Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

120 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "120 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip."— Előadás másolata:

1 120 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3Kapcsolatok 3.1.4Virtuális elmozdulások 3.1.5Kinematika 3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel Drallsatz 3.3Kapcsolódások figyelembevétele 3.4A d‘Alembert elv 3.5Mozgásegyenletek 3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2Lineáris mozgásegyenletek 3.6Állapotegyenletek 3.7Másodfokú Lagrange egyenletek 3Mechanikai rendszerek dinamikája

2 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás Tömeg: A tömeg függ az építőelemek sűrűségétől és a geometriai méreteitől. A klasszikus mechanika axiómái szerint áll: A tömeg mindig pozitív: m > 0. Egy test tömege időben változatlan: m = 0. A tömegek feloszthatók és összegezhetők: m = m 1 + m 2.. Rugalmas elemek: Megfelelő konstrukciós kialakítással elérhető, hogy az építőegység rugalmassága tömegéhez viszonyítva nagyon nagy. Ekkor rugóelemekről beszélünk (pl. laprugók, csavarrugók, tekercsrugók). Csillapító és súrlódó elemek: A csillapítási és súrlódási jelenségek okai lehetnek: Az alkatrészek anyagcsillapítása, Az egymáshoz képest relatív elmozdulást végző elemek súrlódása, Konstrukciósan létrehozott csillapítóelemek, Elemek, amelyek folyadékokban mozognak.

3 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás Külső erők: Külső erők keletkezhetnek : Erőtér hatásából (Gravitáció, Mágneses,...), Hajtó elemekből (Állító motorok, robbanó motorok,...), Adott mozgásokból (durch Lagerung). Modellképzés: Egy mechanikai rendszer tulajdonságai egy- lehetőleg egyszerű- idealizált modellen keresztül írhatók le. Ekkor külünbségek adódnak a megoszló és koncentrált paraméterű modellek között mit verteilten Parametern. Megoszló paraméterű modellek: Kontinuumsmechanika (Kulcsszavak: Rugalmas test, Tartók, megoszló erők,...) Koncentrált paraméterű modellek: Merev testek mechanikája (Kulcsszavak: tömegnélküli rugó, tömegnélküli csillapítás, Koncentrált erők,...)

4 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás Mehrkörpersysteme (MKS): Egy többtest rendszer tömeggel bíró merev testekből áll, amelyek egymással kapcsolóelemeken keresztül, mint rugók, csillapítások, támaszok, vezetékek egyesítettek. A kapcsolóelemeken keresztül hatnak az egyes testekre diszkrét pontokban koncentrált erők és nyomatékok. Emellett térbeli és megoszló erők hatnak a testre.

5 Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3Kapcsolatok 3.1.4Virtuális elmozdulások 3.1.5Kinematika 3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel Drallsatz 3.3Kapcsolódások figyelembevétele 3.4A d‘Alembert elv 3.5Mozgásegyenletek 3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2Lineáris mozgásegyenletek 3.6Állapotegyenletek 3.7Másodfokú Lagrange egyenletek 3Mechanikai rendszerek dinamikája

6 Erők, Rendszerlehatárolás, Schnittprinzip Erő alatt azokat a rendszerelemek közötti kölcsönhatásokat értjük, amelyek gyorsulásokat hoznak létre. Azokat az erőket, amelyek kívülről a rendszerre hatnak, külső erőknek neveznek. Azokat az erőket, amelyek belül keletkeznek és hatnak belső erőknek nevezik. Hogy mit eveznek külső és belső erőknek a mindenkori rendszer lehatárolástól függ. Az 1 rendszerre (terhelés) csak külső erők hatnak meg és F21. A 2 rendszerre (felépítmény és kerekek) az mg, az F12, F3, F42 és F4 külső erők,és az F32, F23, F42 és F24 belső erők hatnak. Míg a szembe mutató … erőknek Schnittkräfte egyenlőnek kell lenni, a belső erők ellentétesek (F32 - F23 = 0 és F42 - F24 = 0) és ezért kifelé nem jelennek meg.. H az 1 és 2 rendszer egy közös rendszernek tekintenénk, akkor Az F12 és F21 belső erőkké válnának

