk a hiányos másodfokú egyenletet: ax 2 +bx=0

24 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: ax 2 +c=0 x 2 =-c/a rendezés után A két gyököt különválasztva: Az „a” mindig pozitív, így c 0 esetén nincs valós gyök. A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: ax 2 +c=0 x 2 =-c/a rendezés után A két gyököt különválasztva: Az „a” mindig pozitív, így c 0 esetén nincs valós gyök.

25 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: Példa: 5x 2 -12=0 x 2 =12/5=2,4 rendezés után A két gyököt különválasztva: A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: Példa: 5x 2 -12=0 x 2 =12/5=2,4 rendezés után A két gyököt különválasztva:

26 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A hiányos másodfokú egyenletet: ax 2 +bx=0 az egyenletből x-et kiemelve x(ax+b)=0 kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla: x 1 =0 az egyik gyök, vagy ax+b=0 x 2 =-b/a a másik gyök.

27 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A hiányos másodfokú egyenletet: 3x 2 +5x=0 az egyenletből x-et kiemelve x(3x+5)=0 kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla: x 1 =0 az egyik gyök, vagy 3x+5=0 x 2 =-3/5 a másik gyök.

28 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A vegyes másodfokú egyenlet: ax 2 +bx+c=0, ahol a#0 Az egyenlet megoldó képlete: A két gyök:

29 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A vegyes másodfokú egyenlet: 8x 2 +2x-1=0 Az egyenlet megoldó képlete: A két gyök:

30 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A vegyes másodfokú egyenlet gyökeinek jellegét a diszkrimináns, a b 2 -4ac kifejezés határozza meg: a.)ha b 2 -4ac>0 két egymástól különböző valós gyök van b.)ha b 2 -4ac=0 a gyökök egymással egyenlők c.) ha b 2 -4ac<0 nincsenek valós gyökök (csak komplexek)

31 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet Összefüggés a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között: ha az ax 2 +bx+c=0 egyenlet diszkriminánsa pozitív, akkor az egyenletnek két gyöke van: Adjuk össze a két gyököt: x 1 +x 2 =-b/a szorozzuk össze őket: x 1 *x 2 =c/a ha az egyenletet a-val osztjuk, akkor: x 2 +(b/a)x+c/a=0 egyenlethez jutunk.

32 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk: legyen x 1 =4, x 2 =-2 4+(-2)=-b/a; 2=-b/a 4*(-2)= c/a -8=c/a Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: x 2 +(b/a)x+c/a=0, azaz x 2 +(-2)x+(-8)=0 x 2 -2x -8=0 Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: x 2 +(b/a)x+c/a=0, azaz x 2 +(-2)x+(-8)=0 x 2 -2x -8=0

33 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja: az x 2 +(b/a)x+c/a=0 egyenlet szorzattá alakítható a fenti összefüggések alapján: x 2 +(-(x 1 +x 2) )x+x 1 *x 2 =0 megfelelő átalakítások után: ax 2 +bx+c=a(x-x 1 )(x-x 2 ) a-val osztva: x 2 +(b/a)x+c/a = (x-x 1 )(x-x 2 ) x 2 +(b/a)x+c/a = (x-x 1 )(x-x 2 ) a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja.

34 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk: legyen x 1 =4, x 2 =-2 Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: x 2 +(b/a)x+c/a=(x-x 1 )(x-x 2 )=0, azaz x 2 +(b/a)x+c/a=(x-4)(x-(-2))=0 x 2 +(b/a)x+c/a=(x-4)(x+2)=0 x 2 +(b/a)x+c/a=x 2 -4x+2x-8=0 x 2 +(b/a)x+c/a=x 2 -2x-8=0 tehát a másodfokú egyenlet: x 2 -2x-8=0

35 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Polinomok Polinom: olyan kifejezés, melyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. Példa: ax 3 +bx 2 +cx+d Ha a polinomot nullával tesszük egyenlővé, egyenletet vagy függvényt kapunk. Pl. ax 3 +bx 2 +cx+d=0. Az egyenlet megoldásait nevezzük a polinom gyökeinek (vagy zérushelyeinek). Az algebra alaptétele: A komplex számok körében egy nem konstans polinomnak pontosan annyi gyöke van, ahányad fokú. (A fokszám a legnagyobb hatványkitevő.) A fenti példának tehát 3 gyöke van. A gyökök között lehetnek azonosak is (multiplicitás).

