Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

TÖBBCÉLÚ LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ÉS CÉLPROGRAMOZÁS 2014. 07. 11.Zoltán Varró1.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "TÖBBCÉLÚ LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ÉS CÉLPROGRAMOZÁS 2014. 07. 11.Zoltán Varró1."— Előadás másolata:

1 TÖBBCÉLÚ LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ÉS CÉLPROGRAMOZÁS Zoltán Varró1

2 Többcélú LP max z 1 = c 1 x... max z k = c k x Ax ≤ b x ≥ o A lehetséges megoldások halmaza: L =  x  Ax ≤ b, x ≥ o  A célvektorok halmaza: L C =  z  z = Cx, x  L  Zoltán Varró2

3 Többcélú LP Neve: TLP vagy vektormaximumfeladat Ha x  minden célfüggvénynek optimum-helye, akkor x  abszolút maximumhely. Mi a megoldás, ha a célfüggvények optimumhelyei különbözők? Zoltán Varró3

4 Efficiens megoldások Az x 1 lehetséges megoldás dominálja az x 2 lehetséges megoldást, ha x 1 minden célfüggvény esetében legalább olyan jó értéket ad mint x 2, és legalább egy célfüggvény esetében jobbat.  x 2 figyelmen kívül hagyható Zoltán Varró4

5 Efficiens megoldások x efficiens pont, ha az L halmazban nincs egy olyan másik x pont, amely minden célfüggvény szerint legalább olyan jó, mint x, és legalább egy célfüggvény szerint határozottan jobb. A TLP feladat megoldása az efficiens pontok megkereséséből áll Zoltán Varró5

6 Efficiens megoldások x  L efficiens pont, ha nincs olyan x  L pont, amelyre Cx ≤ Cx teljesül úgy, hogy legalább egy komponensnél a szigorú egyenlőtlenség áll fenn Zoltán Varró6

7 Efficiens megoldások Példa: max z 1 = 5x 1 – 2x 2 max z 2 = – x 1 + 4x 2 – x 1 + x 2 ≤ 3 x 1 + x 2 ≤ 8 x 1 ≤ 6 x 2 ≤ 4 x 1, x 2 ≥ Zoltán Varró7

8 Efficiens megoldások Zoltán Varró8 x 2 ≤ 4 x 1 + x 2 ≤ 8 x 1 ≤ 6 − x 1 + x 2 ≤ 3

9 Efficiens megoldások Zoltán Varró9 z 1 = 5x 1 − 2x 2 = 0 z 2 = − x 1 + 4x 2 = 0

10 Efficiens megoldások Zoltán Varró10 z 2 optimumhelye z 1 optimumhelye

11 Efficiens megoldások Zoltán Varró11 Belső pont nem lehet efficiens. x Dominancia halmaz: minden pont dominálja x-et.

12 Efficiens megoldások Zoltán Varró12 Lehetséges megoldások dominálják a szakasz pontjait.

13 Efficiens megoldások Zoltán Varró13 Lehetséges megoldások nem dominálják a szakasz pontjait.

14 Efficiens megoldások Zoltán Varró14 Lehetséges megoldások nem dominálják a szakasz pontjait.

15 Efficiens megoldások Zoltán Varró15 Lehetséges megoldások nem dominálják a szakasz pontjait.

16 Efficiens megoldások Zoltán Varró16 Az efficiens (Pareto optimális) pontok halmaza.

17 Efficiens megoldások Zoltán Varró17 Ha növeljük z 1 -et, akkor z 2 csökken. z2z2 Az optimális megoldás elmozdul. A lehetséges megoldások halmaza, ha z 1 = konstans.