7 Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3Kapcsolatok 3.1.4Virtuális elmozdulások 3.1.5Kinematika 3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel Drallsatz 3.3Kapcsolódások figyelembevétele 3.4A d‘Alembert elv 3.5Mozgásegyenletek 3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2Lineáris mozgásegyenletek 3.6Állapotegyenletek 3.7Másodfokú Lagrange egyenletek 3 Mechanikai rendszerek dinamikája

8 Kapcsolatok Gewöhnlich liegen aber Bindungen vor.gebundenes mechanisches System A következő kapcsolatok különböztethetők meg: Egyre több tulajdonság egyidejűleg jelenik meg. Példa:Egy vágóél mozgása a merev alaplapra megfelel egy kinematikai, kétoldalú, skleronomen, nichtholonomen kapcsolatnak. geometriai kapcsolatok kinematikai kapcsolatok kétoldalú kapcsolatok egyoldalú kapcsolatok skleronom kapcsolatok rheonom kapcsolatok holonome kapcsolatok nichtholonome kapcsolatok A helyvektor r i és a sebességvektor v i tetszőlegesszabad mechanikai rendszer

9 Kapcsolatok A geometriai kapcsolatok korlátozzák a rendszer helyzetét az alakzat formáján keresztül: kétoldalú egyoldalú Egy kapcsolat rheonom, ha a kapcsolati egyenletekben az idő explicit lép fel; más esetekben azokat skleronomnak nevezik. Φ(x 1,…,z n ) = 0 Φ(x 1,…,z n ) ≤ 0 Φ(x 1,…,z n ) ≥ 0 x² + y² -l² = 0rúdinga x² + y² -l² ≤ 0fonalinga x² + y² -l² ≥ 0Tömegpont kör- keresztmetszetű felületen Φ(x 1,…,z n ) = 0 skleronom, geometriai kapcsolat Φ(t,x 1,…,z n ) = 0 rheonome, geometriai kapcsolat

10 Kapcsolatok l R mg R v R A kényszer feltételek kényszer- és reakcióerőkhöz vezetnek, amelyek a kényszerfeltételek fennállása nélkül nem lépnének fel. A képen látható példákat általánosítjuk, akkor arra következtethetünk, hogy a reakcióerők állandóan merőlegesek a kényszerfeltételek szerinti felületekre. Ez a d'Alembert elv kiindulópontja. v v v és R egymásra merőlegesek Azaz az R irányában nincs mechanikai munkavégzés

11 Kapcsolatok A Kinematikai kapcsolatok korlátozzák a rendszer sebességét: skleronom, kinematikai kapcsolat rheonom, kinematikai kapcsolat Ha az a i, b i, c i, d a t időtől függenekrheonom kapcsolat. Integrálható kinematikai kapcsolatok Geometriai kapcsolatok A gyakorlatban a kinematikai kapcsolatok lineárisak a sebességeknél

12 Kapcsolatok holonom kapcsolatok geometriai kapcsolatok + integrálható kinematikai kapcsolatok nichtholonom kapcsolatok nem integrálható kinematikai kapcsolatok Hertz (1894): Azok a rendszerek, amelyeknek valamennyi kapcsolata holonom, mint holonom rendszerek jellemezhetők. Ha a rendszerben legalább egy nem holonom kapcsolat van, akkor a rendszer nem holonom, és nem holonom rendszerről beszélünk.

13 Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3Kapcsolatok 3.1.4Virtuális elmozdulások 3.1.5Kinematika 3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3Kapcsolódások figyelembevétele 3.4A d‘Alembert elv 3.5Mozgásegyenletek 3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2Lineáris mozgásegyenletek 3.6Állapotegyenletek 3.7Másodfokú Lagrange egyenletek 3Mechanikai rendszerek dinamikája

14 Virtuális elmozdulások Egy mechanikai rendszer virtuális elmozdulása alatt ennek a rendszernek a helyzetében bekövetkezett változást értjük, azaz a test egy önkényes (gondolati) elmozdulását, mint eredményt, ami ennek ellenére a kapcsolatokkal összeegyeztethető. A virtuális elmozdulás által a helyzet nagyságában?? okozott változást a d szimbólummal jelölt. Példa:Gömbinga (térbeli matematikai inga) A gömbinga mozgásának leírása Descartesi koordinátarendszerben r = [x y z] T Az inga tömege csak a gömbfelületen kann sich nur auf einer Kugeloberfläche bewegen. Kapcsolati egyenlet: Φ(r) = x² + y² + z² - l² = 0 Virtuális elmozdulásδr = [δx δy δz] T csak a gömbfelületen belül lehet:

