AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA A forgástestek térfogatának kiszámítása
A görbevonalú trapézt forgassuk el az x – tengely körül
Tétel : Ha az f (x) függvény az [a,b] intervallumon értelmezett és folytonos és ha f (x) 0 minden x [a,b] értékre, akkor annak a K forgástestnek a térfogata, amely az y = f (x) görbe, az [a,b] intervallum, az x = a és x = b egyenes által határolt görbevonalú trapéznak az x – tengely körüli forgásával keletkezik, egyenlő
1. Példa Igazoljuk, hogy annak a gömbrétegnek a térfogata, amelynek magassága h, alapköreinek sugara pedig r1 és r2,
2. Példa Számítsuk ki annak a tórusznak a térfogatát, amely az x2 + (y - a)2 R2 körnek az x – tengely körüli forgásával kapunk, ahol 0 < R < a .
Feladatok Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, amely a síknak az y=1/x, y=0, x=1, x=4 vonalakkal határolt részének az x – tengely körüli forgásával kapunk! V=3/4 π Mekkora annak a testnek a térfogata, amely az x2/a2 + y2/b2=1 ellipszis x – tengelykörüli forgásával keletkezik? V=4/3a b2 π Mekkora annak a testnek a térfogata, amelyet az x2/a2 - y2/b2=1 hiperbola és x=2a egyenessel határolt alakzat x – tengely körüli forgásával kapunk? V=4/3a b2 π Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, amely az y2=8x i y=x2 két parabola által határolt alakzatnak az x – tengely körüli forgásával keletkezik! V=9,6 π