Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Szak Data Mining 14. Gyakorlat Dr. Pauler Gábor, Egyetemi Docens PTE-PMMK Számítástechnika Tanszék Iroda: Boszorkány u., B épület 101 Tel: 72/503-650/3725 E-mail: gjpauler@acsu.buffalo.edu

A gyakorlat tartalma 13. Házi feladat ellenőrzése: Kérdőívterv Sokváltozós problémák kezelése Grafikai szemlélet A sokváltozós elemzések Sokdimenziós pókháló diagramm 2 dimenziós gombóc diagramm tengelyváltással Excelben 2 + 1 dimenziós CT diagramm Excelben 3 dimenziós pontdiagramm használata SPSS-ben 4 dimenziós Film diagramm 4 dimenziós Termovíziós diagramm Sokdimenziós Arcprojekciós diagramm Sokdimenziós koordináták szemléltetése Magasabb dimenziószámú terekben történő gondolkodás: Hiperalakzatok A dimenziók közti indukció módszere Matematikai módszer: mátrix-algebra A mátrix fogalma, grafikai értelmezése Mátrixok összeadása és kivonása Mátrixok szorzása és inverzzel történő szorzása 14. Házi feladat: Lekérdezés 14-1. Dugótervezés 14-2. Möbius-szalagok

A sokváltozós elemzések A több független változós regresszió analízis révén beléptünk a sokváltozós (Multivariate) elemzések világába Több döntési változó értékhalmazának Descartes-szorzataként áll elő a sokváltozós hipertér (Hyperspace) Egy sokváltozós adatbázis elemzése során a legfőbb probléma nem az, hogy hogyan végezzünk számításokat (a legtöbb szoftver 250 változóig bírja), hanem hogy hogyan mutassuk be az eredményeket érthető formában, a sokváltozós tér ugyanis óriási méretű: Példaként vegyünk egy piackutatásban nem nem túl nagynak számító, 1..10 skálán mért 69db változóból álló, 1000 megfigyelést tartalmazó adatbázist Próbáljuk meg ezt 10 cm élhosszúságú koordináta-rendszerekbe elosztva ábrázolni: ez 2 változónál 1db 10×10cm2-es diagramm, 3 változónál 10×10×10cm3-es diagramm, 4 változónál 10db 1000cm3-es diagramm, 5 változónál 10×10db 1000cm3-es diagramm, stb Tippeljük meg, mekkora méretű lesz diagrammunk, mire elérjük a 69 változót? V1 V2 V1 V2 V3

Sokdimenziós pókháló diagramm A 69 változós tér ábrázolása 1022×1022×1022db 3dimenziós, köbdeciméternyi méretű diagrammocskán lehetséges, amik kockába összerakva kb. 10%-kal meghaladják a Tejútrendszer 3×1014×365×24×3600 deciméteres (100000 fényév) átmérőjét. Ebből nyilvánvaló, hogy a sokváltozós terek ábrázolásához indirekt módszerekre lesz szükség. Az első ilyen a Pókháló diagramm (Radar Plot), ami –grafikai minőség- től függően – elég sok (max. 30-40db) változó és kb. tucatnyi megfi- gyelés ábrázolását te- szi lehetővé.

2 dimenziós gombóc diagramm tengelyváltással Excelben A pókháló diagramm sok változót mutat, de a megfigyelések egymáshoz viszonyított helyzetét nem mutatja Ezért használjuk a gombóc diagrammot (Ball Plot). Ez egyszerre csak 3 változót mutat, ezért ezeket gyorsan kell tudni váltogatni: A zöld legördülő menükben választhatjuk ki, hogy az X, Y tengelyeken mely változókat mutassa A gombócok mérete jelenti a Z tengelyt, ennek kiválasztására szolgál a harmadik legördülő menü katt katt katt

2 + 1 dimenziós CT diagramm Excelben A CT (Computer- tomográf) diagramm: Egy 2+1 dimenziós diagramm, Ahol egy gördítősáv segítségével rétegenként nézhetjük végig az (X, Y) két dimenziós térkép alakulását A Z tengelyre rakott harmadik változó különböző szintjeinél húz

