Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Gazdaságmatematika 1. szeminárium Rétallér Orsi. Tudnivalók a tantárgyról Szemináriumi diák: Számonkérés: ZH év végén Ponthatárok:

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Gazdaságmatematika 1. szeminárium Rétallér Orsi. Tudnivalók a tantárgyról Szemináriumi diák: Számonkérés: ZH év végén Ponthatárok:"— Előadás másolata:

1 Gazdaságmatematika 1. szeminárium Rétallér Orsi

2 Tudnivalók a tantárgyról Szemináriumi diák: Számonkérés: ZH év végén Ponthatárok: - 39 : : : : 4 85-: 5

3 Irodalom Temesi József, Varró Zoltán: Operációkutatás AULA Kiadó, 2007 Wayne L. Winston: Operációkutatás – módszerek és alkalmazások I.-II., AULA Kiadó, 2003

4 Mi a lineáris programozási feladat? 1. Maximalizáljuk (vagy minimalizáljuk) a döntési változók egy lineáris függvényét. A maximalizálandó vagy minimalizálandó függvényt célfüggvénynek nevezzük. 2. A döntési változók értékeinek ki kell elégíteniük a korlátozó feltételeket. Minden feltételnek vagy lineáris egyenletnek vagy lineáris egyenlőtlenségnek kell lennie.

5 Mi a lineáris programozási feladat? 3. Minden változóhoz tartozik egy előjelkorlátozás (vagy annak hiánya). Bármely x i változóra az előjelkorlátozás vagy azt írja elő, hogy x i csak nemnegatív lehet (x i ≥ 0), vagy azt írja elő, hogy x i előjelkorlátozatlan.

6 A lineáris programozási feladat feltevései Arányossági feltevés Additivitási feltevés Oszthatósági feltevés Bizonyossági feltevés

7 Feladat (Winston 3.1) Giapetto Fafaragó Cége kétfajta fából készült játékot gyárt: katonákat és vonatokat. Egy katonát 27$-ért lehet eladni, és előállításához 10$ értékű nyersanyag szükséges. Minden legyártott katona 14$-ral növeli Giapetto bérben jelentkező változó költségét és az általános költséget. Egy vonat 21$-ért adható el, előállításához 9$ értékű nyersanyag szükséges. Minden legyártott vonat 10$-ral növeli a változó- és általános költségeket.

8 Feladat (Winston 3.1) A fakatonák és favonatok gyártása kétféle szakképzett munkát igényel: fafaragó és felületkezelő munkát. Egy katona előállításához 2 óra felületkezelő munka és 1 óra fafaragó munka kell. Egy vonathoz 1 óra felületkezelő és 1 óra fafaragó munka kell. Giapettonak minden héten korlátlan mennyiségű nyersanyag áll rendelkezésére, de csak 100 felületkezelő munkaóra és 80 fafaragó munkaóra használható fel. A vonatok iránti kereslet korlátlan, katonákból azonban legfeljebb csak 40-et vesznek hetente.

9 Feladat (Winston 3.1) Giapetto maximalizálni szeretné a heti profitot (bevételek – költségek). Keressünk Giapetto helyzetének leírására egy olyan matematikai modellt, amely a heti profitot maximalizálja!

10 Mire kell minden lineáris programozási feladatnál figyelni? Döntési változók Célfüggvény Korlátozó feltételek Előjelkorlátozások

11 Mire kell minden lineáris programozási feladatnál figyelni? Döntési változók Célfüggvény Korlátozó feltételek Előjelkorlátozások

12 1. feladat (Winston 3.1) -1- Giapetto Fafaragó Cége kétfajta fából készült játékot gyárt: katonákat és vonatokat. Egy katonát 27$-ért lehet eladni, és előállításához 10$ értékű nyersanyag szükséges. Minden legyártott katona 14$-ral növeli Giapetto bérben jelentkező változó költségét és az általános költséget. Egy vonat 21$-ért adható el, előállításához 9$ értékű nyersanyag szükséges. Minden legyártott vonat 10$-ral növeli a változó- és általános költségeket.