18 Efficiens megoldások Zoltán Varró18  1, 4   4, 4   6, 4   6, 0  z 1 = – 3 z 2 = 15 z 1 = 12 z 2 = 12 z 1 = 26 z 2 = 2 z 1 = 30 z 2 = – 6

19 Átváltási görbe Zoltán Varró19 z2z2 z1z1  12, 12   26, 2   − 3, 15  Az efficiens pontok célfüggvényértékei

20 Efficiencia teszt Ha léteznek olyan p i ≥ 0 és  p i = 1 súlyok, hogy x optimális megoldása a max z = (pC)x Ax ≤ b x ≥ o feladatnak és vagy p i > 0 minden i-re, vagy x az egyetlen megoldás, akkor x efficiens pont Zoltán Varró20

21 Súlyozásos módszer Akkor alkalmazható, ha meg tudunk adni olyan p 1,..., p k > 0,  p i = 1 súlyokat, amelyek kifejezik a célok relatív fontosságát. A célfüggvényeket a súlyokkal szorozva, majd összeadva egy célfüggvényes LP feladathoz jutunk. Ha L korlátos, akkor az optimális megoldás efficiens pont Zoltán Varró21

22 Súlyozásos módszer Ki kell küszöbölni a célfüggvények dimenziójának különbözőségéből eredő torzító hatást. c i x helyett a c i x – m i M i – m i Zoltán Varró22 célfüggvényt súlyozzuk, ahol m i = min c i x és M i = max c i x az L-en.

23 Lexikografikus módszer Az y vektor lexikografikusan nagyobb az x-nél, ha x i = y i (1, 2,..., r – 1< n) és x r < y r. Az y vektor lexikografikusan nagyobb x-nél, ha a megfelelő komponensek közül először y vektoré a nagyobb. Egy x vektor lexikografikusan pozitív, ha első nullától különböző komponense pozitív Zoltán Varró23

24 Lexikografikus módszer A lex max z = Cx, Ax ≤ b, x ≥ o feladat x optimális megoldása az L halmaz efficiens pontja. Ha x nem lenne efficiens akkor Cx ≥ Cx (x  L) valamely komponensnél először „>” alakban teljesülne, ami lehetetlen, mert Cx lexikografikusan nagyobb Cx-nél Zoltán Varró24

25 Lexikografikus módszer Akkor alkalmazzuk, ha a magasabb prioritású cél egy egysége értékesebb a következő cél bármennyi egységénél. Mindegyik célfüggvény optimumhelyét a fontossági sorrendben őt megelőző célfüggvény optimális megoldásainak halmazán keressük Zoltán Varró25

26 Lexikografikus módszer 1.Állítsunk elő egy lehetséges bázis-megoldást. 2.Térjünk át új bázisra mindaddig, amíg a)a célmátrix oszlopvektorai között már nem található lexikografikusan negatív, vagy b) van olyan lexikografikusan pozitív vektor, amely alatt nincs pozitív szám Zoltán Varró26

27 Lexikografikus módszer Ha egy célfüggvénynek egyetlen optimumhelye van, akkor a nála kevésbé fontos célfüggvények nem jutnak szóhoz. Csak olyan oszlopban választhatunk pivot elemet, amelyben a fontosabb célfüggvények sorában nulla áll Zoltán Varró27

28 Lexikografikus módszer min z 1 = 80x x x 3 min z 2 = 3x 1 + 7x x 3 10x x x 3 ≥ 200 x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 20 0,5x 1 + x 2 + x 3 ≤ 25 x 1, x 2, x 3 ≥ Zoltán Varró28

29 Lexikografikus módszer x1x1 x2x2 x3x3 v1v1 z1z1 − 80− 48− 6000 z2z2 − 3− 7− 1100 u1u −1200 u2u u3u3 0, z102025− Zoltán Varró29

30 Lexikografikus módszer x1x1 x2x2 v1v1 z1z1 − 560− 2,4480 z2z2 1,41,8− 0,4488 x3x3 0,40,8−0,048 u2u2 0,2− 0,60,084 u3u3 0,10,20, Zoltán Varró30 z 1 optimális megoldásainak halmazán keressük z 2 minimumhelyét.

31 Lexikografikus módszer x1x1 x3x3 v1v1 z1z1 − 560− 2,4480 z2z2 0,54− 2,25− 0,3570 x2x2 10 u2u2 u3u Zoltán Varró31 Nem abszolút minimumhely, mert 0,54 > 0.