15 Virtuális elmozdulások Példa:Gömbinga (térbeli matematikai inga) A tömeg helyzete két másik, megfelelően megválasztott koordinátával leírható, Pl. a Ψ und szögekkel. (Egy kiegészítő kapcsolati-egyenlet természetesen nem lép fel.) Kevesebb mint két koordináta nem lenne elegendő az egyértelmű helyzetleíráshoz. Ezért a Ψ und minimal koordináták, vagy általánosított, illetve generált koordináták.

16 Virtuális elmozdulások Egy virtuális elmozdulásnál a t időt rögzítettnek gondoljuk, szemben egy valóságos elmozdulással, amely egy véges dt időintervallumban fut le. Tehát a rendszer nyomatékfelvételének tekinti. Ez tehát, egy tömegpont figyelembevételével, egy mozgó ferde síkon szemléltethető. Lejtő, kényszermoz gás v 1 (t)

17 Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3Kapcsolatok 3.1.4Virtuális elmozdulások 3.1.5Kinematika 3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3Kapcsolódások figyelembevétele 3.4A d‘Alembert elv 3.5Mozgásegyenletek 3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2Lineáris mozgásegyenletek 3.6Állapotegyenletek 3.7Másodfokú Lagrange egyenletek 3Mechanikai rendszerek dinamikája

18 Kinematika Koordinátarendszerek és koordináták: Koordinátarendszer alatt értünk három egymáshoz rendelt ortogonális (egymásra merőleges) egységvektort e x, e y, e z, amelyek az R 3 szemléltető térben a bázisát képezik minden abban ábrázolandó vektornak. Az O az euklideszi tér origója. Ezért az azzal meghatározott koordinátarendszert röviden az alábbiak szerint írjuk le: K = {0;e x,e y,e z } Egy K koordinátarendszer inerciarendszer, ha a bázisvektorok időben állandóak. A K-t testhezkötöttnek nevezik, ha egy testponttal (Pl. tömegközépponttal) mereven kapcsolódik és ha a testpont koordinátáit ezen koordinátarenszerben mindig ugyanazok a koordináták írják le.

19 Kinematika Ekkor feltétlenül figyelembe kell venni, hogy az a I és a K ugyanazt a vektort írják le. Az S transzformációs mátrix (forgatási mátrix) elemei a vizsgált esettől függően határozhatók meg. Ismeretes hogy egy merev test helyzete és iránya 6 koordinátával írható le, Pl. a tömegközéppont három x, y, z a transzlációs koordinátáival és a három  szöggel az inercia-rendszerhez viszonyítva. Elfordulás: A merev testtel szorosan összekapcsolt K koordinátarendszer elforgatása egy térbeli I koordinátarendszerhez (inerciarendszer) viszonyítva akkor egyértelműen definiált, ha mindkét vizsgált rendszerben egy tetszőleges vektor koordinátái közötti matematikai összefüggés ismert.

20 Kinematika Példa: Egy merev test elfordulása a z-tengely körül  szöggel. Forgatási mátrix: Az x és y tengelyek körüli megfelelő elfordulásokat az alábbi forgatómátrix írja le:

21 Kinematika A forgatási mátrix ortogonális mátrix:S -1 (α) = S T (α) = S(-α) Egy merev test minden egyes tetszőleges helyzete általában legalább három egymást követő forgatás által, azaz a három forgástengely és három forgásszög megadásával adható meg. Az egymást követő forgatások egyenkénti sorrendje alapján a forgatási szögek, mint kardánszögek (az x, y, z sorrend szerint, vagy fordított sorrend szerint), vagy mint Eulerszögek (z, x, y) jellemezhetők. A kapott eredő forgatómátrixot az egyes mátrixok szorzásával kapjuk, pl.:

22 Kinematika Az MKS-ben (többtest rendszerben) előforduló helyzetelemek által a testkoordináták összefüggései egymás között a q algebrai egyenlet írhatók le. Φ(z) = 0, i=1,…,q q < 6p-vel Egy koordinátarendszerben több testnek van K 1, K 2,..., K p szerinti helyzete és iránya az r i tömegközéppont mindenkor helyvektora szerint, az S i forgatási mátrixot három szög α i,β i,γ i (Pl. kardan- vagy Eulerszög) ír le, és amely koordináták egy helyzetvektorban foglalhatók össze. A többtest rendszer helyzete egyértelműen leírható az f = 6p - q független koordinátákkal: y = [y 1, …, y f ] T. Ezeket az y i koordinátákat a mechanikában mint általánosított, vagy generált koordinátáknak nevezik (de lehet minimálkoordináták, vagy helyzetnagyságok Lagergrößen). Az általánosított koordináták: függetlenek, a rendszer helyzetét egyértelműen leírják, a kapcsolatoknak megfelelő.

