Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 Normális eloszlású, ismert szórású sokaság. Példa: A kávékivonatot automata tölti az üvegekbe. Előző adatfelvételekből ismeretes, hogy a gép által töltött.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 Normális eloszlású, ismert szórású sokaság. Példa: A kávékivonatot automata tölti az üvegekbe. Előző adatfelvételekből ismeretes, hogy a gép által töltött."— Előadás másolata:

1 1 Normális eloszlású, ismert szórású sokaság. Példa: A kávékivonatot automata tölti az üvegekbe. Előző adatfelvételekből ismeretes, hogy a gép által töltött tömeg normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető, 1 g szórással. A gép pontosságának ellenőrzésére vett 16 elemű mintában (FAE- minta) az üvegekben lévő kávé-granulátum tömege (gramm): 55, 54, 54, 56, 57, 56, 55, 57, 54, 56, 55, 54, 57, 54, 56, 50. Készítsen 95%-os megbízhatósággal intervallumbecslést az átlagos töltőtömegre a megadott feltételek alapján. 1. lépés mintaátlag: 3. lépésstandard hiba: 2. lépés:szórás:

2 2 5. lépés a hibahatár: 6. lépés a konfidencia intervallum: azaz {54,51; 55,49} 4. lépés Z értéke az I. Táblázatból 95%-nál: 1,96 Tehát 95%-os megbízhatósággal az átlagos töltőtömeg 54,51 és 55,49 gramm közé esik.

3 3 Példa: 1250 elemű sokaságból 125 elemű EV mintát veszünk az alma piaci árának megfigyelésére. egységár, FT/kg, (x i ) Előfordulás a mintában, (f i ) N = 1250 n = 125 Normális eloszlású, ismeretlen szórású sokaság, nagy minta. 1. lépésmintaátlag:

4 4 egységár, FT/kg, (x i ) Előfordulás a mintában, (f i ) szórás: 2. lépés

5 5 standard hiba: 3. lépés

6 6 4. lépés 6. lépés 5. lépés Z értéke az I. Táblázatból 95%-nál: 1,96 hibahatár: konfidencia intervallum: azaz {38,977; 41,023}

7 7 Példa: A félliteres zacskós tej töltési mennyiségének ellenőrzésére 10 elemű FAE mintát veszünk. A sokaság szórását nem ismerjük. Milyen intervallumba esik az átlagos töltősúly 95%-os valószínűség mellett? Töltősúl y Σ Normális eloszlású, ismeretlen szórás és kis minta. 2. lépés 1. lépés mintaátlag: szórás:

8 8 a konfidencia intervallum: „t” kikeresése, (fordítva kell keresni, mint a „z” esetében), a 0,95-höz tartozó értéket keressük a III. Táblázat megfelelő szabadságfokú sorában. szabadságfok v = n-1 = 9 t = 2,2622 standard hiba:3. lépés 4. lépés 6. lépés 5. lépéshibahatár: {490,47; 503,53}

9 9 A korai paradicsom ármegfigyelésére kiválasztottak 225 árusítóhelyet. A kiválasztott mintában a paradicsom átlagára 180 Ft/kg volt. A mintaátlagok eloszlásáról nincs információnk. A minta szórása 45 Ft/kg. Határozzuk meg a paradicsom piaci átlagárának konfidencia intervallumát 95%-os megbízhatósággal, a Csebisev-féle egyenlőtlenség felhasználásával! s = 45; n = 225; 1-α = 0,95; α = 0,05; Ismeretlen eloszlás, ismert szórás (kis minta). (Csebisev egyenlőtlenség) a standard hiba szorzószáma "k". a standard hiba: 4. lépés 3. lépés 1. lépésmintaátlag: 2. lépésszórás: s = 45

10 ± 13,416 azaz [166,6; 193,4] a hibahatár: 5. lépés 6. lépés a konfidencia intervallum:

11 11 Szimmetrikus eloszlás, ismert szórás. (GAUSS-féle egyenlőtlenség) Az előző példából csak a standard hiba szorzószáma változik: A konfidencia intervallum: 180 ± 8,944 = 188,9;171