36 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek általános alakja: a 1 x+b 1 y=d 1 a 2 x+b 2 y=d 2 Az egyenletrendszer csak akkor oldható meg egyértelműen, ha a két egyenlet egymástól független (vagyis az egyik nem hozható létre a másikból konstanssal való szorzással) és nincs ellentmondásban egymással.

37 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása - Helyettesítő módszer: valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent és azt behelyettesítjük a másikba, majd az így kapott egyismeretlenes egyenletet megoldjuk. Az így kapott eredményt bármelyik egyenletbe behelyettesítve, kiszámítjuk a másik ismeretlent. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyettesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát.

38 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (I)x-2y=-4 (II)2x+y=-3 Az első egyenletből kifejezzük az x-et x=2y-4 és behelyettesítjük a (II)-be 2(2y-4)+y=-3 4y-8+y=-3

39 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (folytatás): 4y-8+y=-3 l összevonás 5y-8=-3l +8 5y=5 l :5 y= behelyettesítés az (I) egyenletbe: x-2(1)=-4 x-2=-4 l +4 x=-2

40 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (próba): (I) (-2)-2(1)=-4 l zárójel felbontás -2-2=-4 -4=-4 (II) 2(-2)+1=3 l zárójel felbontás -4+1=-3 -3=-3 tehát az egyenlet gyökei: x=-2 ; y=1 (próba): (I) (-2)-2(1)=-4 l zárójel felbontás -2-2=-4 -4=-4 (II) 2(-2)+1=3 l zárójel felbontás -4+1=-3 -3=-3 tehát az egyenlet gyökei: x=-2 ; y=1

41 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása - Az egyenlő együtthatók módszer: Az egyenleteket egy-egy alkalmasan megválasztott számmal úgy szorozzuk meg, hogy a kiküszöbölendő ismeretlen együtthatója mindkét egyenletben azonos legyen. Ezután a két egyenlet megfelelő oldalait összevonjuk, így egyismeretlenes egyenletet kapunk, megoldjuk az egyenletet, amely megoldását a másikba behelyettesítjük és azt is megoldjuk. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyettesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát.

42 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (I)5x+3y=19 (II)6x-2y= minkét egyenletet megszorozzuk egy alkalmas számmal, az (I)-et 6-tal a (II)-öt 5-tel: (I)5x+3y=19 l*6 (II)6x-2y= 6 l*

43 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (folytatás): (I)30x+18y=114 (II)30x-10y= 30 l* (I)-ből vonjuk ki a (II)-öt 28y=84 l :28 y=3 behelyettesítés az eredeti (I)-be 5x+3*(3)=19 5x+9=19 l -9 5x=10 l :5 x=2

44 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (próba): (I) 5(2)+3(3)=19 l zárójel felbontás 10+9=19 19=19 (II) 6(2)-2(3)=6 l zárójel felbontás 12-6=6 6=6 tehát az egyenlet gyökei: x=2 ; y=3

45 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Egyenlőtlenségnek két olyan kifejezés kapcsolatát nevezzük, amelyek az alábbi jelek valamelyikével vannak összekötve: > nagyobb < kisebb ≠ nem egyenlő > < nagyobb vagy kisebb ≤ nagyobb vagy egyenlő ≥ kisebb vagy egyenlő >,, < és ≠ szigorú egyenlőtlenségek, a többi nem szigorú.

46 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI EgyenlőtlenségekPéldák:a>ba

47 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Az a>b és a b és ab, akkor b b, akkor bb és b>c, akkor a>c 3. Ugyanazon mennyiség hozzáadása vagy kivonása mindkét oldalból: Ha a>b, akkor a+c>b+c és a-c>b-c

48 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Az a>b és a b és ab és c>d, akkor a+c>b+d (megegyező értelmű kiinduló egyenlőtlenségek) 5. Egyenlőtlenségek kivonása: Ha a>b és c b-d (ellenkező értelmű kiinduló egyenlőtlenségek!)