23 Kinematika Azért, hogy az állandósult állapotát az MKS-nek leírjuk még a sebességeket is figyelembe kell venni. Egy mechanikai szabadságfok alapvetően két állapot nagysághoz vezet. Ezzel az MKS számára adódik az állapotvektor: Az x(t) vektor minden egyes időpontban egyértelműen leírja a többtest rendszer helyzetét és sebességét. Az x által leírt teret ezért állapottérnek nevezzük (vesd össze a 2. fejezettel). Példa: Golyóinga:

24 Kinematika Transzláció: Egy merev test helyzetét a tömegközéppontjának helyvektora írja le: Massenmittelpunktes beschrieben: r i = r i (t,y) A sebességet és gyorsulást az idő szerinti fokozatos differenciálással kapjuk: amelynél a J T i a (3 x f) - funkcionális- vagy a transzlációs Jacobimatrix. Rheonom kapcsolatoknál ebből kiindulva még a helyi (3 x 1) – sebességvektor lép fel. A vektor a rendszer transzlációs gyorsulásának centrifugális, Coriolis- és centrifugális részét írja le.

25 Kinematika Forgás: Hasonlóan a tömegközéppont transzlációjához a merev test forgása is a kapcsolatok által korlátozott Ebben az esetben kapjuk: Ahol a J R i a (3 x f) – a forgás funkcionális- vagy Jacobimatrixa. A vektorban a a szöggyorsulás centrifugális-, Coriolis- és centrifugális része van összefoglalva. Rheonom kapcsolatoknál ebből kiindulva még a helyi (3 x 1) – sebességvektor lép fel.

26 Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3Kapcsolatok 3.1.4Virtuális elmozdulások 3.1.5Kinematika 3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3Kapcsolódások figyelembevétele 3.4A d‘Alembert elv 3.5Mozgásegyenletek 3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2Lineáris mozgásegyenletek 3.6Állapotegyenletek 3.7Másodfokú Lagrange egyenletek 3Mechanikai rendszerek dinamikája

27 Impulzus- und implzusnyomaték tétel Egy K i merev test Newton-i egyenletei (Impulzustétel): m i a i =f i Az inerciarendszerben az Euler-i egyenletek (Impulsusnyomaték tétel): θ i α i + ω i x (θ i ω i ) = l i Ha a merev test (3 x 3) – a tehetetlenségi tenzor és a külső nyomatékok l i vektora (3 x 1) – a C i tömegközéppontra vonatkozóan adódik.

28 Impulzus- und implzusnyomaték tétel Példa:Egy merev test Euler-i egyenletei, amelyre M nyomaték hat, felírhatók: ha a tehetetlenségi tenzor egy főkoordinátarendszert feltételez?? (Dinamikai Euler egyenletek)

29 Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3Kapcsolatok 3.1.4Virtuális elmozdulások 3.1.5Kinematika 3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3Kapcsolódások figyelembevétele 3.4A d‘Alembert elv 3.5Mozgásegyenletek 3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2Lineáris mozgásegyenletek 3.6Állapotegyenletek 3.7Másodfokú Lagrange egyenletek 3Mechanikai rendszerek dinamikája

30 Kapcsolódások figyelembevétele A külső erők és nyomatékok feloszthatók ható erőkre és nyomatékokra, valamint rekcióerőkre és -nyomatékokra : Newton-Euler-egyenletek: A kapcsolódási egyenletek (explizit) figyelembe vételével (3.2 fejezet) a Newton-Euler- egyenletek a következő formában adódnak: Erők egy erőtörvényből súlyerők, rugó- és csillapítóerők, magneses és elektromos erők, stb. Erők a kapcsolódásokból és kényszerfeltételekből támasztóerők, vezetékerők, adott mozgásegyenletek, stb. f i e = f i e + f i r l i = l i e + l i r m i a i = f i = f i e + f i r θ i α i + ω i x (θ i ω i ) = l i = l i e + l i r

