A lyukas dob hangjai Hagymási Imre Bolyai Kollégium fizikus szakszeminárium 2006. november 15.

Az előadások a következő témára: "A lyukas dob hangjai Hagymási Imre Bolyai Kollégium fizikus szakszeminárium 2006. november 15."— Előadás másolata:

1 A lyukas dob hangjai Hagymási Imre Bolyai Kollégium fizikus szakszeminárium 2006. november 15.

2 Az előadás menete probléma vázolása kvantummechanikai analógia Green-függvények, Weyl-formula WKB-módszer numerikus eredmények

3 A probléma lyukas membrán sajátrezgéseinek vizsgálata belül Neumann-, kívül Dirichlet-határfeltétel: N-D-t nem tágyalták az irodalomban R1R1 R2R2

4 A probléma A hullámegyenlet: A megoldást a következő alakban keressük: +határfeltételek! Helmholtz-egyenlet

5 Szeparálható a Helmholtz-egyenlet: A sajátfrekvenciákat meghatározó egyenlet: dimenziótlan paraméterek:

6 Analóg rendszer Szabad részecske zárt tartományban biliárd egységrendszert használjuk. egységrendszert használjuk. A sajátfrekvenciák megfeleltethetőek a részecske energiaszintjeinek:

7 A lépcsőfüggvény: Deriváltja az állapotsűrűség: Célunk ezek meghatározása és vizsgálata

8 A Green-függvény Green-függvény definíció szerint: Esetünkben:+határfeltételek! Ha ismerjük egyenlet sajátfüggvényeit és sajátértékeit:

9 Állapotsűrűség Ha ismert a Green-függvény, akkor: a Green-függvény általában nem ismert, mit tehetünk? →közelítünk: - Weyl-sorfejtés

10 A területi tag Tegyük fel, hogy nincsenek határfeltételek, határozzuk meg ekkor a Green-függvényt! Az ebből számolt állapotsűrűség adja a Weyl- formula területi tagját, ahol : A a biliárd területe

11 A kerületi tag Próbáljuk meg kielégíteni a határfeltételeket! ahol ahol -ha Dirichlet-, + ha Neumann határfeltétel végeredmény: végeredmény: a biliárd kerülete a biliárd kerülete

12 Weyl-formula magasabb rendű tagjai A Weyl-sorfejtés általános alakja: Az egzakt Green-függvényt meghatároztuk:

13 Az egzakt Green-függvény Az függvényekre a határfeltételek felhasználásával egy lineáris homogén egyenletrendszert kapunk. A trace elvégzése után áttérünk a módosított Bessel-függvényekre módosított Bessel-függvényekre Uniform közelítés alkalmazása

14 A Green-függvény trace-e

15 A Weyl-formula Kis belső sugarak esetén működik a uniform- közelítés: A r és B r adott függvények függvények

16

17 Numerikus eredmények Az egzakt és közelítő (Weyl) lépcsőfüggvény különbsége

18

19 Weyl egzakt

20 Mi okozza a szinguláris viselkedést az állapotsűrűségben? Bessel-függvények viselkedése nagy argumentum esetén: Nem függ m-től!

21 Gyökök m-függése

22 Kis sugarak esetén? gyökei vezető rendben:

23 Gyökök m-függése

24 WKB-módszer szemiklasszikus közelítés: Bohr-Sommerfeld kvantálási feltétel

25 WKB-módszer Végeredmény: Abramowitz & StegunDebye-közelítés

26 egzakt energiák (+), WKB (x)

27 A lépcsőfüggvény közelítése definíció szerint: Ez átírható a következő alakba: ahol megoldása m-re adott n,x mellett.

28 A lépcsőfüggvény közelítése

29 A közelítő lépcsőfüggvény WKB egzakt

30 Gyökök függvényében közelítés egzakt

31 Egyéb tulajdonságok A vizsgált rendszer integrálható

32 Összefoglalás Helmholtz-egyenlet numerikus megoldása Weyl-sor együtthatóira algoritmus kis esetén Gyűrű gyökös szingularitás -ben Szinguláris viselkedés értelmezése WKB „level-crossing”

33 Köszönet Cserti Józsefnek Csordás Andrásnak

34 Köszönöm a figyelmet!