Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Készítette: Kiss Máté. Komplex számok a valós számokból alkotott (x,y) alakú rendezett számpárok. Általános alakja: x + iy Az i = 0 + 1i komplex szám.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Készítette: Kiss Máté. Komplex számok a valós számokból alkotott (x,y) alakú rendezett számpárok. Általános alakja: x + iy Az i = 0 + 1i komplex szám."— Előadás másolata:

1 Készítette: Kiss Máté

2 Komplex számok a valós számokból alkotott (x,y) alakú rendezett számpárok. Általános alakja: x + iy Az i = 0 + 1i komplex szám neve képzetes egység, amelyre i 2 = -1 (azaz i = √ -1) Szokás azt mondani, hogy az x a komplex szám valós része, y pedig a képzetes (imaginárius) része.

3 A z:= x + iy komplex számot a Descrates-féle koordinátarendszerben a P(x,y) ponthoz húzható helyvektorral ábrázoljuk. Ennek a vektornak a hossza a komplex szám abszolút értéke, amely r:= |z| = √x 2 + y 2 módon számítható. A φ szög a komplex szám arkusza, amely megállapodás szerint –Π< φ≤Π, vagy 0≤ φ<2 Π. A következő egyenletekből számítható: x = r cos φ,y = sin φ

4 A z = x + iy ún. algebrai alakban megadott komplex szám felírható trigonometrikus alakban vagy exponenciális alakban is, azaz z = x + iy = r(cosφ + i sinφ) = re iφ A ž = x – iy komplex szám a z konjugáltja.

5 z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = x1 + x2 + i (y1 + y2) z1 – z2 = (x1 + iy1) – (x2 + iy2) = x1 – x2 + i (y1 – y2)

6 z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 – y 1 y 2 + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 )

7 A szorzást tehát a többtagúak szorzási osztálya szerint kell elvégezni, csak figyelembe kell venni, hogy i 2 = -1. A szorzat trigonometrikus és exponenciális alakja: z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos( φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )] = r 1 r 2 e i(φ1 +φ2) ahol r 1, illetve r 2 a z 1, illetve z 2 abszolút értéke, φ 1, illetve φ 2 pedig a szöge.

8 Az osztást algebrai alakban célszerű az alábbi módon elvégezni: z1z1 = x 1 + iy 1 · x 1 - iy 1 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + i(x 2 y 1 – x 1 x 2 ) z2z2 x 2 + iy 2 x 2 - iy 2 x y 2 2

9 Trigonometrikus, illetve exponenciális alakban: z1z1 = r1r1 [cos(φ 1 – φ 2 ) + i sin(φ 1 – φ 2 )]= r1r1 e i(φ1 – φ2) z2z2 r2r2 r2r2

10 A komplex szám pozitív egész kitevőre való hatványozása algebrai alakban lehetséges a binomiális tétellel, trigonometrikus alakban pedig az úgynevezett Moivre- képlettel: z n = [r(cosφ + i sinφ)] n = r n (cos nφ + i sin nφ) = r n e inφ Fontos, hogy i 2 = -1, i 3 = -i, i 4 = 1, i 5 =i …

11 Komplex számnak n darab n-edik gyöke van. A gyökvonás: A komplex számok, akárcsak a valós számok, számtestet alkotnak. n √z = n √r(cos φ + 2kΠ + i sin φ + 2kΠ nn k = 0, 1, 2, …, n - 1

12


Letölteni ppt "Készítette: Kiss Máté. Komplex számok a valós számokból alkotott (x,y) alakú rendezett számpárok. Általános alakja: x + iy Az i = 0 + 1i komplex szám."

Hasonló előadás


Google Hirdetések