31 Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3Kapcsolatok 3.1.4Virtuális elmozdulások 3.1.5Kinematika 3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3Kapcsolódások figyelembevétele 3.4A d‘Alembert elv 3.5Mozgásegyenletek 3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2Lineáris mozgásegyenletek 3.6Állapotegyenletek 3.7Másodfokú Lagrange egyenletek 3Mechanikai rendszerek dinamikája

32 Das d‘Alembertsche Prinzip A d‘Alembert elv szerint a rekcióerők virtuális munkája eltűnik. vagy és Mivel a δy tetszőlegesen megválasztható, következik hogy:

33 Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3Kapcsolatok 3.1.4Virtuális elmozdulások 3.1.5Kinematika 3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3Kapcsolódások figyelembevétele 3.4A d‘Alembert elv 3.5Mozgásegyenletek 3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2Lineáris mozgásegyenletek 3.6Állapotegyenletek 3.7Másodfokú Lagrange egyenletek 3 Mechanikai rendszerek dinamikája

34 Mozgásegyenletek Newton-Euler-egyenletek (vesd össze 3.3 fejezettel): Ebből az általános, nemlineáris mozgásegyenletek adódnak a (holonom) többtest rendszer számára: aholMszimmetrikus és pozitív (f x f) – tömegmátrix, k(f x 1) – a Coriolis-, Centrifugal- und Kreiselerők vektora valamint q(f x 1) – az általánosított erők vektora. A reakcióerők a szorzásnál kiesnek

35 Kettős inga mozgásegyenletei A kettős inga két m tömegű homogén rúdból áll, amelyek hossza 2l. A rudak az A és B pontokban csuklósan és súrlódásmentesen csapágyazott. A tömegközéppontok helykoordinátái: Általánosított koordináták: r1r1 r2r2

36 Kettős inga mozgásegyenletei Differenciálással adódnak a sebességek: További differenciálással adódnak a gyorsulások:

37 Kettős inga mozgásegyenletei Eingeprägte erők és nyomatékok: Jacobimátrix: Reakcióerők: Reakciónyomaték:

38 Kettős inga mozgásegyenletei Newton-Euler-egyenletek: Transzláció Test 1 Transzláció Test 2 Forgás Test 1 Forgás Test 2

39 Kettős inga mozgásegyenletei A Newton-Euler-egyenletek szorzásával a Jacobi mátrixok-kal és összegzéssel a rendszer nemlineáris mozgásegyenletei adódnak: A reakcióerők szorzásnál kiesnek és ezért már a Newton-Euler-egyenletek felállításánál elhagyhatók.

40 Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3Kapcsolatok 3.1.4Virtuális elmozdulások 3.1.5Kinematika 3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3Kapcsolódások figyelembevétele 3.4A d‘Alembert elv 3.5Mozgásegyenletek 3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2Lineáris mozgásegyenletek 3.6Állapotegyenletek 3.7Másodfokú Lagrange egyenletek 3Mechanikai rendszerek dinamikája

41 Lineáris mozgásegyenletek Egy mechanikai rendszer linearizálása értelemszerűen egyensúlyi helyzet körül, vagy általában előírt mozgás körül megy végbe. Ez a kényszermozgás vagy a rendszerben magában keletkezhet, vagy valamilyen szabály szerint pl. kívülről hat. Egy rendszer jellemző előírt mozgásait a nemlineáris mozgásegyenletének partikuláris megoldásai adják. Egy előírt mozgás környezetében a rendszert csak kis zavarómozgások η(t) | η(t) | << | y s (t) | érhetik: y(t) = y s (t) + η(t) Eine entsprechende Aufteilung muss man für die von außen eingeprägten Stellkräfte vornehmen:

42 Lineáris mozgásegyenletek Ha azokat az eredeti nemlineáris egyenletekbe helyettesítjük, kapjuk az ott keletkező értékeket.

