Műveletek mátrixokkal

Az előadások a következő témára: "Műveletek mátrixokkal"— Előadás másolata:

1 Műveletek mátrixokkal

2 Mátrixok összeadása Csak az azonos típusú mátrixok adhatóak össze

3 Az összeadás tulajdonságai
Kommutatív: A+B=B+A Asszociatív: A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B Létezik nullelem, a nullmátrix, amelyre teljesül, hogy: A+0=A Minden A mátrixhoz található olyan (–A) szimbólummal jelölt mátrix, amelyre: A+(–A )=0

4 Mátrixok skalárral való szorzása

5 A skalárral való szorzás tulajdonságai:

6 Mátrixok lineáris kombinációja

7 Mátrixok szorzása Csak akkor értelmezhetjük két mátrix AB szorzatát, ha A mátrixnak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora van B mátrixnak. Ha két mátrix összeszorozható akkor konformábilisnak nevezzük őket.

8 Mátrixok szorzása

9

10 Mátrixok szorzásának tulajdonságai
Nem kommutatív Disztributív: A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC Asszociatív: (AB)C=A(BC) AB=0 nem jelenti azt, hogy A=0 vagy B=0

11 Mátrixok szorzása

12 Mátrixok hatványozása
An= A A…..A; ahol n є N Speciálisan: A2=AA Ha van olyan k є N, hogy Ak =0, akkor az A mátrixot nilpotens mátrixnak nevezzük, és k szám a nilpotencia foka.

13 Példa nilpotens mátrixra

14 Mátrixok inverze

15 Lemma: Ha az AX=E és YA=E mátrixegyenletek az A mátrixnak megfelelő típusú négyzetes mátrixok halmazán megoldható, akkor X=Y Bizonyítás: Felhasználjuk, hogy a márixok szorzása asszociatív: YAX=(YA)X=EX=X YAX=Y(AX)=YE=Y Tehát Y=X

16 Mátrix inverzének a definíciója:
Adott A (n x n)-es mátrix. Az A mátrix inverzének nevezzük azt az A-1 szimbólummal jelölt (n x n)-es mátrixot, amelyre teljesül az alábbi azonosság: AA-1 =A-1A=E , feltéve, hogy ilyen mátrix létezik. Megjegyzés: A lemma biztosítja az egyértelműséget.

17 Van olyan mátrix, amelynek nincs inverze

18 Példa inverz mátrixra

19 Inverz mátrix Egy mátrix szinguláris, ha nincs inverze.
Egy mátrix reguláris, ha van inverze.

20 Mátrix inverzének a meghatározása
Ha detA nem nulla, akkor létezik A mátrix inverze, és azt az alábbi módon határozhatjuk meg:

21

22 Példa inverz mátrix meghatározására

23 Figyeljünk arra, hogy a transzponálttal kell dolgozzunk!

24 Mátrix transzponáltjának és inverzének a tulajdonsági

25 Mátrixok és a lineáris egyenletrendszerek kapcsolata

26 Determinánsok Mivel a determinánsokat Geometria I. tantárgyból már tanulták, ezért a részletes tárgyalást mellőzzük. Tudni kell a: Determináns fogalmát Determinánsok elemi átalakításait Determinánsok kifejtését több módszerrel

27 Mátrix rangja A mátrix legnagyobb rendű nem zérus determinánsú minormátrixának rendjét a mátrix rangjának nevezzűk. Ha detA=0, akkor a mátrix szinguláris. Egyébként az A mátrix reguláris.

28 Mátrix rangja A mátrix rangja r, ha r-ed rendű kvadratikus mátrixai között van legalább egy reguláris, azaz nem nulla determinánsú mátrix. Minden (r+1)-nél magasabb rendű minormátrixa szinguláris, azaz a determinánsa nulla.

29 Cramer szabály Ha egy lineáris egyenletrendszer együttható mátrixa (nxn)-es és az együttható mátrix nem szinguláris mátrix, azaz a determinánsa nem nulla, akkor az egyenletrendszer konzisztens,és csak egy megoldása van:

30 Cramer szabály Ahol: D jelöli az egyenletrendszer együttható mátrixának a determinánsát. Dk pedig olyan determináns, amelyet D-ből úgy nyerünk, hogy annak a k-adik oszlopát b vektorra cseréljük.