12 12 Értékösszeg becslés. Az átlagra kapott becslést, illetve a konfidencia intervallum alsó és felső értékét megszorozzuk a sokaság elemszámával. Példa: A magyarországi kocsmai verekedések vizsgálatára véletlenszerűen, visszatevéses módszerrel, 100 kocsmát választottak ki az ország területén. Egy adott napon megfigyelt eredményeket a következő táblázat tartalmazza: A verekedők száma, x i Kocsmák száma, f i fixifixi Tegyük fel, hogy a sokasági szórás 1,7. Feladat: Összesen hány ember verekedett kocsmákban az adott napon 95%-os meg- bízhatósággal, ha Magyarországon kocsma található? 1. lépés mintaátlag:

13 13 képlet alapján a konfidencia intervallum az értékösszegre: x 3,37 = fő x 4,03 = fő a konfidencia intervallum az átlagra: azaz {3,37; 4,03} 2. lépésszórás: standard hiba:3. lépés 4. lépés 5. lépésa hibahatár: 6. lépés 7. lépés Z értéke az I. Táblázatból 95%-nál: 1,96

14 14 Példa: Egy 9000 lakosú városban közvélemény kutatást végeztek az inflációs várakozásokról. Az 1800 megkérdezett közül 630-an számítanak a tervezettnél nagyobb áremelkedésre. Határozza meg, hogy 95%-os valószínűséggel milyen határok közé esik a tervezettnél nagyobb áremelkedésre számítók aránya. N = 9000n = 1800a kedvező esetek száma= k = 630 Sokasági arány becslése. arány a mintában:1-p = 0,65 szórás a mintából: a standard hiba: 1. lépés (EV) 2. lépés 3. lépés

15 15 95%-os valószínűségnélz = 1,96; a konfidencia intervallum: p ± Δ = 0,35 ± 0,0196 [0,3304; 0,3696] 4. lépés 5. lépés 6. lépés a "z" meghatározása a táblázatból: a hibahatár megállapítása:

16 16 A minta nagyságának meghatározása. Példa: Mekkora nagyságú EV mintát kell venni egy elemszámú sokaságból a sokaság várható értékének becsléséhez, hogy 95%-os valószínűség mellett a hiba ne haladja meg az 1,08 hibahatárt, ha az alapsokaság szórása 6,16. N= 12500; σ= 6,16; Δ= 1,08; z= 1,96

17 17 Példa: Egy vállalat dolgozóinak kereseti adatai. rétegekTeljes sokaságmintaátlagbér, eFt a mintábanSzórás NjNj njnj σjσj Fizikai Adminisztratív Műszaki összesen Határozzuk meg 95%-os valószínűséggel a sokaság átlagbérének konfidencia intervallumát. a mintából számított átlag: Ha "j" számú réteg van, akkor Nj = a j-edik réteg elemszáma nj = a j-edik réteg elemszáma a mintában σj = a j-edik réteg szórása Becslés rétegzett mintából. 1. lépés

18 18 a standard hiba: 2. lépés 3. lépés a konfidencia intervallum: 4. lépés 5. lépés 95%-os valószínűségnélz = 1,96 a "z" meghatározása a táblázatból: a hibahatár: [63,44; 66,16]

19 19 Hipotézisvizsgálat. A sokaságból vett minta alapján azt vizsgáljuk, hogy helyes-e a sokaságra vonatkozó feltételezésünk. - A tesztelni kívánt feltételezés: a null-hipotézis. - A szemben álló hipotézis: az alternatív hipotézis. A null-hipotézisünk helyességének megállapításához próbafüggvényt használunk. A próbafüggvénynek a mintából számított értéke alapján hozzuk meg a döntésünket.

20 20 A függvény értékkészletét kettéválasztjuk: –A nullhipotézis helyessége esetén a próbafüggvény értéke adott valószínűséggel az elfogadási tartományba esik. –A nullhipotézis helytelensége esetén a próbafüggvény értéke a visszautasítási tartományba esik. Döntésünket adott valószínűség mellett hozzuk. Ez a megbízhatósági szint (1-α, pl. 95%). Annak a valószínűsége, hogy helyes nullhipotézis esetén a próbafüggvény értéke a visszautasítási tartományba esik, az a szignifikancia szint (α, pl. 5%). Elsőfajú hiba: elvetjük a null-hipotézist, noha megfelel a valóságnak. Másodfajú hiba: elfogadjuk a null-hipotézist, noha az nem felel meg a valóságnak.