13 Mire kell minden lineáris programozási feladatnál figyelni? Döntési változók Célfüggvény Korlátozó feltételek Előjelkorlátozások

14 1. feladat (Winston 3.1) -1- Giapetto Fafaragó Cége kétfajta fából készült játékot gyárt: katonákat és vonatokat. Egy katonát 27$-ért lehet eladni, és előállításához 10$ értékű nyersanyag szükséges. Minden legyártott katona 14$-ral növeli Giapetto bérben jelentkező változó költségét és az általános költséget. Egy vonat 21$-ért adható el, előállításához 9$ értékű nyersanyag szükséges. Minden legyártott vonat 10$-ral növeli a változó- és általános költségeket.

15 1. feladat (Winston 3.1) -3- Giapetto maximalizálni szeretné a heti profitot (bevételek – költségek). Keressünk Giapetto helyzetének leírására egy olyan matematikai modellt, amely a heti profitot maximalizálja!

16 Mire kell minden lineáris programozási feladatnál figyelni? Döntési változók Célfüggvény Korlátozó feltételek Előjelkorlátozások

17 1. feladat (Winston 3.1) -2- A fakatonák és favonatok gyártása kétféle szakképzett munkát igényel: fafaragó és felületkezelő munkát. Egy katona előállításához 2 óra felületkezelő munka és 1 óra fafaragó munka kell. Egy vonathoz 1 óra felületkezelő és 1 óra fafaragó munka kell. Giapettonak minden héten korlátlan mennyiségű nyersanyag áll rendelkezésére, de csak 100 felületkezelő munkaóra és 80 fafaragó munkaóra használható fel. A vonatok iránti kereslet korlátlan, katonákból azonban legfeljebb csak 40-et vesznek hetente.

18 Mire kell minden lineáris programozási feladatnál figyelni? Döntési változók Célfüggvény Korlátozó feltételek Előjelkorlátozások

19 A feladat felírása max z = 3x 1 + 2x 2 2x 1 + x 2 ≤ 100 x 1 + x 2 ≤ 80 x 1 ≤ 40 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0

20 Grafikus megoldás Lehetséges megoldások halmaza

21 Létezik-e mindig egyértelmű megoldás?

22 Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

23 Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

24 Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

25 Alternatív optimum max z = 4x 1 + x 2 8x 1 + 2x 2 ≤ 16 5x 1 + 2x 2 ≤ 12 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0

26 Alternatív optimum

27 Lehetséges alternatív optimumok Szakasz Félegyenes Egyenes

28 Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

29 Nem megoldható max z = x 1 + x 2 x 1 + x 2 ≤ 4 x 1 - x 2 ≥ 5 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0

30 Nem megoldható

31 Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

32 Nem korlátos max z = -x 1 + 3x 2 x 1 - x 2 ≤ 4 x 1 + 2x 2 ≥ 4 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0

33 Nem korlátos

34 Elemi bázistranszformáció Lineáris egyenletrendszerek megoldása Inverz keresése LP feladatok megoldása

35 Elemi bázistranszformáció Generáló elemet választunk (≠0) A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből. A generáló elem oszlopa eltűnik.

36 x1x1 x2x2 x3x3 e1e1 102 e2e2 311 e3e3 20

37 Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x1 102 e2e2 311 e3e3 20

38 Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x e2e2 311 e3e3 20

39 Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x e2e2 311 e3e3 20

40 Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x e2e e3e3 20

41 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x e2e e3e3 20 Elemi bázistranszformáció

42 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x e2e e3e3 20 Elemi bázistranszformáció

43 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x e2e e3e3 20 Elemi bázistranszformáció

44 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x e2e e3e3 202 Elemi bázistranszformáció

45 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x e2e e3e3 202 Elemi bázistranszformáció

46 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x e2e e3e Elemi bázistranszformáció

47 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x e2e e3e Elemi bázistranszformáció

48 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x e2e e3e Elemi bázistranszformáció

49 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x x2x e3e Elemi bázistranszformáció

50 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x x2x e3e Elemi bázistranszformáció

51 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x x2x e3e Elemi bázistranszformáció

52 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x x2x e3e Elemi bázistranszformáció

53 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x x2x e3e Elemi bázistranszformáció

54 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x x2x e3e Elemi bázistranszformáció

