Logika Érettségi követelmények: A logika alapvető műveleteinek alkalmazása mindennapi problémák megoldásában. Állítások és tagadásuk megfogalmazása, azok igaz, hamis voltának eldöntése Az “és” ill. a “vagy” műveletek alkalmazása. Egyszerű következtetések, állítások és megfordításuk megfogalmazása. A definíció és a tétel különbözősége.

A logika tárgya, története A logika tárgya a helyes emberi gondolkodás fogalmainak, törvényszerűségeinek vizsgálata. Antik kor - tradicionális logika (Arisztotelész, sztoikusok) Középkor - skolasztikus logika Újkor - a modern szimbolikus logika vagy formális logika (Bacon, Leibniz, Boole, Frege, Peano, Russell), Huszadik század - általánosító elméletek (modális logika, intuicionizmus, fuzzy logikák, kvantumlogika, bizonyításelmélet; Tarski, Gödel). Axiómák: nem bizonyítandó alapfeltevések (például „az egyenes szakasz végtelenül meghosszabbítható”). Alapfogalmak (pont, egyenes); Definíciók (például háromszög); Tételek: a definiált fogalmak tulajdonságait írják le; Sejtés: tétel, bizonyítás nélkül.

A kijelentés Egyszerű kijelentések (nincs logikai művelet) Süt a nap. Kati Zalában született. Minden ember halandó. Van gyűrűs bolygó a Naprendszerben. Összetett kijelentések (ítéletek): szerepelnek bennük logikai műveletek Esik az eső és fúj a szél. Kovács vagy Mészáros lőtt. Paradoxonok: feloldhatatlan ellentmondást tartalmazó mondatok vagy szövegek. Ez a mondat nem igaz.

Tagadás (negáció) Süt a nap. Nem süt a nap. Az autó fehér. NEM IGAZ, HOGY… Süt a nap. Nem süt a nap. Az autó fehér. Az autó nem fehér. Piroska sétál az erdőben. Piroska nem sétál az erdőben. A gyerekek szeretik a csokit. A gyerekek nem szeretik a csokit.

Konjunkció (ÉS) Kint esik az eső és fúj a szél. A magyar nyelv ezt a kapcsolatot többféleképpen is kifejezheti: Esik is, és fúj is. Esik, de fúj is. Esik, ugyanakkor fúj is.

5.1 mintapélda Milyen számokra teljesülnek a következő egyenlőtlenségek együtt: 2x – 4  0 és x – 5  0? ÉS A kettő feltételnek egyszerre kell teljesülnie, azaz 5  x. 2 5

Diszjunkció (VAGY) A szemtanú mondja: az autó piros volt, vagy Suzuki.

6.1 mintapélda I. Milyen számokra teljesül, hogy ? lépés: zérushelyek (előjelváltások) meghatározása: x – 4 zérushelye x = 4, ott vált előjelet. 5 – x zérushelye x = 5, ott vált előjelet. 2. lépés: számegyenes készítése az intervallum végekkel és a számláló-nevező előjeleivel.

6.1 mintapélda II. 3. lépés: leolvassuk, hogy milyen intervallumokon eltérő a számláló és a nevező. és kész a megoldás: x ≤ 4 vagy x > 5, intervallum jelöléssel: ]- ; 4 ]  ]5; [

7.1 mintapélda Milyen feltételek mellett hamis a következő kijelentés: „esik az eső és fúj a szél” ? Megoldás: Az ÉS egyidejűséget fejez ki, ezért a megoldás: vagy nem esik az eső, vagy nem fúj a szél, vagy egyik sem. Megjegyzés: A fenti kijelentés tagadását kétféleképpen is felírhatjuk: Nem igaz, hogy esik az eső és fúj a szél. Nem esik az eső, vagy nem fúj a szél.

Mikor nem teljesül x-re, hogy 3  x < 5 ? 7.2 mintapélda Mikor nem teljesül x-re, hogy 3  x < 5 ? A számegyenesről leolvasható, hogy x < 3, vagy x ≥ 5.

Igazságtáblák*, 7.3 mintapélda* X NEM X hamis igaz X Y X ÉS Y X VAGY Y hamis igaz 7.3 Mi lesz a logikai értéke a következő logikai kifejezésnek: (2  5) ÉS (4  5) VAGY (3  4) Megoldás: (2  5) ÉS (4  5) VAGY (3  4) = igaz ÉS igaz VAGY hamis = = igaz VAGY hamis = igaz

7.4 mintapélda* A=igaz, B=hamis, C=hamis, D=igaz esetén mi lesz a logikai értéke az alábbi kifejezések: (A ÉS NEM B) VAGY NEM (NEM C ÉS D) ? Megoldás: kiértékeléssel (A ÉS NEM B) VAGY NEM (NEM C ÉS D) = = (igaz ÉS NEM hamis) VAGY NEM (NEM hamis ÉS igaz) = = (igaz ÉS igaz) VAGY NEM (igaz ÉS igaz) = = igaz VAGY NEM igaz = = igaz VAGY hamis = = IGAZ. Vagyis a kifejezés értéke IGAZ.

7.5 mintapélda Minek a tagadása a következő mondat: Ma hétfő van, és nincs nyitva a bolt. Megoldás: Formálisan így fogható fel a mondat: A és B. Ez NEM A VAGY NEM B típusú mondat tagadása, vagyis az eredeti mondat így hangzott: Ma nem hétfő van, vagy nyitva van a bolt.

7.5 mintapélda Írd fel a következő kifejezés igazságtáblázatát: NEM A VAGY (A ÉS NEM B) Megoldás: A B NEM A VAGY (A ÉS NEM B) 1. hamis igaz 2. 3. 4.

Összefoglalás Tekintsük át, miről volt szó ebben a modulban: megtanultuk, hogy mi az a kijelentés, mik a logikai értékek; pontosítottuk a tagadásról szóló ismereteinket; összekapcsoltunk ÉS-sel és VAGY-gyal kijelentéseket, hogy új kijelentést kapjunk; megvizsgáltuk, hogy milyen feladatoknál használható a konjunkció és a diszjunkció; megtanultuk tagadni is ezeket.