21 21 Egymintás „Z” próba. (Ismert szórású normális eloszlás) Egy ellenőrző vizsgálatnál a 100 dkg-osnak feltüntetett csomagokból választottak egy 50 elemű FAE mintát. A minta átlag 98 dkg volt. Az alapsokaság szórása előzetes vizsgálatokból ismert 3 dkg. 95%-os megbízhatósági szinten vélelmezhetjük-e, hogy az alapsokaságban az átlagsúly 100 dkg? n = 50= 98  = 3 1. lépés A nullhipotézis felállítása: μ = 100 (kétoldalú próba) 2. lépés A próbafüggvény értékének a kiszámítása a mintából: (191. képlet)

22 22 3. lépés az elfogadási tartomány megállapítása. Ez kétoldalú próba, a 95%-os valószínűséghez az I. táblázatban z=1,96 érték tartozik, tehát az elfogadási tartomány (-1,96; +1,96). A kapott érték ezen kívül esik: - 4,71 < - 1,96, így elvetjük a null- hipotézist. Nem tekinthetjük 100 dkg-osnak a sokaságban az átlagsúlyt.

23 23 95%-os megbízhatósági szinten vélelmezhetjük-e, hogy az alapsokaságban az átlagsúly legalább 100 dkg? a nullhipotézis: (baloldali próba) a próbafüggvény értéke: Egyoldalú próba a II. táblázatban a 95%-os valószínűséghez z =1,64 érték tartozik. Az elfogadási tartomány A kapott érték ezen kívül esik, nem fogadjuk el a nullhipotézist. 1. lépés 2. lépés 3. lépés

24 24 A félliteres zacskós tej töltési mennyiségének ellenőrzésére 10 elemű FAE mintát veszünk. A sokaság szórását nem ismerjük. Az a hipotézisünk, hogy 95%-os valószínűséggel állítható, hogy az alapsokaságban az átlagos töltősúly 500 gramm. 1.) A null-hipotézis:  = 500 (kétoldalú próba) Egymintás „t” próba. (Ismeretlen szórású normális eloszlás, kis minta.)

25 25 Töltősúl y Σ ) Az átlag a mintából: 3.) A szórás a mintából: A próbafüggvény értéke (-1,038) az elfogadási tartományba esik, tehát elfogadjuk azt a null-hipotézisünket, hogy a félliteres zacskós tej átlagos töltősúlya 500 gramm. 4.) A próbafüggvény „t” próba esetén: 95%-os valószínűség és v = n-1 = 9 szabadságfok mellett kikeressük „t” értékét a III. táblázatból t = 2,2622, az elfogadási tartomány (-2,2622; 2,2622). 5.)

26 26 Egy biztosítótársaság feltevése szerint a vállalati igazgatók egynegyedének van életbiztosítása. A hipotézis ellenőrzésére kiválasztottak 1000 vállalatot. A mintában szereplő igazgatók közül 226-nak volt életbiztosítása. Állapítsuk meg 5%-os szignifikancia szinten a feltevés helyességét. 1. lépés A null-hipotézis:P 0 = 0,25 Az alternatív hipotézis:P 0  0,25, tehát két oldalú próba. Sokasági arányra irányuló próba.

27 27 n = 1000; k = 226; A próbafüggvény: A 95%-os megbízhatósági szinthez tartozó „z” érték 1,96. Az elfogadási tartomány: - 1,96, 1,96 között van. A próbafüggvény értéke az elfogadási tartományba esik, tehát elfogadjuk azt a hipotézist, hogy az igazgatók egynegyedének van életbiztosítása. 2. lépés 3. lépés 4. lépés

28 28 Az a feltételezésünk, hogy a téli alma átlagára a szegedi és a miskolci piacon megegyezik. Ennek ellenőrzésére a szegedi piacokon 100 elemű, a miskolci piacokon 144 elemű mintát vettünk. = 90 Ft Miskolcon σ2=12 Ft Szegeden Miskolcon= 85 Ft Igaz-e a feltételezésünk 5%-os szignifikancia szint mellett? Kétmintás „Z” próba. Az árak szórása: Szegeden σ1=15 Ft A mintabeli átlagárak:

29 29 Az 5%-os szignifikancia szinthez a Z= 1,96 tartozik, az elfogadási tartomány +1,96 és –1,96 „z” értékek között van. 2,78 > 1,96 tehát elutasítjuk a null-hipotézist, azaz szignifikáns eltérés van az alma átlagárában a két városban. A nullhipotézis: A próbafüggvény: 2. lépés 3. lépés 1. lépés