3 dimenziós pontdiagramm használata SPSS-ben 1 SPSS-ben a 3 dimenziós pontdiagramm szerkesztéséhez dupla kattintással indítsuk az SPSS diagrammszerkesztőt (Chart Editor): A gombra kattintve előjön a 3D diagramm beállítások ablak (3-D Scatterplot Options) Állítsuk be a vetítővonalakat (Spikes) a padlóhoz (Floor), ez áttekinthetőbbé teszi a pontok elhelyezkedését A gombra kattintva előjön a diagrammforgatás (3-D Rotation) ablak A forgatógombbal forgassuk el a diagrammot 45 fokonként több nézetbe A nézeteket másoljuk a munkalapra Szerkesztés| Irányított beillesztés| Kép metafájl (Edit| Paste special| Picture metafile)-ként Ha háromnál több dimenziónk van, a Chart Editor Series| Displayed menüvel válthatunk a tengelyeket a 3D diagrammon katt + katt katt katt katt katt katt katt katt katt

3 dimenziós pontdiagramm használata SPSS-ben 2 A munkalapra másolt térképek hányadék megjelenésén sokat segíthetünk egy kis kézi szerkesztéssel: Jelöljük ki a diagrammot a munkalapon Nyissuk meg az Excelben a Nézet| Eszköztárak (View|Toolbars) menüvel a Rajzoló Eszköztárat (Drawing Toolbar) Az itt található Rajz| Szétbontás (Draw| Ungroup) menüvel bontsuk elemeire a diagrammot Kijön egy figyelmeztetés, hogy ez Metafájl és nem Excel Rajzobjektum, konvertálhatja-e? Nyomjunk Yes-t Ismételgessük a szétbontást, amíg a diagramm teljesen elemeire bomlik Jelöljük ki az SPSS helypazarló külső keretezésének téglalapjait, és töröljük őket Del gombbal Az elemek helyzetét tanulmányozva, elnevezhetjük a térkép tengelyeit, és átírhatjuk velük a rajzobjektumban az alapértelmezett Dimension1, 2, stb. neveket Ha kész vagyunk a szerkesztéssel a Rajzoló Eszközsoron kattintsunk a gombra, ami a kijelölőkeret eszköz. Keretezzük be vele a diagramm összes rajzi elemét, hogy minden kijelölődjön A Rajzoló Eszközsor Rajz| Csoportosítás (Draw| Group) menüvel olvasszuk egybe a diagramm elemeit Ezután a diagramm a kívánt méretre átméretezhető (szerkesztés elött NEM!!!) katt katt katt katt katt

3 dimenziós pontdiagramm használata SPSS-ben 3 Prezentációkban mindig függőleges vetítővonalakkal és forgatási fázisonként animált megjelenítéssel mutatjuk be a három dimenziós pontdiagrammokat, hogy térben jobban elképzelhetők legyenek:

3 dimenziós pontdiagramm Excelben Az Excel alapban nem tud 3 dimenziós pontdiagrammot de egy kimutatás és egy 3 dimenziós oszlopdiagramm átidomítása segítségével hamisíthatunk egyet (lásd: 3DPontDiagr.xls ): A Data munkalapra töltjük be az adatbázist, a változókat oszlopokba, megfigyeléseket sorokba, az első sorba a változóneveket A DataConv munkalap az ábrázolt változókat adott felbontású egységekre kerekíti A PivotTable munkalapon lévő Excel kimutatás (Pivot Table) sormezője lesz az X változó, oszlopmezője az Y változó, a tartalom mező a Z változó Max-szal aggregálva. Az üres cellában Null értéket mutat A 3DScatterPlot munkalapon lévő Excel Pivot Diagrammot a kimutatás fejléceire és adataira definiáljuk A megoldás előnye, hogy Excelben makrók segítségével könnyen építhetünk forgatási animációt a diagrammba (Rotate gomb) A megoldás hátránya, hogy a Z tengely szerint egymás alatt lévő pontok közül csak a felsőt képes ábrázolni Ezen a hibán a felbontás növelése segíthet valamit, a számolásigény jelentős növekedése árán katt