55 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x x2x e3e Elemi bázistranszformáció ≠0 ! Lineárisan független

56 A generálóelem oszlopa A generálóelem helyére annak reciproka kerül. A generálóelem oszlopát végigszorozzuk a generálóelem reciprokának -1-szeresével

57 Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 x3x3 e1e1 102 e2e2 311 e3e3 20 e1e1 x2x2 x3x3 x1x1 102 e2e e3e3 122

58 e1e1 x2x2 x3x3 x1x1 102 e2e e3e3 122 Elemi bázistranszformáció e1e1 e2e2 x3x3 x1x1 102 x2x e3e

59 e1e1 e2e2 x3x3 x1x1 102 x2x e3e Elemi bázistranszformáció e1e1 e2e2 e3e3 x1x1 -2/124/12-2/12 x2x2 -1/122/125/12 x3x3 7/12-2/121/12

60 Alapfogalmak a szimplex algoritmushoz Standard (normál) feladat ◦ Minden feltétel egyenlőség ◦ Minden változó nemnegatív Kiegészítő változó (hiány változó) ◦ u i – i. erőforrás fel nem használt mennyisége ◦ u i ≥ 0 Kiegyenlítő változó (többlet változó) ◦ v i – i. feltétel túlteljesítése ◦ v i ≥ 0

61 Alapfogalmak a szimplex algoritmushoz Bázismegoldás ◦ n-m változót 0-nak veszünk  Bázisváltozók: m db  Nembázis változók: (n-m) db Lehetséges bázismegoldás ◦ Bármely olyan bázismegoldás, amelyben minden változó nemnegatív Szomszédos bázismegoldás ◦ Szomszédosnak nevezünk két lehetséges bázismegoldást, ha a bázisváltozók halmazában m-1 közös

62 A szimplex algoritmus - általános Lehetséges bázismegoldás (LBM) keresése ◦ Induló lehetséges bázismegoldás Aktuális lehetséges bázismegoldás Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, keressünk olyan szomszédos LBM-et, ahol z értéke nagyobb (kisebb) Az előző lépés ismételgetése

63 Feladat – Winston 4.3 A Dakota Bútorkészítő Cég íróaszta- lokat, asztalokat és székeket gyárt. Mindegyik bútortípus gyártásához faanyag és kétféle szakmunka szükséges: durva asztalosmunka és felületkezelés. Az egyes bútortípusok előállításához a különböző erőforrásokból szükséges mennyiséget a következő táblázat adja meg:

64 Erőforrás Író- asztal AsztalSzék Faanyag (egység) 861 Felületkezelés (óra) 421,5 Asztalos-munka (óra) 21,50,5 Feladat – Winston 4.3

65 Jelenleg 48 egység faanyag, 20 órányi felületkezelés és 8 órányi asztalos-munka kapacitás áll rendelkezésre. Egy íróasztal 60, egy asztal 30, egy szék pedig 20$-ért adható el. A Dakota cég azt gondolja, hogy íróas-talokra és székekre korlátlan kereslet van, de legfeljebb 5 asztal adható el. Mivel az erőforrásokat már megvásá- rolták, a Dakota cég az összjövedelmet kívánja maximalizálni.

66 A feladat felírása 8x 1 + 6x 2 + 1x 3 ≤ 48 4x 1 + 2x 2 + 1,5x 3 ≤ 20 2x 1 + 1,5x 2 + 0,5x 3 ≤ 8 x 2 ≤ 5 x 1, x 2, x 3 ≥ 0 max z = 60x x x 3

67 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

68 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

69 Alapfogalmak a szimplex algoritmushoz Standard feladat ◦ Minden feltétel egyenlőség ◦ Minden változó nemnegatív Kiegészítő változó (hiány változó) ◦ u i – i. erőforrás fel nem használt mennyisége ◦ u i ≥ 0 Kiegyenlítő változó (többlet változó) ◦ v i – i. feltétel túlteljesítése ◦ v i ≥ 0

70 A feladat felírása 8x 1 + 6x 2 + 1x 3 ≤ 48 4x 1 + 2x 2 + 1,5x 3 ≤ 20 2x 1 + 1,5x 2 + 0,5x 3 ≤ 8 x 2 ≤ 5 x 1, x 2, x 3 ≥ 0 max z = 60x x x 3