49 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Egyenlőtlenségek Az a>b és a b és ab és c>0, akkor ac>bc és a/c>b/c (pozitív szorzótényező: megegyező értelmű eredmény) Ha a>b és c b és c<0, akkor ac

50 Egyenlőtlenségek Az a>b és a b és a2/3 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

51 Egyenlőtlenségek Az a>b és a b és a0 x 2 +6x+9+6>0 (x+3) 2 +6>0 (x+3) 2 >-6 nagyobb -6-nál. Az egyenlőtlenség x minden értékére igaz, mert bármely szám négyzete nagyobb -6-nál. A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

52 Egyenlőtlenségek Az a>b és a b és a0 x 2 -7x+10<0 (x-7/2) 2 -49/4+40/4<0 (x-7/2) 2 <9/4 -3/2

53 Trigonometria A trigonometria azokkal az összefüggé- sekkel foglalkozik, amelyek segítségével a a háromszögek ismert elemeiből az isme- retlen elemeket számítással meghatároz- hatjuk. Minden egyenesekkel határolt síkidom háromszögekre és minden háromszög derékszögű háromszögekre bontható, ezért a derékszögű háromszögek vizsgálata meghatározóan fontos.

54 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények (hegyes szögek) Az ábrán látható derékszögű háromszögek oldalainak aránya állandó (hasonló há- romszögek!) a/c=a 1 /c 1 =a 2 /c 2 b/c=b 1 /c 1 =b 2 /c 2 a/b=a 1 /b 1 =a 2 /b 2 b/a=b 1 /a 1 =b 2 /a 2 a/c=a 1 /c 1 =a 2 /c 2 b/c=b 1 /c 1 =b 2 /c 2 a/b=a 1 /b 1 =a 2 /b 2 b/a=b 1 /a 1 =b 2 /a 2

55 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények A háromszögek megfelelő oldalainak aránya csak az α szögtől függ. Ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük. Az egyes arányok külön megnevezést és jelölést kaptak. Ezek: -szinusz: sin α= a/c=(a szöggel szembeni befogó)/átfogó b/c=b 1 /c 1 =b 2 /c 2 a/b=a 1 /b 1 =a 2 /b 2 b/a=b 1 /a 1 =b 2 /a 2 -szinusz: sin α= a/c=(a szöggel szembeni befogó)/átfogó b/c=b 1 /c 1 =b 2 /c 2 a/b=a 1 /b 1 =a 2 /b 2 b/a=b 1 /a 1 =b 2 /a 2

56 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények: -koszinusz: cos α= b/c=(a szög melletti befogó)/átfogó -tangens: tg α= a/b=(a szöggel szembeni befogó)/(a szög melletti befogó) -kotangens: ctg α= b/a=(a szög melletti befogó)/(a szöggel szembeni befogó)

57 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria Derékszögű háromszögben a következő szögfüggvényeket definiáljuk:

58 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Nevezetes szögfüggvények: Nevezetes szögfüggvények:

59 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Nevezetes szögfüggvények: Nevezetes szögfüggvények:

60 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények: A szögeket fokokban és radiánokban (rad) is megadhatjuk. Az SI mértékegységrendszerben csak a radián használható. Kapcsolatuk: 2π(rad)=360 o Az ábrán látható derékszögű háromszög adatai: a=6m b=2,5m Határozzuk meg az α és a β szögek szögfüggvényeit!

61 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometrikus függvények: Az ábrán látható derékszögű háromszög adatai: a=6m b=2,5m Határozzuk meg az α és a β szögek szögfüggvényeit! A c oldal a Pitagorasz tétellel számolható A szögfüggvények: sin α=a/c=6/6,5=0,9230 cos α=b/c=2,5/6,5=0,3849 tg α=a/b=6/2,5=2,4 ctg α=b/a=2,5/6=0,4166

62 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények általánosítása: Szögfüggvényeket általánosan a P pont koordinátáival és az egységnyi sugárral a következőképpen értelmezzük: sin α=ordináta/sugár=y/1=y cos α=abszcissza/sugár=x/1=x tg α=ordináta/abszcissza=y/x ctg α=abszcissza/ordináta=x/y Az α szög bármilyen értékű lehet, a koordinátákat és a szögfüggvényeket előjelesen értelmezzük. Az α szög bármilyen értékű lehet, a koordinátákat és a szögfüggvényeket előjelesen értelmezzük.