4 dimenziós Film diagramm V1 V2 V3 V4 Az emberek több csoportra oszthatók analitikus IQ szerint: Vannak a politikusok, rendőrök, focisták, diszkócicák, TV-s showmanek, akik számára egy egyszerű iskolai X,Y koordináta rendszer is örök rejtély forrása marad Van az átlag, aki ezzel elboldogul, de egy 3 dimenziós pontdiagrammot – megfelelő térlátás híjával – már nem tud áttekinteni Vannak, akik 3D-s diagrammokat esznek vacsorára, de 4 dimenzió hatékony áttekintése már nekik is feladja a leckét, hiszen 3 dimenziós világunktól ez idegen Az egyik lehetséges közelítés, hogy – a valósághoz hűen – az időt használjuk 4. dimenzióként, és a hatását film diagrammon (Film Diagram), filmkockaszerű fázisokban képzeljük el Pl. a mellékelt ábra egy pont 4 dimenziós térben történő átlós irányú mozgását ábrázolja Természetesen az AutoCad-ben, Flash-ben, Powerpointban felépített animációk – különösen a mozgó alakzatok „nyomhúzásával” – még jobb eredményt adnak

4 dimenziós Termovíziós diagramm A negyedik dimenziót egy 3 dimenziós alakzat szivárvány-színskála szerinti színezésével (Spectral Colouring) is ábrázolhatjuk Ez hasonló az infra-kamerák hamis színezésű képeihez, ahol a hőmérséklet a negyedik dimenzió, ezért termovíziós diagrammnak (Thermovision Diagram) nevezzük. Lássunk erre egy feltuningolt példát animált *.GIF formátumban, ahol a színezést és az animációt is kihasználták egy 5 dimenziós alakzat ábrázolására. Forrás: http://www.math.gatech.edu/~berglund/Mobius.html

Sokdimenziós Arcprojekciós diagramm Alternatív sokváltozós megjelenítési technika az arcprojekciós diagramm (Human Face Projection Diagramm), ahol a magasabb dimenziókat az emberi arc bizonyos jellemzőiből alkotott skálákhoz kötjük Pl. Száj görbülete: (Szomorú..Vidám) Pl. Szemek mérete: (Gyanakvó..Csodálkozó) Pl. Fülek mérete: (Érdektelen..Kíváncsi) Pl. Szemek távolsága: (Buta..Okos) Arcszín: (Nyugodt..Felindult) Építve a befogadó fél ösztönös és tanult arcmimika-elemző pszichikai képességeire Ilyen módon maximum 6-8 dimenziót és 1-2 tucat megfigyelést ábrázolhatunk V1 V2 V3

Sokdimenziós koordináták szemléltetése A matematikai formátumú koordinátákat az ember nehezen tudja értelmezni, mert mindegyik számsákála, és 3-4 változó felett összekeveredik a jelentésük: Pl. nem olyan könnyű kapásból megmondani, mit jelent a (3,1,4,1,4) koordináta, ha a változók egy autó jellemzői: össztömeg-kategória, gyorsulási kategória, ajtók száma, fogyasztási kategória, hengerek száma Alacsony kategóriaszámú változók esetén jó mentális technika, ha a koordinátában a számskálát lecseréljük valami jól begyakorolt, triviális sorozattal, amiből valahogy gyorsan asszociálni tudunk az adott változóra: Latin ABC: (A, B, C , D, E, F, G , H) Természetes számok (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) Görög ABC: (a, b, g, d, e, x, h, q) Hónapok: (Jan, Feb, Mar, Apr, May, Jun, Jul, Aug..) Napok: (Sun, Mon, Tue, Wed, Thr, Fri, Sat) Bolygók: (Merkur, Vénusz, Föld, Mars, Jupiter...) Répamese: (Répa, Papa, Mama, Fiú, Lány, Kutya, Macska, Egér) Példák: Két dimenzióra (pl. sakk, térképek): A1, G8 Három dimenzióra: B4g, F3a Négy dimenzióra: B4gApr, F3aFeb