71 8x 1 + 6x 2 + 1x 3 + u 1 = 48 4x 1 + 2x 2 + 1,5x 3 + u 2 = 20 2x 1 + 1,5x 2 + 0,5x 3 + u 3 = 8 x 2 + u 4 = 5 x 1, x 2, x 3 ≥ 0 z – 60x 1 – 30x 2 – 20x 3 = 0 A standard (normál) feladat felírása

72 A kiegészítő változók értékei u 1 = 48 – 8x 1 – 6x 2 – 1x 3 u 2 = 20 – 4x 1 – 2x 2 – 1,5x 3 u 3 = 8 – 2x 1 – 1,5x 2 – 0,5x 3 u 4 = 5 – x 2

73 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

74 8x 1 + 6x 2 + 1x 3 + u 1 = 48 4x 1 + 2x 2 + 1,5x 3 + u 2 = 20 2x 1 + 1,5x 2 + 0,5x 3 + u 3 = 8 x 2 + u 4 = 5 x 1, x 2, x 3 ≥ 0 z – 60x 1 – 30x 2 – 20x 3 = 0 A standard (normál) feladat felírása

75 LBM előállítása x1x1 x2x2 x3x3 u1u1 u2u2 u3u3 u4u , ,50, z Lehetséges bázismegoldás: x 1, x 2, x 3 = 0

76 LBM előállítása x1x1 x2x2 x3x3 u1u u2u2 421,520 u3u3 21,50,58 u4u z BV: u 1, u 2, u 3, u 4 NBV: x 1, x 2, x 3 x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 0 z = 0

77 A feladat felírása 8x 1 + 6x 2 + 1x 3 ≤ 48 4x 1 + 2x 2 + 1,5x 3 ≤ 20 2x 1 + 1,5x 2 + 0,5x 3 ≤ 8 x 2 ≤ 5 x 1, x 2, x 3 ≥ 0 max z = 60x x x 3

78 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

79 Optimalitás vizsgálata x 1 –t 1-gyel növelve a célfüggvény 60-nal nő! x1x1 x2x2 x3x3 u1u u2u2 421,520 u3u3 21,50,58 u4u z

80 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

81 A generáló elem meghatározása Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

82 A generáló elem meghatározása Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

83 Generáló elem meghatározása x1x1 x2x2 x3x3 u1u u2u2 421,520 u3u3 21,50,58 u4u z

84 Generáló elem meghatározása Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

85 48/8 = 6 20/4 = 5 8/2 = 4 Generálóelem meghatározása x1x1 x2x2 x3x3 u1u u2u2 421,520 u3u3 21,50,58 u4u z

86 Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

87 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 x3x3 u1u1 u2u2 x1x1 u4u4 z x1x1 x2x2 x3x3 u1u u2u2 421,520 u3u3 21,50,58 u4u z

88 Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

89 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 x3x3 u1u1 u2u2 x1x1 0,5 u4u4 z x1x1 x2x2 x3x3 u1u u2u2 421,520 u3u3 21,50,58 u4u z

90 Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

91 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 x3x3 u1u1 -4 u2u2 -2 x1x1 0,5 u4u4 0 z30 x1x1 x2x2 x3x3 u1u u2u2 421,520 u3u3 21,50,58 u4u z

92 Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

93 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 x3x3 u1u1 -4 u2u2 -2 x1x1 0,50,750,254 u4u4 0 z30 x1x1 x2x2 x3x3 u1u u2u2 421,520 u3u3 21,50,58 u4u z

94 Elemi bázistranszformáció Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

95 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 x3x3 u1u u2u2 -20,54 x1x1 0,750,254 u4u z x1x1 x2x2 x3x3 u1u u2u2 421,520 u3u3 21,50,58 u4u z

96 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 x3x3 u1u u2u2 -20,54 x1x1 0,750,254 u4u z

97 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 x3x3 u1u u2u2 -20,54 x1x1 0,750,254 u4u z BV: x 1, u 1, u 2, u 4 NBV: x 2, x 3, u 3 x 1 = 4 x 2 = 0 x 3 = 0 z = 240

98 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

99 Optimalitás vizsgálata u3u3 x2x2 x3x3 u1u u2u2 -20,54 x1x1 0,750,254 u4u z x 3 –t 1-gyel növelve a célfüggvény 5-tel nő!

