A Pi értékének meghatározása, mint az egyik ókori probléma

Az előadások a következő témára: "A Pi értékének meghatározása, mint az egyik ókori probléma"— Előadás másolata:

1 A Pi értékének meghatározása, mint az egyik ókori probléma
A Pi, a kör területének kiszámításakor jelent meg, mint probléma. Már a k.e körüli időkből származó egyiptomi Rhind papiruszon található egy képlet, ami erre a probléma megoldására vonatkozik. Alkalmazva a képletet 3,1605 értéket kapunk, ami ebben az időben csodálatos pontosságnak számított… Jahmesz bizonyítás nélkül kijelentette, hogy a 9 egységnyi átmérőjű kör területe egyenlő a 8 egységnyi oldalú négyzet területével. Ez mai jelöléssel azt jelenti, hogy π(9/2)² = 8² 63,617

2 Kínában a Han-dinasztia alatt elrendelték a mértékegységek egységesítését. Ezt a munkát Liu Ci (k.e.50- k.u.23) csillagász hajtotta végre. Ekkor történt a matematika történetében az az egyedülálló eset, hogy törvény szabta meg a Pi, értékét (3,1547 volt). A Hinduk 500 körül már 3,1416-tal számoltak. A Perzsák 16 tizedes jegyig számították ki az értékét ben Shancks, angol matematikus 30 évi munkával 707 tizedes jegyig számította ki, de ben a szintén angol Fergusson kimutatta, hogy az 528. Tizedestől kezdve tévedett… Már a XVIII. századtól tudták, hogy irracionális szám, jelölésére a görög "Pi" betűt 1739-ben Euler javasolta. 1958-ban elektronikus számítógépek segítségével a -nek tizedes számjegyét állapították meg. Az első 3000 számhoz 10 percre volt szükség. 1991 nyarának végén a Chudnovsky testvérek kiszámították a pi első kétmilliárd-kétszázhatvanmillió-háromszázhuszonegyezer-háromszázharminchat számjegyét. Ez a teljesítmény világrekordnak számított

3 Most pedig nézzük, hogy mi is kötődik Buffon gróf nevéhez
Most pedig nézzük, hogy mi is kötődik Buffon gróf nevéhez ? A legenda szerint felesége rendszeresen kötögetett, és gyakran kiesett a kezéből a kötőtű. Padlójukat, párhuzamosan lefektetett deszkalapok borították, ezért a leeső tű néha metszette, néha pedig nem metszette, a padlólapok illesztéseinél látható vonalakat. Állítólag ez késztette Buffon grófot arra, hogy ben, elsőként bevezesse a geometriai valószínűség fogalmát. Képletben adta meg, hogy mi a valószínűsége annak, hogy a leeső tű metszi a padló vonalát (ez nyílván függ a vonalak távolságától, és a tű hosszától, és szerepel benne a Pi, értéke is).

4 A π (pi) a matematikában és fizikában használt valós szám.
A kör kerületének és átmérőjének hányadosaként definiálják, ami a körök hasonlósága miatt minden kör esetén azonos.

5 A Buffon-féle „tűprobléma”
1777-ben Buffon vetette fel a „tűprobléma” néven közismertté vált feladatot. Ennek megoldásával nagyon érdekes lehetőséget adott a π kísérleti meghatározására A feladatot a következőképpen fogalmazhatjuk meg: Rajzoljunk egy vízszintes lapra azonos d távolságban levő párhuzamos egyeneseket. Dobjunk erre a lapra véletlenszerűen, irányítás nélkül egy l < d hosszúságú tűt. Mi a valószínűsége annak, hogy a tű metszi valamelyik egyenest? Feltehetjük, hogy a tű középpontja egy a párhuzamos egyenesekre merőleges e egyenesre esik.

6 A vonalak távolsága 45 mm volt, 35 mm-es tűt használt, amit 5000-szer dobott fel, és számolta, hogy hányszor metszi a vonalak egyikét. A kapott értéket behelyettesí-tette a képletbe és 3,1596 jött ki neki. Természetesen "végtelen számú" feldobás hozna pontos közelítést, de ha figyelembe vesszük, hogy egyszerű tűdobálással számította ki ezt az értéket… A tű helyzetét ekkor a metszés szempontjából egyértelműen jellemzik az ábrán jelölt φ és x adatok.

7 Könnyen belátható, hogy a tű akkor metszi valamelyik egyenest, ha
vagy

8 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az egyenlőtlenségek által meghatározott ponthalmazokat:
A geometriai valószínűséget a kedvező terület és az összes terület hányadosaként kapjuk meg, tehát annak a valószínűsége, hogy a tű metszi valamelyik rácsvonalat.

9 Átrendezve és a valószínűséget a relatív gyakorisággal közelítve