Elvárásoknak való megfelelés Tervezés szilárdságra Végeselem módszer Termékszimuláció tantárgy 5. előadás 2010. március 25. Előadó: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár

A CAD Numerikus módszerei Végeselemes szerkezetelemzés

Bevezetés Szerkezeti elem terheket visel tervezésekor alapvető feladat az igénybevétel meghatározása, összevetése a határállapottal. A klasszikus szilárdságtannal csak néhány idealizált geometriájú alapelemre határozható meg a feszültségi állapot: jelentős matematikai nehézségek Ugyanez igaz más műszaki területekre is: hőtani problémák áramlástani problémák A valóságos, bonyolult elemek visszavezetése ismert egyszerű elemekre  az elemzési eredmények bizonytalansága

Bevezetés Megoldások: többlet biztonsági tényezők alkalmazása, túlméretezés a feszültségek kísérleti meghatározása numerikus közelítő számítási módszerek

A végeselem módszer, VEM (Finite Element Analysis/Method, FEA, FEM) Numerikus, közelítő módszer Fizikai probléma  matematikai modell Matematikai modell: peremérték feladat Analitikus megoldás: keresett mennyiség a helykoordináták függvényében (pl: u=f(x,y) Közelítő megoldás: numerikus megoldás, a vizsgált tartomány kijelölt pontjaiban

A végeselem módszer lényege: A szerkezetet részekre osztjuk (diszkretizálás, „behálózás”)

A végeselem módszer lényege: Az egyes elemek viselkedését egyszerű függvényekkel közelítjük (approximációs polinomok).

A végeselem módszer lényege: A pontos megoldásfüggvény (pl. u=f(x,y,x’,y’..) helyett sok darabból (approximációs polinomokból) összerakott függvény

A végeselem módszer lényege: A csomóponti függvényértékek meghatározása: pl. a potenciális energia függvényének minimalizálásával

a. lineáris végeselemek b. kvadratikus végeselemek A végeselem módszer pl. egy gerenda esetében a. lineáris végeselemek b. kvadratikus végeselemek

A végeselem módszer lényege A vizsgált, tetszőleges geometriai kialakítású szerkezeti elemet véges számú kicsiny, de geometriailag meghatározott elemből (végeselemekből) felépített modellel helyettesítjük. A végeselemek csak a csomópontjaikban kapcsolódnak egymáshoz. Az elem csomópontjaiban ható terhelés (Fe) és az elem csomópontjainak elmozdulása (ue) közötti összefüggés: Fe = Keue Ezt kiterjesztve a teljes szerkezetre: F = K u Az ismeretlen u csomóponti elmozdulásokra lineáris egyenletrendszert kapunk. Megoldása a szerkezeti elem alakváltozási állapotát adja, ennek ismeretében a feszültségek számíthatók.

A végeselem módszer lényege Egy alakatrész 3D-s végeselem modellje. Az elemtípus 4 csomópontos tetraéder elem

A végeselem módszer lényege A peremfeltételek és a terhelésmodell

A végeselem módszer lényege A számítás elsődleges eredménye az elmozdulás-mező, amiből számíthatók a rugalmas alakváltozások és feszültségek.

A végeselem módszer lényege Egy alakatrész 3D-s végeselem modellje. Az elemtípus 20 csomópontos kvadratikus hexaéder elem

A végeselem módszer lényege A számítás elsődleges eredménye az elmozdulás-mező, amiből számíthatók a rugalmas alakváltozások és feszültségek.

A végeselem módszer lényege A számítás elsődleges eredménye az elmozdulás-mező, amiből számíthatók a rugalmas alakváltozások és feszültségek.

A végeselem módszer kialakulása Három tudományterület szintézise: a) szerkezetanalízis b) variáció számítás c) közelítő módszerek A fentieken túl a számítástechnika

A végeselem módszer kialakulása - Szerkezetanalízis XIX. század közepe. Rácsos és gerenda szerkezetek erő – elmozdulás kapcsolatrendszere, mátrix-számítás alapjai Erővel és nyomatékkal terhelt tartó alakváltozása és terhelése közötti kapcsolat: u = R F A kapcsolatot az R rugalmassági mátrix teremti meg.