63 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele különböző síknegyedekben: Szögfüggvények előjele különböző síknegyedekben:

64 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele és értékei a különböző síknegyedekben: Szögfüggvények előjele és értékei a különböző síknegyedekben:

65 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele és értékei a különböző síknegyedekben: Szögfüggvények előjele és értékei a különböző síknegyedekben:

66 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele és számítása a különböző síknegyedekben: Szögfüggvények előjele és számítása a különböző síknegyedekben:

67 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Szögfüggvények előjele és számítása a különböző síknegyedekben: Szögfüggvények előjele és számítása a különböző síknegyedekben:

68 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria a./ szinusz tétel: az általános háromszögben bármely két oldal aránya az oldalakkal szemben lévő szögek szinuszának arányával egyenlő. a:b=sinα:sinβ Trigonometria a./ szinusz tétel: az általános háromszögben bármely két oldal aránya az oldalakkal szemben lévő szögek szinuszának arányával egyenlő. a:b=sinα:sinβ a:c=sinα:sinγ b:c=sin β :sinγ

69 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az α =π/6rad, azaz 30 o, mekkora a c oldal? a/b=sinα/sinβ l vegyük az egyenlet reciprokát Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az α =π/6rad, azaz 30 o, mekkora a c oldal? a/b=sinα/sinβ l vegyük az egyenlet reciprokát b/a= sinβ/sin α sinβ=(b/a)*sinα sinβ=(12/10)sin 30 o sinβ=(12/10)sin 30 o sinβ=(1,2)*0,5 sinβ=0,6 β=arc sin0,6 β=36,87 o =0,643rad b/a= sinβ/sin α sinβ=(b/a)*sinα sinβ=(12/10)sin 30 o sinβ=(12/10)sin 30 o sinβ=(1,2)*0,5 sinβ=0,6 β=arc sin0,6 β=36,87 o =0,643rad

70 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az α =π/6rad, azaz 30 o, mekkora a c oldal? Folytatás: β=36,87 o =0,643rad γ=180 o -α-β γ=180 o -30 o -36,87 o γ=113,13 o c/a=sinγ/sinα c=(a*sinγ)/sinα c=(10*sin113,13 o )/sin30 o c=(10*0,9196)/0,5 c=18,39m, Tehát a c oldal 18,39m Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az c és b által bezárt szög az α =π/6rad, azaz 30 o, mekkora a c oldal? Folytatás: β=36,87 o =0,643rad γ=180 o -α-β γ=180 o -30 o -36,87 o γ=113,13 o c/a=sinγ/sinα c=(a*sinγ)/sinα c=(10*sin113,13 o )/sin30 o c=(10*0,9196)/0,5 c=18,39m, Tehát a c oldal 18,39m

71 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria b./ koszinusz tétel: az általános háromszögben bármely oldalának négyzetét úgy kapjuk, hogy a másik két oldalá- nak négyzetösszegéből kivonjuk ugyanazon oldalak szorzatának és a közbezárt szög koszinu- szának kétszeresét. a 2 =b 2 +c 2 -2*b*c*cosα Trigonometria b./ koszinusz tétel: az általános háromszögben bármely oldalának négyzetét úgy kapjuk, hogy a másik két oldalá- nak négyzetösszegéből kivonjuk ugyanazon oldalak szorzatának és a közbezárt szög koszinu- szának kétszeresét. a 2 =b 2 +c 2 -2*b*c*cosα b 2 =a 2 +c 2 -2*a*c*cosβ c 2 =a 2 +b 2 -2*a*b*cosγ b 2 =a 2 +c 2 -2*a*c*cosβ c 2 =a 2 +b 2 -2*a*b*cosγ

72 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az a és b által bezárt szög az γ =113,13 o, mekkora a c oldal? c 2 =a 2 +b 2 -2*a*b*cosγ c 2 = *10*12*cos113,13 o c 2 = *(-0,3928) c 2 =244+94,2764 c 2 =338,2764 c=18,39m Trigonometria a./ Feladat: ha b=12m; a=10m; az a és b által bezárt szög az γ =113,13 o, mekkora a c oldal? c 2 =a 2 +b 2 -2*a*b*cosγ c 2 = *10*12*cos113,13 o c 2 = *(-0,3928) c 2 =244+94,2764 c 2 =338,2764 c=18,39m Tehát a c oldal 18,39m Tehát a c oldal 18,39m