30 30 Függetlenségvizsgálat: χ ² próba. (Alkalmazási feltétele: a kombinációs tábla minden cellájában több, mint 10 elem.) A tanulók megoszlása lakóhely és tanintézet szerint. (f ij ) Szak- munkás Szak- iskolai Közép- iskolai EgyetemiÖsszesen Budapest Vidéki város Község Összesen Nullhipotézis: a tanulók lakóhely, és tanintézeti megoszlása független egymástól. Szignifikancia szint : 1% i=1 j=1 1. lépés

31 31 Szak- munkás Szak- iskolai Közép- iskolai EgyetemiÖsszesen Budapest 42,529,7158,5017,27128,00 Vidéki város 91,3620,87125,6737,10275,00 Községek 63,1214,4286,8325,63190,00 Összesen 197,0045,00271,0080,00593,00 Megoszlás függetlenség esetén. (f ij *) például

32 32 Munkatábla a χ² kiszámításához: f ij f ij *f ij -f ij *(f ij -f ij *)² BudapestSzakmunkás Szakiskola Középiskola Egyetem ,52 9,71 58,50 17,27 -14,52 2,29 7,50 4,73 210,83 5,24 56,25 22,37 4,96 0,54 0,96 1,30 Vidéki város Szakmunkás Szakiskola Középiskola Egyetem ,36 20,87 125,67 37,10 -6,36 -0,87 2,33 4,90 40,45 0,76 5,43 24,01 0,44 0,04 0,65 KözségSzakmunkás Szakiskola Középiskola Egyetem ,12 14,42 86,83 25,63 20,88 -1,42 -9,83 -9,63 435,97 2,02 96,63 92,74 6,91 0,14 1,11 3,62 20,71

33 33 a szabadságfok: v = (r-1) (c-1) = (3-1) (4-1) = 6 Jobboldali próba esetén az V. táblázatban az oszlopban, v = 6 sorban szereplő értéket keressük. Ez 16,812; 20,71 > 16,812, tehát elutasítjuk a null-hipotézist. (r = a sorok száma; c = az oszlopok száma) a próbafüggvény: 2. lépés 3. lépés 4. lépés

34 34 Több normális eloszlású és hasonló szórásnégyzetű részsokaság átlagának egyezőségét teszteljük. A null-hipotézis: a részsokaságok várható értéke (átlaga) azonos. μ 1 = μ 2 = μ 3 = ……….= μ M ahol a részsokaságok száma j= 1, 2,......M Minden részsokaságból mintát veszünk. Egy adott részminta elemszáma:n j A teljes minta elemszáma:Σn j = n Több mintás próbák. F-próba (variancia analízis).

35 35 Példa. Tizenöt napon keresztül megfigyelték négy dolgozó átlagos teljesítményét. A teljesítményeket az alábbi táblázat mutatja. Ellenőrizzük 95%-os megbízhatósággal azt a hipotézist, hogy nincs szignifikáns eltérés a négy dolgozó átlagos teljesítménye között. A részsokaságok: a négy dolgozó napi teljesítményei (M=4) A részsokaságokból vett minták (n j ): négy dolgozó napi teljesítményei 15 napon keresztül Az egyes minták elemszáma: j = 1,2,…..15 A teljes minta (n): Σ n j = n = 60

36 36 Dolgozó neve Mintaelemek száma (n j ) Mintaátlag ( ) Eltérés négyzetösszeg mintánként A1559,3117,6 B1557,9173,4 C1561,0228,2 D1560,286,4 Belső eltérés négyzetösszeg SSB = Külső eltérés négyzetösszeg SSK = 1.) 2.) 3.)

37 37 (202) képlet Ilyen szabadságfok mellett az F függvény VI. táblabeli értéke 95%- os megbízhatósági szinten F=2,79. Miután jobboldali próba az elfogadási tartomány (0; 2,79). A próbafüggvény tapasztalati értéke az elfogadási tartományba esik. Tehát nincs szignifikáns eltérés a négy dolgozó átlagos teljesítménye között. A próbafüggvény: Szabadságfok: v 1 = M – 1 = = 3 (a részsokaságok száma mínusz 1) v 2 = n – M = = 56 (a teljes minta elemszáma mínusz a részsokaságok száma) 4.) 5.) 6.)


Letölteni ppt "1 Normális eloszlású, ismert szórású sokaság. Példa: A kávékivonatot automata tölti az üvegekbe. Előző adatfelvételekből ismeretes, hogy a gép által töltött."

Hasonló előadás


Google Hirdetések