A gyakorlat tartalma 13. Házi feladat ellenőrzése: Kérdőívterv Sokváltozós problémák kezelése Grafikai szemlélet A sokváltozós elemzések Sokdimenziós pókháló diagramm 2 dimenziós gombóc diagramm tengelyváltással Excelben 2 + 1 dimenziós CT diagramm Excelben 3 dimenziós pontdiagramm használata SPSS-ben 4 dimenziós Film diagramm 4 dimenziós Termovíziós diagramm Sokdimenziós Arcprojekciós diagramm Sokdimenziós koordináták szemléltetése Magasabb dimenziószámú terekben történő gondolkodás: Hiperalakzatok A dimenziók közti indukció módszere Matematikai módszer: mátrix-algebra A mátrix fogalma, grafikai értelmezése Mátrixok összeadása és kivonása Mátrixok szorzása és inverzzel történő szorzása 14. Házi feladat: Lekérdezés 14-1. Dugótervezés 14-2. Möbius-szalagok

Sok dimenzióban történő gondolkodás: Hiperalakzatok A sokváltozós teret matematikailag a valós számok R halmazainak Descartes-féle szorzataként definiáljuk: R×R×..R = Rn A 2 vagy 3 dimenziós alakzatok sokváltozós kiterjesztését hiperfelületeknek (Hypersurface) nevezzük A hiperfelületek speciális alcsoportja a hipersíkok (Hyperplane): Pl. 2 dimenzióban ez 1 dimenziós (egyenes), 3 dimenzióban lehet 2 dimenziós (sík) is, 4 dimenzióban lehet 3 dimenziós (tér) Egy másik fontos alcsoport a hiperkúpok (Hypercone), hipergúlák (Hyperpyramid): Pl. egy 4 dimenziós hiperkúpot egy „befele sűrűsödő gömbként” kell elképzelni A harmadik fontos alcsoport a hipersokszögek (Hyperpolyhedron): Ezek lehetnek konvexek (bármely két pontját összekötő egyenest is tartalmazza) vagy konkávak V1 V2 V3 V1 V2 V1 V2 V3 V4 V1 V2 V3 V4

A dimenziók közti indukció módszere Magasabb változószámú problémák elemzésére használható a dimenziók közti indukció módszere (Inter-Dimensional Induction): Ha egy feltételezés bizonyítható n dimenzióra és n+1 dimenzióra, akkor bármely dimenziószámra igaz lesz (Meg kívánjuk azonban jegyezni, hogy az algoritmusok hatékonysága változhat a dimenziószámmal: magasabb változószámnál sok ellehetetlenül közülök a számolásigény exponenciális robbanása miatt) Pl. Azt, hogy egy hipersík egy hiperparaboloidot csak egy pontban érinthet, először 2, majd 3, majd 4 dimenzióban képzeljük el, és ebből következtetünk a magasabb dimenziószámú esetekre: V1 V2 V4 V1 V2 V3

14-1. Gyakorló feladat: 4 dimenziós Rubik-kocka A velünk született (vagy hiányzó...) térlátási képesség mellett a sokdimenziós gondolkodás különböző gyakorlatokkal fejleszthető: Erre jó példa Nate Berglund 4 dimenziós Rubik-kocka szoftvere (lásd: RubiksHypercube.exe ) A 3×3×3×3-as hiperkockában 8 színt kell a helyére rakni: A piros elemválasztó gombok A kék forgatógombok A sárga nézetváltó gombok segítségével Minimális idő alatt!!!