73 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek A goniometrikus egyenletek keretében azokkal az összefüggésekkel foglalkozunk, amelyekben az ismeretlenek valamely trigonometrikus függvény argumentumában találhatók. Például: a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a Megoldásoknak (gyökök) nevezzük x azon érté- keit, amelyek kielégítik goniometrikus egyenletet. Goniometrikus egyenletek A goniometrikus egyenletek keretében azokkal az összefüggésekkel foglalkozunk, amelyekben az ismeretlenek valamely trigonometrikus függvény argumentumában találhatók. Például: a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a Megoldásoknak (gyökök) nevezzük x azon érté- keit, amelyek kielégítik goniometrikus egyenletet.

74 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek a./ sin x=a Lehetőségek: a1./ sin x=a Megoldások: a1./1.x= arc sin a+2kπ A mellékelt ábra jobb oldala alapján! a2./ sin x=a Megoldások: a2./1. x= π(2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala alapján A k tetszőleges egész szám! Goniometrikus egyenletek a./ sin x=a Lehetőségek: a1./ sin x=a Megoldások: a1./1.x= arc sin a+2kπ A mellékelt ábra jobb oldala alapján! a2./ sin x=a Megoldások: a2./1. x= π(2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala alapján A k tetszőleges egész szám!

75 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek a./ sin x=a Lehetőségek: a3./ sin x=a Megoldások: a3./1.x= arc sin a+2kπ A mellékelt ábra jobb oldala alapján! a4./ sin x=a Megoldások: a4./2 x= π(2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala alapján! A k tetszőleges egész szám! Goniometrikus egyenletek a./ sin x=a Lehetőségek: a3./ sin x=a Megoldások: a3./1.x= arc sin a+2kπ A mellékelt ábra jobb oldala alapján! a4./ sin x=a Megoldások: a4./2 x= π(2k+1)- arc sin a a mellékelt ábra bal oldala alapján! A k tetszőleges egész szám!

76 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek b./ cos x=a Lehetőségek: b1./ cos x=a Megoldások: b1.x=± arc cos a+2kπ A mellékelt felső ábra alapján! b2./ sin x=a Megoldások: b2 x=± arc cos a+2kπ a mellékelt alsó ábra alapján! A k tetszőleges egész szám! Goniometrikus egyenletek b./ cos x=a Lehetőségek: b1./ cos x=a Megoldások: b1.x=± arc cos a+2kπ A mellékelt felső ábra alapján! b2./ sin x=a Megoldások: b2 x=± arc cos a+2kπ a mellékelt alsó ábra alapján! A k tetszőleges egész szám!

77 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek c./ tg x=a Megoldás: x=arc tg a+kπ A mellékelt ábra alapján! A k tetszőleges egész szám! Goniometrikus egyenletek c./ tg x=a Megoldás: x=arc tg a+kπ A mellékelt ábra alapján! A k tetszőleges egész szám!

78 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek c./ ctg x=a Megoldás: x=arc ctg a+kπ A mellékelt ábra alapján! A k tetszőleges egész szám! Goniometrikus egyenletek c./ ctg x=a Megoldás: x=arc ctg a+kπ A mellékelt ábra alapján! A k tetszőleges egész szám!

79 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a a1./ x= arc sin a+2kπ =arc sin,075+2kπ =(0,848+2k π) rad Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a a1./ x= arc sin a+2kπ =arc sin,075+2kπ =(0,848+2k π) rad a2./ x= π( 2k+1)- arc sin a = π( 2k+1)- arc sin 0,75 =(π(2k+1)- 0,848)rad A k tetszőleges egész szám! a2./ x= π( 2k+1)- arc sin a = π( 2k+1)- arc sin 0,75 =(π(2k+1)- 0,848)rad A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők: k=0, x 01 =0,848rad, és x 02 = π- 0,848=2,2936rad; k=1, x 11 =0,848+2π=7,1312rad x 12 =3 π-0,848=8,576rad, stb. Tehát eredmények a következők: k=0, x 01 =0,848rad, és x 02 = π- 0,848=2,2936rad; k=1, x 11 =0,848+2π=7,1312rad x 12 =3 π-0,848=8,576rad, stb.