A végeselem módszer kialakulása - Szerkezetanalízis Erővel és nyomatékkal terhelt tartó terhelés – elmozdulás kapcsolata (elmozdulás-módszer) K a merevségi mátrix, ami az R rugalmassági mátrix inverze. F = K u ahol K = R-1 

A végeselem módszer kialakulása - Szerkezetanalízis Egy síkbeli gerendaszerkezet (keretszerkezet) csomópontjainak szabadságfokai: u elmozdulás  elfordulás (A hoszirányú elmozdulás elhanyagolható) Nézzük a szerkezet j-ik elemének j és k végpontjában ható terhelések és elmozdulások közötti összefüggést:

A végeselem módszer kialakulása - Szerkezetanalízis Nézzük a szerkezet j-ik elemének j és k végpontjában ható terhelések és elmozdulások közötti összefüggést: Fe = Ke ue az e index az elemre utal

A végeselem módszer kialakulása - Szerkezetanalízis Az elemi merevségi mátrix csak a geometriai és mechanikai jellemzőktől függ. Az elemre felírt merevségi egyenlet kiterjeszthető az egész szerkezetre: F = K u ahol F a szerkezet csomópontjaiban ható terhelések oszlopvektora, u a szerkezet csomópontjainak elmozdulás oszlopvektora, K a szerkezet merevségi mátrixa. A módszer a számításokat n ismeretlenes, n egyenletből álló lineáris egyenletrendszer megoldására vezeti vissza. n a rendszer szabadságfokainak száma (síkbeli esetben 2 x csomópontszám – megfogások) Az ismeretlen elmozdulások meghatározhatók: u = K-1 F

A végeselem módszer kialakulása - Szerkezetanalízis Szerkezetünk terhelésvektora, elmozdulás-vektora és a merevségi mátrix 0, illetve 0-tól eltérő elemei Az ismert elmozdulásokhoz (1. pont 1. elmozdulás-összetevője és 4. pont 1. elmozdulás-összetevője) tartozó sorokat és oszlopokat törülhetjük, itt nem az Fe = Ke ue összefüggés szerinti, hanem az előírt 0 elmozdulás lép fel.:

A végeselem módszer kialakulása - Szerkezetanalízis 6 egyenletből álló egyenletrendszer marad a 6 ismeretlen elmozdulás meghatározására.

A végeselem módszer kialakulása - Variációszámítás XVIII. sz. eleje. Függvénykapcsolat: y = f(x) x független változók halmaza {A} a függvény értelmezési tartománya; y függő változók halmaza {B} a függvény értékkészlete. Funkcionál: Az {A} halmaz elemei függvények, a {B} halmaz elemei valós számok A leggyakoribb funkcionál egy határozott integrál:

A végeselem módszer kialakulása - Variációszámítás A módszer mérnöki (pl. rugalmasságtani) problémák megoldására alkalmas lenne, mivel: A szerkezet terhelés alatt olyan alakot vesz fel, amellyel a teljes potenciális energia minimum! Probléma: A funkcionál extrémum kereséséhez levezetett differenciálegyenlet (Euler–Lagrange – féle differenciálegyenlet) általában nem megoldható.

A végeselem módszer kialakulása – Közelítő módszerek XX. század eleje: a variációszámítás közelítő módszerei Ritz, Rayleigh, Timosenko, Bubnov, Galjorkin stb. Egy műszaki probléma megoldásához nem szükséges ismerni a tényleges matematikai függvényt, elég azt egy ismert függvénnyel helyettesíteni, amelyik az eredetit jól megközelíti. Lényege: Az I funkcionált egy jellegre előre ismert próbafüggvénnyel írjuk fel, amely a peremfeltételeket kielégíti. Az Euler-Lagrange differenciálegyenlet megoldása helyett direkt megoldási eljárást alkalmazunk. Pl: legyen a helyettesítő (próba-) függvény: y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ……

A végeselem módszer kialakulása – Közelítő módszerek Polinom alkalmazása célszerű: könnyen differenciálható, integrálható. Direkt megoldás: A helyettesítő függvény a0, a1, a2, a3 konstansait úgy kell meghatározni, hogy a funkcionál minimumot adjon. Közelítés pontossága: a polinom tagok száma Probléma: a próbafüggvényeknek ki kell elégíteniük a peremfeltételeket  a módszer alkalmazhatósága az egyszerű geometriájú alkatrészekre szűkül el. A végeselem módszer lényege: A variációszámítás közelítő módszerét nem az egész alkatrészre, hanem csak a geometriailag jól meghatározott végeselemekre alkalmazzuk: a permfeltételek kielégítése nem jelent nehézséget.