43 Lineáris mozgásegyenletek A nemlineáris egyenletekbe való behelyettesítés után mindig egy az előírt mozgás egyenletét és az előírt mozgástól való eltérés egyenletét kapjuk. Előírt mozgás: Zavaró mozgás: Az η helyett ismét y –t írva:

44 Lineáris mozgásegyenletek A P és Q mátrixok, mint minden qudratikus mátrix egy szimmetrikus és egy ferdeszimmetrikus mátrix részből áll, összegként felírva: A mechanika klasszikus lineáris mozgásegyenletei: Az M szimmetrikus tömegmátrix meghatározza a mozgási energia változást és ezáltal a tömegerőket. A D csillapítási mátrix az R Rayleigh függvényen keresztül jellemzi a csillapítóerőket és a G pedig leírja a gyroszkopikus erőket, amelyek semmi hatással nincsenek az energiamérlegre. A Kmátrix a potenciális energiát határozza meg, és ezzel a helyzeti erők hatását, miközben az N a nemkonzervatív helyzeti erőket írja le. Ha D=N=0 a rendszer konzervativ, azaz a h külső erők hatása nélkül az összenergia T+U állandó.

45 Lineáris mozgásegyenletek Példa:Kettős inga lineáris mozgásegyenletei (vesd össze fejezettel) A fejezetben ismertetett kettős inga kis kilengéseinél áll: Ezt figyelembe véve a nemlineáris egyenletekben kapjuk a linearizált mozgásegyenleteket: vagy ismert formában: A tömeg és merevségi mátrix:

46 Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3Kapcsolatok 3.1.4Virtuális elmozdulások 3.1.5Kinematika 3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3Kapcsolódások figyelembevétele 3.4A d‘Alembert elv 3.5Mozgásegyenletek 3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2Lineáris mozgásegyenletek 3.6Állapotegyenletek 3.7Másodfokú Lagrange egyenletek 3Mechanikai rendszerek dinamikája

47 Állapotegyenletek Egy MKS dinamika további kezeléséhez célszerű a másodrendű mozgásegyenleteket állapotegyenletekké átalakítani. Helyettesítéssel: A nemlineáris állapotegyenletek figyelembevételével: Lineáris esetben a lineáris állapotegyenletek::

48 Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip 3.1.3Kapcsolatok 3.1.4Virtuális elmozdulások 3.1.5Kinematika 3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel 3.3Kapcsolódások figyelembevétele 3.4A d‘Alembert elv 3.5Mozgásegyenletek 3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei 3.5.2Lineáris mozgásegyenletek 3.6Állapotegyenletek 3.7Másodfokú Lagrange egyenletek 3Mechanikai rendszerek dinamikája

49 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art Eine wichtige Alternative zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen ist die Methode von Lagrange (1788). Dabei handelt es sich im Gegensatz zu der in Kapitel 3.5 beschriebenen synthetischen Methode (Freischneiden der Einzelkörper, anschließende Anwendung von Impuls- und Drallsatz und Elimination der Reaktionskräfte) um eine analytische Methode, die auf der Auswertung von Energieausdrücken für das Gesamtsystem basiert. nicht behandelt

50 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art Da die kinetische Energie unabhängig von den verwendeten Koordinatensystemen ist, spielt es keine Rolle, in welchen Koordinatensystemen die einzelnen Energieanteile berechnet werden. Klar ist hingegen, dass die Winkelgeschwindigkeit im gleichen System anzugeben ist wie der Trägheitstensor. Die kinetische Energie eines Mehrkörpersystems wird aus der Summe der kinetischen Energien der Einzelkörper gebildet. Als Bezugspunkt wählt man vorteilhaft die Massen- mittelpunkte der Einzelkörper: Kinetische Energie Für die kinetische Energie T i eines starren Körpers K i mit der Masse m i, dem Trägheits- tensor  i, der absoluten Schwerpunktsgeschwindigkeit v M i und der Winkelgeschwindig- keit  i gilt: nicht behandelt

51 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art Potentielle Energie Ist die von den eingeprägten Kräften geleistete Arbeit unabhängig vom dabei durch- laufenen Weg, so besitzen die Kräfte bekanntlich ein Potential und können aus diesem durch Differentiation bestimmt werden. Es gilt: wobei es sich bei der potentiellen Energie U = U(x,y,z) um eine skalare Ortsfunktion handelt. Die potentielle Energie eines Mehrkörpersystems ergibt sich als Summe der potentiellen Energien der Einzelkörper: nicht behandelt

