Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS KOCKÁZATANALÍZIS VI. Előadás TŐKEPIACI ÁRFOLYAMOK MODELLJE Elektronikus kereskedelem Az Európai Szociális Alap támogatásával

2006 HEFOP P / Tartalom Piaci egyensúly Optimális portfólió Tőkepiaci egyenes Árazási modell Béta faktor Értékpapírpiaci egyenes és piaci kockázat A CAPM alkalmazásai A kockázatmentes egyenértékes

2006 HEFOP P / KÉT ALAPPROBLÉMA az optimális portfolió meghatározása a fair ár meghatározása

2006 HEFOP P / A PIACI EGYENSÚLY I. Feltételek: minden piaci szereplő a várható hozam és a szórás figyelembevételével optimalizál (mean-variance optimális) mindenki azonos átlagokkal és kovarianciákkal számol mindenki számára ugyanaz a kockázatmentes kamat: r f Kérdés: mi fog történni a piacon?

2006 HEFOP P / A PIACI EGYENSÚLY II. A one – fund tétel és a feltevések következménye: minden opt. portfólió: egyetlen kockázatos F és a kockázatmentes eszköz keveréke Ami változik: a portfóliók összetétele: kockázataikban különböznek kockázatkerülés: az F hányada kicsi kockázatkeresés: az F hányada nagy Kérdés: mi az F ?

2006 HEFOP P / A PIACI EGYENSÚLY III. Meggondolás: mindenki F -et veszi – adja → a kockázatos termékek aránya ugyanaz ez az arány megegyezik a piacon forgalmazott összes eszköz arányával ! A piaci portfolió (market portfolio): az összes forgalmazott eszköz együttese (a forgalmazott IBM, Microsoft stb. részvények teljessége) Következmény:

2006 HEFOP P / A PIACI EGYENSÚLY IV. F = piaci portfolió

2006 HEFOP P / Az i -dik eszköz w i súlya = az i -dik eszközhöz tartozó tőkehányad (capitalization weights)

2006 HEFOP P / AZ OPTIMÁLIS PORTFOLIÓ KIALAKULÁSA Meglepetés: Hogyan alakul ki a F az és  ismerete nélkül - vagyis a Markowitz - probléma megoldása nélkül vagy: hogyan találja meg a paic a w i súlyokat ? Önjavító (adaptiv) mechanizmus: az átlaghozam és  becslései alapján mean-variance opt pf. -k ha az order nem teljesithető: adjust price → új átlaghozam és  becslések → egyensúly: mean-variance opt. az egyensúlyi átlagh. és  -ra „Oldják meg mások a problémát!”

2006 HEFOP P / A TŐKEPIACI EGYENES I. Észrevétel: F = M az síkon. A hatékony portfoliók halmaza: a tőkepiaci egyenes (capital market line)

2006 HEFOP P / A TŐKEPIACI EGYENES II. Formális összefüggés: A meredekség: Ez a kockázat ára !

2006 HEFOP P / EGY PÉLDA (MR SMITH) I. a kockázatmentes kamat: 6% a piaci portfolió várható hozama: 12% a piaci portfolió várható szórása: 15% Kezdeti tőke: $ 1.000,00 Cél: $ 1 millió Kérdés: hány év alatt érhető el a portfolió várható hozamával ? (10/7 rule) Pontosabban: 60 év alatt érhető el ! Kérdés: Elérhető-e $ 1 millió 10 év alatt valamilyen hatékony portfolió hozamával ?

2006 HEFOP P / MR SMITH II. A cél átfogalmazása: átlagos duplázás évente (2 10 = 1024) → 100%-os átlagos hozam évente A tőkepiaci egyenes alapján a keresett  –ra: Innen:  = 10 vagyis  = 1.000% Nagyon kockázatos portfólió!

2006 HEFOP P / AZ ÁRAZÁSI MODELL I. A tőkepiaci egyenes: egy efficiens eszköz hozama vs. kockázata (szórása) Kérdés: tetszőleges eszköz hozama vs. kockázata ? Tőkepiaci árfolyamok modellje (capital asset pricing model, CAPM): Állítás: Ha az M piaci portfolió hatékony, akkor tetszőleges i eszköz várható hozama, eleget tesz az összefüggésnek, ahol

2006 HEFOP P / AZ ÁRAZÁSI MODELL II. A bizonyítás alapgondolata: Veszünk egy  portfoliót:  rész i eszköz 1 -  rész M piaci portfolió A várható hozam: A várható szórás:   Tekintsük a görbét.