80 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a b1./ x= arc cos a+2kπ =arc cos 0,75+2kπ =(0,7227+2k π) rad Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a b1./ x= arc cos a+2kπ =arc cos 0,75+2kπ =(0,7227+2k π) rad b2./ x=-arc cos a+2kπ =-arc cos 0,75+2kπ =(-0,7227+ b2./ x=-arc cos a+2kπ =-arc cos 0,75+2kπ =(-0, k π) rad +2k π) rad A k tetszőleges egész szám! A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők: k=0, x 01 =0,7227rad, és x 02 = - 0,7227rad; k=1, x 11 =0,7227+2π=7,0rad x 12 =2π-0,7227=5,56rad, stb. Tehát eredmények a következők: k=0, x 01 =0,7227rad, és x 02 = - 0,7227rad; k=1, x 11 =0,7227+2π=7,0rad x 12 =2π-0,7227=5,56rad, stb.

81 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a c1./ x= arc tg a+kπ =arc tg 0,75+kπ =(0,6435+k π) rad Goniometrikus egyenletek Példák:Számoljuk ki x értékét, ha a=0,75 és a./ sin x=a b./ cos x=a c./ tg x=a d./ ctg x=a c1./ x= arc tg a+kπ =arc tg 0,75+kπ =(0,6435+k π) rad A k tetszőleges egész szám! A k tetszőleges egész szám! Tehát eredmények a következők: k=0, x 01 =0,6435rad, k=1, x 11 =0,6435+π=3,7851rad, stb. Tehát eredmények a következők: k=0, x 01 =0,6435rad, k=1, x 11 =0,6435+π=3,7851rad, stb.

82 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Hatványozás a : hatvány alapja n: hatványkitevő

83 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI HatványozásAzonosságok Bármilyen számrendszerben a rendszer alapjával való szorzáskor az eredményt úgy kapjuk, hogy a szám mögé írunk egy nullát.

84 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI HatványozásPélda

85 HatványozásPélda

86 Logaritmus A hatványozás egyik inverz művelete (a másik a gyökvonás). A pozitív b szám a (a>1) alapú logaritmusa az a kitevő, amelyre a-t emelve b-t kapjuk. Gyökvonásnál az alapot, logaritmusnál a kitevőt keressük.

87 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI LogaritmusPélda:Hatvány:Gyök:Logaritmus: 10-es alapú log: természetes log:

88 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI LogaritmusAzonosságok Log alapjának változtatása:

89 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI LogaritmusPéldák:

90 Példák: a./ lg 8=lg(2*4)=lg2+lg4=0,3010+0,6020= =0,9031 b./ ln0,8=ln(4/5)=ln4-ln5=1,3863-1,6094= =-0,2231

91 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Példák: c./ ln5 2 =2*ln 5=2*1,6094=3,2188 c./ lg 8 1/2 =(1/2)lg(8)=(1/2)0,9031=0,4515

92 Exponenciálisfüggvény Logaritmusfüggvény

93 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Az olyan egyenletet, amelyben az ismeretlen a kitevőben található exponenciális egyenletnek nevezzük. Például: 3 (x+1) -3 x =100 exponenciális egyenlet.

94 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: a./ Ha az exponenciális egyenlet mindkét oldala egytagú kifejezés, akkor vagy logaritmálással, vagy a hatvány és alap egyenlőségéből a kitevők egyenlőségére következtetéssel algebrai egyenletet írunk fel, és azt a kitevőkre megoldjuk. Például: a1./3 x =81 l logaritmálva: x*lg3=lg81 l :lg3 x=lg81:log3=1,9085/0, 4771 x=4

95 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Például: a2./3 x =81 l 81 felírása hatványként 3 x =3 4 l látható: x=4 esetén áll fenn az egyenlőség x=4 Próba:3 4 =81 81=81

96 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Például: a3./ Próba:

97 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Próba: a3./

98 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: b./ Ha az exponenciális egyenlet többtagú kifeje- zés, de átalakításokkal mindkét oldal egytagúra alakítható, akkor vagy logaritmálással, vagy a hatvány és alap egyenlőségéből a kitevők egyenlőségére következtetéssel algebrai egyen- letet írunk fel, és azt a kitevőkre megoldjuk. Például: b1./ 3 x+2 +7*3 x+1 =270 l :a kitevőket felbontjuk: 3 x *3 2 +7*3 x *3 1 =270 l :3 x -kiemelése 3 x (3 2 +7*3 1 )=270 3 x (9+21)=270 l :osztás 30-al 3 x =270/30 =9=3 2 x=2

99 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: b1. folytatás: Próba: 3 x+2 +7*3 x+1 = *3 2+1 = *3 3 = *27= =270

100 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Például: b2./ 3 x+2 +7*3 x+1 =280 l :a kitevőket felbontjuk: 3 x *3 2 +7*3 x *3 1 =280 l :3 x -kiemelése 3 x (3 2 +7*3 1 )=280 3 x (9+21)=280 l :osztás 30-al 3 x =280/30 l: logaritmálás x*lg3=lg(280/30)=lg280-lg30 x*0,4771=2, =0,9700 x=0,9700/0,4771=2,0331 x=2,0331

101 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Exponenciális egyenletek megoldása: Próba: b2./ 3 x+2 +7*3 x+1 = , *3 2, = , *3 3,0331 =280 83,9997+7*27,9999=280 83, ,9993= ,999=280 A kerekítésektől eltekintve az egyenlőség fennáll

102 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Koordinátarendszerek Descartes- féle térbeli jobb sodrású derékszögű koordináta rendszer: három, egy ponton átmenő, egymásra merőleges, irányított egyenes (az x, az y, a z koordináta tengely három egymásra merő- leges koordináta síkot határoz meg. A tér egy tetszőleges P pontját az x, y, z koordi- náták a koordináta síkoktól mért, előjeles távolságok, egyértelműen meghatározzák.

103 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer:

104 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: Ábrázolják a koordináta rendszerben a következő pontokat: Ábrázolják a koordináta rendszerben a következő pontokat: A(1; 2; 2); A(1; 2; 2); B(-3; 1; -2); B(-3; 1; -2); C(3/2;-1; 9/2); C(3/2;-1; 9/2); D(3; 1; -3); D(3; 1; -3); E(-2; -1; 2). E(-2; -1; 2).

105 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer:

106 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Koordináta rendszerek - Descartes- féle derékszögű koordináta rendszer Koordináta rendszerek - Descartes- féle derékszögű koordináta rendszer Descartes szimuláció

107 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: Két pont távolsága: Ha P 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) és P 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ) A két pont távolsága: d Két pont távolsága: Ha P 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) és P 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ) A két pont távolsága: d

108 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Két pont távolsága: Számítsuk ki két pont távolságát ha P 1 (-2;3;5) és P 2 (-3;4;0) A két pont távolsága: d Két pont távolsága: Számítsuk ki két pont távolságát ha P 1 (-2;3;5) és P 2 (-3;4;0) A két pont távolsága: d

109 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái: ha P 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) és P 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ), az osztási arány k=(P 1 P)/(P P 2 ) Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái: ha P 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) és P 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ), az osztási arány k=(P 1 P)/(P P 2 )

110 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái: ha P 1 (5;2;-1) és P 2 (-3;4;2), az osztási arány k=(P 1 P)/(P P 2 )=1/2=0,5 Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái: ha P 1 (5;2;-1) és P 2 (-3;4;2), az osztási arány k=(P 1 P)/(P P 2 )=1/2=0,5

111 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes egyenletei: 1. Origón és P(X,Y) ponton átmenő egyenes egyenlete Ha az egyenes átmegy az origón, iránytényezője, vagy meredeksége: tgα=m=y/x, amelyből az y-t kifejezve Az egyenes egyenlete: y=mx

112 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes egyenletei: 2.Ha az egyenes átmegy a P 1 (x 1 ;y 1 ) ponton és m ismert, akkor az egyenes egyenlete: y=m(x-x 1 )+y 1 3, Az egyenes átmegy a P 1 (x 1 ;y 1 ) és P 2 (x 2 ;y 2 ) pontokon, akkor az egyenes egyenlete az y=(y 2- y 1 )/(x 2- x 1 ) (x-x 1 )+y 1 y=(y 2- y 1 )/(x 2- x 1 ) (x-x 1 )+y 1 vagyis m=(y 2- y 1 )/(x 2- x 1 )= (y 1- y 2 )/(x 1- x 2 ).