52 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art Kräfte, die sich gemäß aus einem Potential ableiten lassen, sind energieerhaltend und heißen deswegen konservativ. Nichtkonservative Kräfte verändern die mechanische Gesamtenergie. Handelt es sich speziell um Kräfte, die Energie vernichten, so spricht man von dissipativen Kräften. Beispiele für konservative Kräfte sind Gewichts- und Federkräfte: f G = -mg und f F = -cs Die zugehörigen Potentiale lauten: Potentiale sind nur bis auf eine additive Konstante bestimmt, d.h. der Potentialnullpunkt kann beliebig festgelegt werden. Enthält ein Mehrkörpersystem nur konservative Kräfte, so wird auch das ganze System als konservativ bezeichnet und es gilt der Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie: T + U = T 0 + U 0 = const nicht behandelt

53 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art Die beschriebenen Energieausdrücke werden nun zur Herleitung der Bewegungsgleichungen verwendet. Dabei werden im Gegensatz zur synthetischen Methode die Einzelkörper nicht freigeschnitten, sondern das System wird als Ganzes betrachtet. Zunächst wird die kinetische Energie in Abhängigkeit von den verallgemeinerten Koordinaten und gegebenenfalls der Zeit dargestellt: Aus den eingeprägten Kräften und Momenten lassen sich die verallgemeinerten Kräfte bilden: Mit diesen Größen erhält man die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen zweiter Art zu: nicht behandelt

54 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art Anmerkungen: Man erhält also genau so viele Bewegungsgleichungen, wie das System Freiheitsgrade hat. Weiterhin ist es bei dieser Methode nicht erforderlich, die Reaktionskräfte einzuführen. Umgekehrt können diese so aber auch nicht berechnet werden. Zur Ermittlung der Bewegungsgleichungen sind partielle und totale Differentiationen der Funktion zu berechnen. Bei der totalen Differentiation von T nach der Zeit t ist die Kettenregel zu berücksichtigen. Bei konservativen Systemen lassen sich die verallgemeinerten Kräfte auch durch formale Differentiation der potentiellen Energie U nach den verallgemeinerten Koordinaten berechnen. Führt man nun noch die Lagrange-Funktion L=T - U ein, so erhält man die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen zweiter Art in der klassischen Form: nicht behandelt

55 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art Treten neben konservativen Kräften auch nichtkonservative Kräfte auf, so sind diese (und nur diese) weiterhin durch einen Ausdruck der Form auf der rechten Seite der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen zweiter Art zu berücksichtigen. nicht behandelt

56 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art Beispiel:Doppelpendel (vgl. Kapitel 3.5.1) Mit den Beziehungen für die Translations- und Winkelgeschwindigkeiten des Doppelpendels aus Kapitel erhält man für die kinetische Energie des Gesamtsystems: und für die potentielle Energie: U = -mgl(3cosα + cosβ) Lagrange-Funktion: L = T - U nicht behandelt

57 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art Für die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion erhält man: nicht behandelt

58 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art Setzt man diese Ausdrücke in die Lagrangeschen Gleichungen ein, so ergeben sich die gesuchten Bewegungsgleichungen : Man erhält also auch in diesem Fall die Bewegungsgleichungen in der Form mit nicht behandelt

59 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art Anmerkungen: Die Bewegungsgleichungen, die sich aus den Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art ergeben, sind bei gleicher Wahl der verallgemeinerten Koordinaten vollständig identisch mit den in Kapitel 3.5 durch das d'Alembertsche Prinzip aus den Newton- Euler-Gleichungen berechneten Gleichungen. Dies gilt auch im allgemeinen Fall. Die beiden Methoden unterscheiden sich also ausschließlich in der Vorgehensweise, nicht aber im Ergebnis. Im Gegensatz zum Newton-Euler-Formalismus gestatten die Lagrangeschen Gleichungen (in dieser Form) nicht die Berechnung von Reaktionskräften (Lagerkräften). Umgekehrt ist die Berücksichtigung dieser Kräfte bei der Aufstellung der Gleichungen nicht erforderlich, was in der Praxis einen nicht zu unterschätzenden Vorteil darstellen kann. nicht behandelt


Letölteni ppt "120 3 Mechanikai rendszerek dinamikája 3.1Alapfogalmak 3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip."

Hasonló előadás


Google Hirdetések