2006 HEFOP P / AZ ÁRAZÁSI MODELL III. Megjegyzés: az i eszköz a tartomány belsejében van.

2006 HEFOP P / AZ ÁRAZÁSI MODELL IV. A görbe érintőjének meredeksége  = 0 -ban ( M mellett): Ezt egyenlővé téve a tőkepiaci egyenes meredekségével, ami és megoldva -re kapjuk a CAPM-t.

2006 HEFOP P / BÉTA    i : az i -dik eszköz bétája Ez egy eszköz az igazi kockázati karakterisztikája.

2006 HEFOP P / CAPM – DISZKUSSZIÓ Diszkusszió:  = 0, a piaccal nem korrelált eszköz → ekkor ! Nincs kockázati prémium ! Magyarázat: a kockázat 0 -ra diverzifikálható ! Diszkusszió:  < 0 → ! Értelmezés: az eszköz piaci kockázata kisebb, mint  M Alkalmazás: biztosításban „They do well when everything else does poorly.”

2006 HEFOP P / CAPM: PÉLDA a kockázatmentes hozam: r f = 8% a piaci várható hozama: = 12% a piaci várható hozam szórása:  M = 15% Legyen egy i eszközre:  iM = 0,045 Ekkor: Így a várható hozamra → 16%

2006 HEFOP P / RÉSZVÉNYEK BÉTÁJA I. A béták becslése: historikus adatok alapján pénzügyi szolgáltatók Tapasztalati tény: a béták viszonylagos stabilitása ! Agresszív vállalkozások:magas béta érték Konzervatív vállalkozások:alacsony béta érték (kisebb piacfüggés) A táblázat:  k és  k (volatilitások)

2006 HEFOP P / RÉSZVÉNYEK BÉTÁJA II.

2006 HEFOP P / EGY PORTFOLIÓ BÉTÁJA A relatív portfolió: Innen a hozam: Ezért: Következik, hogy Megjegyzés: az r i -k korreláltak is lehetnek !

2006 HEFOP P / ÉRTÉKPAPÍRPIACI EGYENES Értékpapírpiaci egyenes ( security market line) Két lineáris kapcsolat: vs. Cov(r,r M ) és vs. 

2006 HEFOP P / SZISZTEMATIKUS VAGY PIACI KOCKÁZAT Szisztematikus vagy piaci kockázat (systematic risk) Írjuk fel az r i hozamot az alakban Ekkor várható értéket véve ill. kovarianciát r M –mel, kapjuk: E  i = 0 Cov(  i, r M ) = 0 Így (javitás: gamma helyett  M irandó) Az előtag a szisztematikus vagy piaci kockázat. Nem diverzifikálható !

2006 HEFOP P / A CAPM BERUHÁZÁSI ALKALMAZÁSA A piaci portfolió szintetizálása: befektetési alapok (mutual funds) index alapok (pl. S & P 500, index funds) Egy kockázatmentes eszköz: pl. amerikai kincstárjegy (US Treasury bill) Egy CAPM feltétel: azonos információk A CAPM meghaladása: inkrementális javitás

2006 HEFOP P / CAPM, MINT ÁRAZÁSI FORMULA I. Hozamok és árak: egy eszköz ismeretlen vételi ára: P az eszköz későbbi, véletlen eladási ára: Q Kérdés: mi legyen a P ? A hozam: r = (Q-P)/P. Ezt a CAPM-be írva: P -re megoldjuk.

2006 HEFOP P / CAPM, MINT ÁRAZÁSI FORMULA II. A CAPM árazási formula : egy periódus után Q véletlen kifizetésű (payoff) eszköz jelenlegi árát a összefüggés adja meg. Értelmezés: P a várható hozam diszkontált értéke. A kockázattal kiigazított hozam: (risk adjusted interest rate)

2006 HEFOP P / AZ ÁRAZÁSI FORMULA LINEARITÁSA Két eszköz együttesét vesszük: Igaz-e, hogy: ?

2006 HEFOP P / KOCKÁZATMENTES EGYENÉRTÉKES I. Kockázatmentes egyenértékes ( certainty equivalence form of CAPM). Írjuk fel, hogy r = Q / P – 1 ! Így Innen A CAPM-árazó formulába beírva és P -vel átosztva:

2006 HEFOP P / KOCKÁZATMENTES EGYENÉRTÉKES II. Állítás: Egy Q véletlen kifizetésű eszköz jelenlegi P árára: A zárójelben: Q kockázatmentes egyenértékes diszkontálás: szokásos Észrevétel: a P érték lineáris Q -ban ! A lineáris árazás más értelmezése: arbitrázs megfontolás