100 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

101 Generálóelem meghatározása 16/-1 = -16 4/0,5 = 8 4/0,25 = 16 u3u3 x2x2 x3x3 u1u u2u2 -20,54 x1x1 0,750,254 u4u z

102 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 x3x3 u1u u2u2 -20,54 x1x1 0,750,254 u4u z u3u3 x2x2 u2u2 u1u1 x3x3 x1x1 u4u4 z

103 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 x3x3 u1u u2u2 -20,54 x1x1 0,750,254 u4u z u3u3 x2x2 u2u2 u1u1 x3x3 2 x1x1 u4u4 z

104 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 x3x3 u1u u2u2 -20,54 x1x1 0,750,254 u4u z u3u3 x2x2 u2u2 u1u1 2 x3x3 2 x1x1 -0,5 u4u4 0 z10

105 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 x3x3 u1u u2u2 -20,54 x1x1 0,750,254 u4u z u3u3 x2x2 u2u2 u1u1 2 x3x x1x1 -0,5 u4u4 0 z10

106 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 x3x3 u1u u2u2 -20,54 x1x1 0,750,254 u4u z u3u3 x2x2 u2u2 u1u x3x x1x1 1,51,25-0,52 u4u z

107 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 u2u2 u1u x3x x1x1 1,51,25-0,52 u4u z

108 Elemi bázistranszformáció u3u3 x2x2 u2u2 u1u x3x x1x1 1,51,25-0,52 u4u z x 1 = 2 x 2 = 0 x 3 = 8 z = 280 BV: x 1, x 3, u 1, u 4 NBV: x 2, u 2, u 3

109 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata ◦ Ha optimális: kész vagyunk ◦ Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

110 Optimalitás vizsgálata u3u3 x2x2 u2u2 u1u x3x x1x1 1,51,25-0,52 u4u z x 1 = 2 x 2 = 0 x 3 = 8 z = 280 Nincsen negatív elem a célfüggvény sorában: Optimumban vagyunk.

111 Megoldás u 1 = 24 u 2 = 0 u 3 = 0 u 4 = 5 x 1 = 2 x 2 = 0 x 3 = 8 z = 60∙2 + 30∙0 + 20∙8 = 280 z = 60x x x 3

112 Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

113 Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

114 Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

115 Alternatív optimum 5x 1 + 7x 2 ≤ 35 -x 1 + 2x 2 ≤ 2 x 1, x 2 ≥ 0 max z = -3x 1 + 6x 2

116 Alternatív optimum – A standard feladat felírása 5x 1 + 7x 2 + u 1 = 35 -x 1 + 2x 2 + u 2 = 2 x 1, x 2 ≥ 0 z + 3x 1 – 6x 2 = 0

117 Alternatív optimum – A szimplex tábla x1x1 x2x2 u1u u2u2 22 z3-60

118 Alternatív optimum – A szimplex tábla x1x1 x2x2 u1u u2u2 22 z3-60 BV: u 1, u 2 NBV: x 1, x 2 x 1 = 0 x 2 = 0 z = 0

119 Alternatív optimum – Generálóelem meghatározása 35/7 = 5 2/2 = 1 x1x1 x2x2 u1u u2u2 22 z3-60

120 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 u1u u2u2 22 z3-60 x1x1 u2u2 u1u1 x2x2 z

121 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 u1u u2u2 22 z3-60 x1x1 u2u2 u1u1 x2x2 0,5 z

122 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 u1u u2u2 22 z3-60 x1x1 u2u2 u1u1 -3,5 x2x2 0,5 z3

123 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 u1u u2u2 22 z3-60 x1x1 u2u2 u1u1 -3,5 x2x2 -0,50,51 z3

124 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 u1u u2u2 22 z3-60 x1x1 u2u2 u1u1 8,5-3,528 x2x2 -0,50,51 z036

125 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1x1 u2u2 u1u1 8,5-3,528 x2x2 -0,50,51 z036

126 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1x1 u2u2 u1u1 8,5-3,528 x2x2 -0,50,51 z036 BV: u 1, u 2 NBV: x 1, x 2 x 1 = 0 x 2 = 1 z = 6

127 Alternatív optimum – Optimalitás vizsgálata x1x1 u2u2 u1u1 8,5-3,528 x2x2 -0,50,51 z036 Honnan látszik hogy alternatív optimuma lehet?