14-2. Gyakorló feladat: 3 dimenziós sakk Ha a 4D Rubikkockát túl könnyen kiraktuk, megpróbálkozhatunk egy 3 dimenziós sakkpartival 8×8×8-as pályán: A partit kezdjük a legalsó táblán, a szokásos felállással, így érdekes „légiháború” alakulhat ki a gyorsabb figurák közt a magasabb pályákon A gyalogok csak Y és Z irányba mozoghatnak, X-ben nem Minden más figura mozgása gond nélkül kiterjeszthető 3D-be A lépéseket A3a-stílusú koordinátákkal jelöljük Játsszuk két csapat közt. Több szem többet lát, és erre szükség is lesz... Érdekes kipróbálandó kérdés, hogy a támadás túlsúlyba kerül-e a védekezéssel szemben az ütési lehetőségek megsokszorozódása, és a király sáncolására rendelkezésre álló figurák a játéktér méreteihez képest relative alacsony száma miatt?

Sokdimenziós problémák matematikai kezelése: mátrix-algebra 1 A sokváltozós problémák kezelése matematikailag mátrixokkal (Matrix) történik: Ez nagybetűvel jelölt (pl. A) számtáblázat, ami m sorból és n oszlopból áll, vagyis a mátrix rendje (Layout) Am×n-es Ha m = n, a mátrix kvadratikus (Quadratic) A mátrixokat sor- vagy oszlopvektorokra bonthatjuk, alapértelmezésben oszopvektorokra bomlik Az oszlopvektorokat egy koordináta rendszerben ábrázolva a mátrix grafikailag oszlopvektor-kötegként jelenik meg A különböző irányokba álló oszlopvektorok k száma adja meg a mátrix rangját (Rank) Azt a mátrixot, amelynek összes oszlopvektora más irányba áll, lineárisan független (Linear Independence) oszlopvektorrendszernek nevezzük Az ilyen mátrix oszlopvektorai egy nem derékszögű és nem azonos tengelybeosztású (Non-Euclidean) koordináta-rendszert definiálnak Mátrixok összeadása és kivonása: Csak azonos rendű mátrixok adhatók össze és vonhatók ki egymásból, a megfelelő elemek összeadásával/kivonásával: Am×n+ Bm×n = Cm×n (14.13) Am×n- Bm×n = Cm×n (14.14) Az összeadás felcserélhető, és disztributív: A + B = B + A (14.15) (A + B) + C = A + (B + C) (14.16) Hasznosság Menőség Matek 0.90 0.43 Cigi 0.15 0.99 Hasznos Menő Matek Cigi 0 1 2

Sokdimenziós problémák matematikai kezelése: mátrix-algebra 2 A mátrixok szorzása jelentősen eltér az algebrai szorzástól: csak egy m×n-es, sorvektorokból álló, „bal oldali” A mátrixot szorozhatunk össze egy n×l-es, oszlopvektorokból álló „jobb oldali” B mátrixszal, az eredmény egy m×l-es C mátrix: Am×n × Bn×l = Cm×l (14.17) A × B ≠ B × A (14.18) C adott sor/oszlopbeli elemét úgy kapjuk, hogy A megfelelő sorának n elemét B megfelelő oszlopának n elemével páronként összeszorozzuk, majd a szorzatokat öszeadjuk (Excelben ezt az =MMult(Atömb,Btömb) tömbképlettel kapjuk) A szorzás itt nem felcserélhető, mert A mátrix egyszerű tényadatokként viselkedik, B mátrix viszont egy nem derékszögű koordináta rendszer szerepét veszi fel, egy sajátos nézőpont- vagy súlyrendszer lesz, amin keresztül a tényadatokat nézzük Optikai analógiával: A a nézett tárgy, B a lencse, C a kép, amit látunk. A és B szerepet cserélhetnek, de az eredmény más lesz: nem ugyanaz, ha mikroszkópon nézünk egy távcsövet, vagy távcsövön egy mikroszkópot! A Haszn Menőség Költség Matek 0.90 0.43 0.89 Cigi 0.15 0.99 0.61 B Anya Gyerek Haszn 0.90 0.50 Menő 0.10 Költs 0.80 0.40 C Anya Gyerek Matek 1.57 1.19 Cigi 0.72 1.21 × = 0.90×0.90 + 0.43×0.10 + 0.89×0.80 = 1.57 ≠ =MMult(Atömb,Btömb)