113 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes példák: 1. Határozzuk meg az egyenes egyenletét, ha az y tengelyt a B pontban metszi és átmegy P ponton. B(0;3),[B(0;b)] és P (-3;4), [P(x;y)] tgα=m=(y-b)/x, m=(4-3)/(-3)=-1/3 Az egyenes egyenlete: y=(-1/3)x+3

114 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes példák: 2. Az egyenes átmegy a P 1 (5;-3) ponton és az m ismert, α =35 o, akkor az egyenes egyenlete az m=tg35 o =0,7002 y-(-3)=0,7002(x-(+5)) egyenletből számolható. y+3=0,7002x-3,5 y=0,7002x-6,5 y-(-3)=0,7002(x-(+5)) egyenletből számolható. y+3=0,7002x-3,5 y=0,7002x-6,5

115 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes példák: 3. Az egyenes átmegy a P 1 (-5;-1) és a P 2 (6;-2) ponton, akkor az egyenes egyenlete az y-(-1)=[(-2-(-1))/(6-(-5))](x-(-5)) egyenletből számolható y+1=[(-2+1)/(6+5)](x+5) y+1=[(-1)/(11)](x+5)=(-1/11)x -5/11 y=(-1/11)x -16/11

116 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Polárkoordináta rendszer Pont koordinátái két dimenzióban: R: távolság az origótól α: szögtávolság a polártengelytől Polárkoordináta demóPolárkoordináta demó (pearl)

117 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Koordináta-transzformáció Descartes - polár között:

118 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Vektorok A vektorok jellemzői: A vektor jele: A vagy A vektor összetevői, komponensei: A x, A y, A z A vektor megadása: A=(A x, A y, A z ), vagy A=iA x +jA y +kA z A vektor abszolút értéke:

119 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok jellemzői: Vektorösszetevők demóVektorösszetevők demó (pearl)

120 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok összeadása: A vektorok kivonása: A vektorok összeadása: A vektorok kivonása:

121 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok összeadása: A vektorok összeadása:

122 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok kivonása: A vektorok kivonása:

123 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Vektorok összeadása: Vektorok összeadása: Vektorösszeadás demóVektorösszeadás demó (pearl) Vektorösszeadás demóVektorösszeadás demó (html)

124 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok skaláris szorzása: A vektorok skaláris szorzása:

125 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok skaláris szorzása: A vektorok skaláris szorzása:

126 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: A vektorok vektoriális szorzása:

127 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: A vektorok vektoriális szorzása:

128 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: A vektorok vektoriális szorzása:

129 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: A vektorok vektoriális szorzása:

130 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: A vektorok vektoriális szorzása:

131 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: A vektorok vektoriális szorzása: Vektoriális szorzás demóVektoriális szorzás demó (pearl)

132 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Geometria Síkidomok, testek Téglalap kerülete:k=2(a+b) kerülete:k=2(a+b) területe:A=ab területe:A=abTéglatest felszíne:A=2(ab+ac+bc) felszíne:A=2(ab+ac+bc) térfogata:V=abc térfogata:V=abc

133 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Geometria Síkidomok, testek Háromszög kerülete:k=a+b+c kerülete:k=a+b+c területe: területe:

134 Geometria Síkidomok, testek Derékszögű háromszög a,b: befogó; c: átfogó Pitagorasz-tétel: Általánosítás tetszőleges háromszögre: Koszinusz-tétel:Szinusz-tétel: A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI

135 Geometria Síkidomok, testek Kör kerülete:k=2R  kerülete:k=2R  területe:A=R 2  területe:A=R 2 Gömb felszíne:A=4R 2  felszíne:A=4R 2  térfogata:V=4R 3  térfogata:V=4R 3 

136 A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Geometria Síkidomok, testek Henger felszíne:A=h2R  R 2  felszíne:A=h2R  R 2  térfogata:V=hR 2  térfogata:V=hR 2 Kúp térfogata:V=hR 2  térfogata:V=hR 2 


Letölteni ppt "A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI 1. Matematika v2.2 kiegészített verzió ÓE-KVK-MTI2009-2010."

Hasonló előadás


Google Hirdetések