128 A belépő változó meghatározása Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

129 Alternatív optimum – Optimalitás vizsgálata x1x1 u2u2 u1u1 8,5-3,528 x2x2 -0,50,51 z036 x 1 –t 1-gyel növelve a célfüggvény 0-val nő! x 1 = 0 x 2 = 1 z = 6

130 Alternatív optimum – Generálóelem meghatározása 28/(17/2)= 56/17 1/ (-1/2) = -2 x1x1 u2u2 u1u1 8,5-3,528 x2x2 -0,50,51 z036

131 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1x1 u2u2 u1u1 8,5-3,528 x2x2 -0,50,51 z036 u1u1 u2u2 x1x1 x2x2 z

132 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1x1 u2u2 u1u1 8,5-3,528 x2x2 -0,50,51 z036 u1u1 u2u2 x1x1 2/17 x2x2 z

133 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1x1 u2u2 u1u1 8,5-3,528 x2x2 -0,50,51 z036 u1u1 u2u2 x1x1 2/17 x2x2 1/17 z0

134 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1x1 u2u2 u1u1 8,5-3,528 x2x2 -0,50,51 z036 u1u1 u2u2 x1x1 2/17-7/1756/17 x2x2 1/17 z0

135 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció x1x1 u2u2 u1u1 8,5-3,528 x2x2 -0,50,51 z036 u1u1 u2u2 x1x1 2/17-7/1756/17 x2x2 1/175/1745/17 z036

136 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció u1u1 u2u2 x1x1 2/17-7/1756/17 x2x2 1/175/1745/17 z036

137 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció u1u1 u2u2 x1x1 2/17-7/1756/17 x2x2 1/175/1745/17 z036 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 z = 6 BV: x 1, x 2 NBV: u 1, u 2

138 Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

139 Lehetséges LP megoldások Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

140 Nem korlátos LP x 1 – x 2 ≤ 4 -x 1 + x 2 ≤ 1 x 1, x 2 ≥ 0 max z = 2x 2

141 Nem korlátos LP – A standard feladat felírása x 1 – x 2 + u 1 = 4 -x 1 + x 2 + u 2 = 1 x 1, x 2 ≥ 0 z – 2x 2 = 0

142 Nem korlátos LP – A szimplex tábla x1x1 x2x2 u1u1 14 u2u2 11 z0-20

143 Nem korlátos LP – A szimplex tábla x1x1 x2x2 u1u1 14 u2u2 11 z0-20 x 1 = 0 x 2 = 0 z = 0 BV: u 1, u 2 NBV: x 1, x 2

144 Nem korlátos LP – Generálóelem meghatározása 4/(-1)= -4 1/1 = 1 x1x1 x2x2 u1u1 14 u2u2 11 z0-20

145 Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 u1u1 14 u2u2 11 z0-20 x1x1 u2u2 u1u1 x2x2 z

146 Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 u1u1 14 u2u2 11 z0-20 x1x1 u2u2 u1u1 x2x2 1 z

147 Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 u1u1 14 u2u2 11 z0-20 x1x1 u2u2 u1u1 1 x2x2 1 z2

148 Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 u1u1 14 u2u2 11 z0-20 x1x1 u2u2 u1u1 1 x2x2 11 z2

149 Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 u1u1 14 u2u2 11 z0-20 x1x1 u2u2 u1u1 015 x2x2 11 z-222

150 Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció x1x1 u2u2 u1u1 015 x2x2 11 z-222 x 1 = 0 x 2 = 1 z = 2 BV: u 1, x 2 NBV: x 1, u 2