Sokdimenziós problémák matematikai kezelése: mátrix-algebra 3 B mátrixot nem oszthatjuk el A mátrixszal, de B-t jobbról megszorozhatjuk A mátrix inverzével (Matrix Inverse) A-1: B × A-1 = C (14.19) A mátrix azt jelenti,hogy egy derékszögű egység-koordináta rendszeren keresztül nézzünk egy vektorköteget (pl. a Hasznosság×Menőség rendszerben nézzük a Matek és a Cigi vektorát) A inverze azt jelenti, hogy egy A által definiált nem derékszögű, nem-egység koordináta rendszert visszaforgatjuk derékszögű egység-koordinátarendszerbe, és ezen keresztül nézzük a lineárisan transzoformált eredeti egység koordináta rendszert (pl. a Matek×Cigi rendszerben nézzük a Hasznosság és Menőség vektorait) Az invertálást egy algoritmus végzi, amit itt részletesen nem tárgyalunk Excelben az =MInverse(Atömb) tömbképlet számítja ki az inverzet Nem minden mátrixot lehet invertálni: a szinguláris (Singular) mátrixok invertálása 0-val való osztást eredményez Speciális esetként, ha egy mátrixnak csak a főátlójában (Trace) vannak 0-tól különböző elemek, akkor a mátrix inverzében ezek reciprokként szerepelnek, a többi elem marad 0 Hasznos Menő Matek Cigi 0 1 2 Matek Cigi 0 1 2 Hasznos Menő

Számítógépes alkalmazás mátrixokhoz Mátrixokkal kapcsolatos számolások hatékony segédeszköze a Hamarics György ingyenes Delphiben írt,1999-es MATRIX1.0 szoftvere Telepítése: a MATRIX.zip fájl kicsomagolá-sa után futtassuk a Setup.exe-t Futtatása: Matrix.exe-vel indul és először bekéri a mátrix maximális cellaszámát Grafikus felhasználói felülete (GUI): Fájl|Megnyitás menüvel nyithatunk meg *.mtx formátumú bináris mátrix-fájlokat (a rendszer nem imp-/exportál más formába) A Táblázatkezelő panelen megadhatjuk a mátrix aktuális Sor és Oszlop számát, átír-hatjuk a sor (E1,E2) és oszlop (A1,A2) neveket, szerkeszthetjük a Cellák adattartal-mát, kijelölhetjük őket Rejtett-nek (nem vesz részt a számolásban) és Nem cserélhető-nek (pivot transzformációnál helyén marad) Táblázat menüben tovább szerkeszthetjük: Táblázat törlése: teljes mátrixot 0-áz Sor/Oszlop törlés: a kurzor által mutatott aktuális cella sort/oszlopát törli Sor/Oszlop csere: aktuális cella sorát/ oszlopát kicseréli(csak n×n-s mátrixnál) Változók száma: újradefiniálja a maxi-mális cellaszámot (mindent töröl) Adatok panelen jelzi ki a mátrix alapadatait Számítások menüben számoljuk a mátrix Transzponált-,Inverz-,Determinánsát Pivot az aktuális cellával, mint generáló elemmel pivot transzformációt végez (áthelyezi a mátrix koord.rendsz.origót) Fájl|Mentés másként menüvel menthetjük az eredménymátrixot *.mtx fájba katt katt katt katt katt katt katt katt katt A pivotálás lépéseit Felvesz/Be gomb hatására egy szöveges listába tudja rögzíteni (lépésszám, generáló elem sora/oszlopa) Törlés gombbal törölhetünk egy pivotá-lási lépést a listából Lista törlés gombbal törölhetjük a teljes listát Indít gombbal játszhatjuk le újra a mát-rixon a pivotálási listát Inverz és Determináns számításakor fel-veszi a listába a számítások automatikus pivotálási lépéseit (max.999)

