A normális eloszlás mint modell Ez a modell jól leírja a mérési értékeknek a középérték (várható érték) körüli szóródását. Jelölése N(μ, σ). Standard normális eloszlás: N(0, 1)

Hisztogram

Sűrűségfüggvény

Normális eloszlás

Eloszlásfüggvény Az eloszlást jellemző paraméterek a µ és a szigma kiolvashatók az eloszlás sűrűség vagy eloszlásfüggvényéből.

A normál eloszlás nevezetes értékei α% μ ± σ 5 1,96 1 2,58 0,1 3,29 pl. μ ± 1,96σ Excel: STNORMELOSZL(z) és NORMALIZÁLÁS(x; középérték; szórás) A standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét számítja ki. (A z értéktől balra eső területet.) Pl. számoljuk ki, hogy mi a valószínűsége annak, hogy 1081kg-nál kisebb értéket mérek egy 1500kg várható értékű, 552kg szórású normáleloszlású sokaságban. NORMALIZÁLÁS(1081;1500;552) ez nem más. mint a zi=(1081-1500)/552, zi=-0,75906 STNORMELOSZL(-0,75906)=0,22391 megközelítően 22% a valószínűsége, hogy ennél kisebb értéket kapunk.

Standardizálás

Standard normáleloszlás sűrűségfüggvénye μ , medián, módusz A normáleloszlás szimmetrikus, a várható érték egyben az eloszlás mediánja és módusza is. Differenciálással meggyőződhetünk róla, hogy az f(x) függvénynek két inflexiós pontja van, mégpedig a µ - σ és µ + σ helyeken. Normális eloszláscsaládba tartozó függvények alakja hasonló, egyik a másikba átszámolható, az x tengely menti elhelyezkedésüket a µ , a szélességét pedig a σ paraméter határozza meg. A µ változtatása a Gauss görbe eltolását jelenti az x tengely mentén. A σ (szigma) megváltoztatása a görbe laposságát befolyásolja, minél nagyobb a σ, annál laposabb és szélesebb a görbe. Minden esetben, (így a σ megváltoztatásánál is) a görbe alatti terület egyforma, 1-el egyenlő, a biztos esemény valószínűségét adja meg.

Standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye

Standard normáleloszlás eloszlásfüggvénye A normális eloszlás görbéjét először egy francia matematikus, Abraham de Moivre fedezte fel és közölte le 1733-ban. A normális eloszlást tudományosan két matematikus-csillagász, a francia Pierre-Simon Laplace és a német Carl Friedrich Gauss alapozta meg. Többen úgy vélik, hogy Laplace hozzájárulása a normális eloszlás tulajdonságainak tisztázásához jelentősebb volt, mint Gaussé, mégis Gauss után nevezték el a normális eloszlást Gauss eloszlásnak, miután Gauss volt az első, aki a normális eloszlást égitestek mozgására alkalmazta. A természetben, az orvostudományban nagyon sok mért paraméter normális eloszlással írható le, mint például az egyének magassága, vérnyomása, súlya, stb. A normális elnevezés is arra utal, hogy a mért adatainktól ezt várjuk, mert ez a természetes viselkedésük.

Standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye

Standard normáleloszlás 95%-os valószínűségei

Az eloszlás alakjának jellemzése Ferdeség (skewness, normális eloszlás=0 körüli érték) Csúcsosság (kurtosis, normális eloszlás=0 körüli érték)

Jobbra és balra ferde eloszlás Az eloszlás szimmetriáját a ferdeségi mutatóval (skewness) jellemezhetjük. A normáleloszlás szimmetrikus és a ferdesége nulla. Pozitív ferdeségi érték mellett az eloszlásnak hosszú jobboldali része, farka van (right tail), ekkor balra ferdül, negatív érték esetében jobbra ferdül az eloszlás. Amennyiben a ferdeség értéke nagyobb, mint egy, az eloszlás nem normál. A ferdeség szórását is érdemes meghatározni. Abban az esetben, ha a ferdeség értéke meghaladja a szórás kétszeresét, akkor az eloszlás nem szimmetrikus.

Csúcsos és lapos eloszlás Az adatok középpont körüli csoportosulását a csúcsossági mutatóval (kurtosis) mérhetjük. Normál eloszlás esetén az értéke ennek is nulla. A csúcsosság pozitív értéke azt mutatja, hogy az adatok szélesebb csoportban helyezkednek el, az eloszlás két széle hosszú. Negatív érték esetében kisebb csoportban helyezkednek el az adatok, az eloszlás két széle rövidebb.

Kolmogorov-Smirnov teszt

Kolmogorov-Smirnov teszt eredménye

Egyéb normalitás vizsgálat Kolmogorov-Smirnov és Shapiro-Wilk próba

Grafikus normalitás vizsgálat 1.

Grafikus normalitás vizsgálat 2.