151 Nem korlátos LP – Optimalitás vizsgálata x1x1 u2u2 u1u1 015 x2x2 11 z-222 Honnan látszik hogy nem korlátos az LP?

152 Nem korlátos LP – Generálóelem választása 5/0 1/(-1) Nincs eredménye a hányadostesztnek! x1x1 u2u2 u1u1 015 x2x2 11 z-222

153 Minimum feladat felírása – 2 módszer 1. Minimum feladat átírása maximum feladattá: max (-z) - ekkor a táblát akkor tekintjük optimálisnak, ha a célfüggvény sora mindenütt negatív vagy 0 2. Minimum feladat célfüggvényének megszorzása -1-gyel - ekkor a táblát akkor tekintjük optimálisnak, ha a célfüggvény sora mindenütt pozitív vagy 0

154 Minimum feladat felírása – feladat x 1 + x 2 ≤ 4 x 1 – x 2 ≤ 6 x 1, x 2 ≥ 0 min z = 2x 1 – 3x 2

155 Minimum feladat felírása – 1. módszer x 1 + x 2 ≤ 4 x 1 – x 2 ≤ 6 x 1, x 2 ≥ 0 min z = 2x 1 – 3x 2 max – z = – 2x 1 + 3x 2 z – 2x 1 + 3x 2 = 0 (akkor optimális, ha a célfüggvény sora mindenütt nempozitív)

156 Minimum feladat felírása – 1. módszer 4/1 = 4 6/(-1) = -6 x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u2 16 z-230

157 x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u2 16 z-230 Minimum feladat felírása – 1. módszer x1x1 u1u1 x2x2 u2u2 z

158 x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u2 16 z-230 Minimum feladat felírása – 1. módszer x1x1 u1u1 x2x2 1 u2u2 z

159 x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u2 16 z-230 Minimum feladat felírása – 1. módszer x1x1 u1u1 x2x2 1 u2u2 1 z-3

160 x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u2 16 z-230 Minimum feladat felírása – 1. módszer x1x1 u1u1 x2x2 114 u2u2 1 z-3

161 x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u2 16 z-230 Minimum feladat felírása – 1. módszer x1x1 u1u1 x2x2 114 u2u z

162 Minimum feladat felírása – 1. módszer x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u z Nincsen pozitív elem a célfüggvény sorában: Optimumban vagyunk.

163 Minimum feladat felírása – 2. módszer x 1 + x 2 ≤ 4 x 1 – x 2 ≤ 6 x 1, x 2 ≥ 0 min z = 2x 1 – 3x 2 max z = – 2x 1 + 3x 2 z + 2x 1 – 3x 2 = 0 (akkor optimális, ha a célfüggvény sora mindenütt nemnegatív)

164 Minimum feladat felírása – 2. módszer 4/1 = 4 6/(-1) = -6 x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u2 16 z2-30

165 x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u2 16 z2-30 Minimum feladat felírása – 2. módszer x1x1 u1u1 x2x2 u2u2 z

166 x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u2 16 z2-30 Minimum feladat felírása – 2. módszer x1x1 u1u1 x2x2 1 u2u2 z

167 x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u2 16 z2-30 Minimum feladat felírása – 2. módszer x1x1 u1u1 x2x2 1 u2u2 1 z3

168 x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u2 16 z2-30 Minimum feladat felírása – 2. módszer x1x1 u1u1 x2x2 114 u2u2 1 z3

169 x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u2 16 z2-30 Minimum feladat felírása – 2. módszer x1x1 u1u1 x2x2 114 u2u z5312

170 Minimum feladat felírása – 2. módszer x1x1 x2x2 u1u1 114 u2u z5312 Nincsen negatív elem a célfüggvény sorában: Optimumban vagyunk.

171 Minimum feladat felírása – összefoglalva 1. Nem változtatunk a célfüggvény során, de a tábla akkor optimális, ha nincs benne pozitív elem 2. A célfüggvény sorát megszorozzuk (-1)- gyel, a tábla a szokásos esetben lesz optimális (ha nincs benne negatív elem)


Letölteni ppt "Gazdaságmatematika 1. szeminárium Rétallér Orsi. Tudnivalók a tantárgyról Szemináriumi diák: Számonkérés: ZH év végén Ponthatárok:"

Hasonló előadás


Google Hirdetések