32 Lexikografikus módszer A célmátrixban nincs lexikografikusan pozitív oszlopvektor. Az x* = [0, 10, 0] megoldáshoz tartozik a lexikografikusan legkisebb célvektor. Az x* = [0, 10, 0] megoldás efficiens (Pareto optimális) pont Zoltán Varró32

33 Célprogramozási modellek Abszolút prioritási modell: ha a célok között határozott fontossági sorrendet tudunk megállapítani. (Lexikografikus módszer.) Súlyozott eltéréses modell: ha tudjuk, hogy a célok nem teljesítése mekkora költséget jelent. (Súlyozásos módszer.) Zoltán Varró33

34 Abszolút prioritási modell A Velo kft. városi és túrakerékpárokat szerel össze. A szerelési idő 2 és 3 óra. Felhasználható munkaidő 300 óra. Kerék készlet 300 darab. Eladási ár 40 és 65 ezer forint Zoltán Varró34

35 Abszolút prioritási modell A kft céljai fontossági sorrendben: – 7 millió forintos árbevétel elérése. – A városi kerékpárból 130 db összeszerelése. – A 300 óra munkaidő felhasználása. Állásidő és túlóra is lehetséges, de kerülendő Zoltán Varró35

36 Abszolút prioritási modell x 1 = városi kerékpárok száma, x 2 = túrakerékpárok száma, d 1 ¯ = elmaradás a tervezett bevételtől, d 1 + = a tervezett bevétel túllépése, d 2 ¯ = elmaradás a városi kerékpárok tervezett számától, d 3 ¯ = állásidő, d 3 + = túlóra Zoltán Varró36

37 Abszolút prioritási modell min z 1 = d 1 ¯ min z 2 = d 2 ¯ min z 3 = d 3 ¯ + d 3 + 2x 1 + 2x 2 ≤ x x 2 + d 1 ¯ – d 1 + = 7000 x 1 + d 2 ¯ = 130 2x 1 + 3x 2 + d 3 ¯ – d 3 + = 300 x 1, x 2, d 1 ¯,d 1 +, d 2 ¯, d 3 ¯, d 3 + ≥ Zoltán Varró37

38 Abszolút prioritási modell Zoltán Varró38 Az első cél elérhető. Adjuk a modellhez a d1m = 0 feltételt. Kíséreljük meg elérni a 2. célt.

39 Abszolút prioritási modell Zoltán Varró39 A 2. cél nem érhető el. Adjuk a modellhez a d2m = 20 feltételt. Kíséreljük meg elérni a 3. célt.

40 Abszolút prioritási modell Zoltán Varró40 A 3. cél nem érhető el. 40 órányi túlóra szükséges.

41 Súlyozott eltéréses modell Költségek (büntetések): Elmaradás a bevételtől: 1 Ft = 1 Ft. Elmaradás a városi kerékpárok termelési tervétől: 5000 Ft/kerékpár, Állásidő és túlóra 1500 Ft/óra Zoltán Varró41

42 Súlyozott eltéréses modell Zoltán Varró42

43 Súlyozott eltéréses modell Zoltán Varró43 Stabil a megoldás.

44 Modellezés eltérésváltozókkal d i – = az i-edik cél alulteljesítésének mértéke, d i + = az i-edik cél túlteljesítésének mértéke. Feltételezzük, hogy az i-edik cél a k-adik a célok fontossági sorrendjében. 1. A célnak sem alul- sem túlteljesítése nem kívánatos: Célfüggvény:min z k = d i – + d i + Célfeltétel:  a ij x j + d i – – d i + = b i Zoltán Varró44

45 Modellezés eltérésváltozókkal 2.a.A cél túlteljesítése nem kívánatos, de alulteljesíthető. Célfüggvény:min z k = d i + Célfeltétel:  a ij x j + d i – – d i + = b i 2.b.A cél alulteljesítése nem kívánatos, de túlteljesíthető: Célfüggvény:min z k = d i – Célfeltétel:  a ij x j + d i – – d i + = b i Zoltán Varró45

46 Modellezés eltérésváltozókkal 3.a.A cél túlteljesítése nem kívánatos, alulteljesítése nem megengedett. Célfüggvény:min z k = d i + Célfeltétel:  a ij x j – d i + = b i 3.b.A cél alulteljesítése nem kívánatos, túlteljesítése nem megengedett,. Célfüggvény:min z k = d i – Célfeltétel:  a ij x j + d i – = b i Zoltán Varró46


Letölteni ppt "TÖBBCÉLÚ LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ÉS CÉLPROGRAMOZÁS 2014. 07. 11.Zoltán Varró1."

Hasonló előadás


Google Hirdetések