A gyakorlat tartalma 13. Házi feladat ellenőrzése: Kérdőívterv Sokváltozós problémák kezelése Grafikai szemlélet A sokváltozós elemzések Sokdimenziós pókháló diagramm 2 dimenziós gombóc diagramm tengelyváltással Excelben 2 + 1 dimenziós CT diagramm Excelben 3 dimenziós pontdiagramm használata SPSS-ben 4 dimenziós Film diagramm 4 dimenziós Termovíziós diagramm Sokdimenziós Arcprojekciós diagramm Sokdimenziós koordináták szemléltetése Magasabb dimenziószámú terekben történő gondolkodás: Hiperalakzatok A dimenziók közti indukció módszere Matematikai módszer: mátrix-algebra A mátrix fogalma, grafikai értelmezése Mátrixok összeadása és kivonása Mátrixok szorzása és inverzzel történő szorzása 14. Házi feladat: Lekérdezés 14-1. Dugótervezés 14-2. Möbius-szalagok

Saját piackutatási project: 14. Házi Feladat Saját piackutatási project: Készítsen mintavételi tervet az adott szervezet információs igényének figyelembevételével A mintavételi terv kvótáinak megfelelően végezzen el egy min. 100 megfigyelést tartalmazó lekérdezést Ha a kérdőív papír-alapú volt, készítsen egy adtbázis-űrlapot, ami meggyorsítja az adatok rögzítését Importálja az adatokat a forrás-adatbázisból SPSS-be, és lássa el őket a szabványos kiegészítő információkkal (változónevek, -tipusok, -címkék, értékcímkék, hiányzó értékek, skálatipus, stb.) Mutassa be a kész adatbázist SPSS-ben a következő gyakorlatra (1p).

14-1. Házi Feladat: Dugótervezés (0.5p) Egy vastag acéllemezbe különböző alakú lyukakat vágtak (az ábra szigorúan méretarányos) Tervezzen AutoCad-ben olyan dugót, ami: Szigorúan egy darabból, és nem ellasztikus szilárd anyagból van Mindegyik lyukon teljes egészében keresztül lehet nyomni Mindegyik lyukat résmentesen eltömíti A megoldás: 14-1Megoldas.ppt

14-2. Házi Feladat: Möbius-szalag (3.5p) A Möbius-szalagok 3 dimenzióban elcsavart és végtelenített, önmagába záródó élek által határolt 2 dimenziós hiperfelületek, amelyeknek csak egy oldala van (pl. egy hangya szépen végig tud sétálni a teljes felületükön él keresztezése nélkül) A, feladat: rajzoljon le egy 3 dimenzióban megjelenő 3 dimenziós Möbius-alakzatot (1p) B, feladat: rajzoljon le egy 4 dimenzióban megjelenő 2 dimenziós Möbius-alakzatot (1.5p) C, feladat: rajzoljon le egy 4 dimenzióban megjelenő 3 dimenziós Möbius-alakzatot (1p) A, B megoldása: 14-2ABMegoldas.ppt C megoldása: 14-2CMegoldas.ppt

Szakirodalom Négy dimenziós terek és alakzatok: Nate Berglund honlapja: http://www.math.gatech.edu/~berglund/Mobius.html Ishihama Yoshiaki honlapja: http://www.bekkoame.ne.jp/~ishmnn/java/java.html A négydimenziós gondolkodás kézikönyve: http://tetraspace.alkaline.org/ Négydimenziós Java-applet animáció gyűjtemény: http://tetraspace.alkaline.org/links-java.htm Sokdimenziós alakzatok ábrázolása: Sokdimenziós Gantt-diagrammok: http://linecom.com/models/gantt.html 3 dimenziós tengerészeti térképek: http://gis.esri.com/library/userconf/proc00/professional/papers/PAP199/p199.htm Sokdimenziós diagrammkészítő szoftver: http://www.dw-extreme.com/datawin.htm