ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)

Az előadások a következő témára: "ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)"— Előadás másolata:

1 ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)

2 KONJUNKTÍV NORMÁLFORMA
REZOLÚCIÓ-bizonyítási eljárás

3 ÍTÉLETKALKULUS – SZINTAXIS
jelkészlet elválasztó jelek: ( ) logikai műveleti jelek:      ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r, . . . ítéletkonstansok: T, F szintaxis szabályai atomi formula (atom) minden ítéletkonstans atomi formula minden ítéletváltozó atomi formula formula minden atomi formula egyben formula is ha A és B formulák, akkor (A), (A  B), (A  B), (A  B), (A  B) kifejezések is formulák a formulaképzés szabálya rekurzív

4 ÍTÉLETKALKULUS – SZEMANTIKA
logikai formula (wff): szabályos szimbólumsorozat – igazságértéke ad jelentést (szemantika szabályai szerint) minden ítéletváltozóhoz igaz (T) vagy hamis (F) érték rendelése minden lehetséges módon interpretált formula kiértékelése műveleti jelek szemantikája alapján (igazságtáblák) formula interpretációja p q p p  q p  q p  q p  q T F Modell: az az interpretáció amelyben a formula igaz

5 IMPLIKÁCIÓ p  q Ha a kutyusok repülnek akkor 2=1.  T   F F
  F F hamis előtagból bármi következik? Értelmezés lehet: „Ha p igaz, akkor azt állítom, hogy q is igaz, egyébként q-ról nem állítok semmit.” p  q  p  q

6 ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK
Igazság - Egy formula igaz, ha az, amit leír, valóban előfordul a világban. - Egy formula igazsága függ a világ állapotától, és az interpretációtól (szemantikától) Tautológia / Érvényes formula: pl. A vA - A formula igazsága nem függ sem a világ állapotától, sem a szemantikától. - minden interpretációban igaz, minden modellben benne van T Kontradikció /Ellentmondás: pl. A A - a világ soha nem olyan, mint amilyennek leírja - minden interpretációban hamis, nincs modellje

7 FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA
Két formula ekvivalens, ha minden interpretációban ugyanaz a logikai értékük. Nevezetes ekvivalenciák, logikai törvények: A  B = (A  B)  (B  A) A  B = A  B A  B = B  A kommutatív A  B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) asszociatív A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) disztributív

8 FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA
Logikai törvények A  F = A A  T = A A  T = T A  F = F A  A = T A  A = F (A) = A kettős tagadás (A  B) = A  B (A  B) = A  B deMorgan A  (A  B) = A A  (A  B) = A abszorpció, elnyelés A  A = A A  A = A idempotencia

9 LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY A W
W formula az A formulának logikai következménye, ha W igaz minden olyan interpretációban, amelyben A igaz. LEGALÁBB OTT IGAZ, AHOL A. A1 , , An W bizonyos formulákról tudjuk, hogy igazak (A1, , An) és ha W ezek logikai következménye, akkor W-nek is igaznak kell lennie Hogy lehet eldönteni? Pl. Modus Ponens a  (a  b) b a b a  b a  (a  b) T F

10 LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY Logikai következmény fogalmának eldöntése a tautológia fogalmával: A1 , , An W akkor és csak akkor, ha (A1   An)  W tautológia Logikai következmény fogalmának értelmezése a kontradikció fogalmával: A1 , , An W akkor és csak akkor, ha A1   An W kontradikció Elnevezések: (A1   An)  W tétel A1   An tétel axiómái, feltételei W következmény, konklúzió

11 TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL
F1: p  q F2: q F3: p ?: F1  F F3 lehetőségek: A definíció alapján beláthatjuk, hogy minden olyan interpretációban, amelyben F1F2 igaz, igaz F3 is bebizonyíthatjuk, hogy F1F2F3 tautológia beláthatjuk, hogy F1F2F3 kontradikció p q F1 F2 F1F2 F3 F1F2F3 F1F2F3 T F    a b c

12 TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL
Az interpretációk száma: 2 változó esetén 4 - ok 3 változó esetén 8 - ok 4 változó esetén 16 – nem annyira ok, elveszítjük a fonalat  … n változó esetén 2n Mekkora szám a 2n ?

13 TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL
Elég kilátástalannak tűnik nagy számú ítéletváltozó esetén az igazságtáblával történő tételbizonyítás  Robinson, 1965: REZOLÚCIÓ

14 Rezolúció, Robinson, 1965 (fénykép 2012-ből)
Alapelv: Mind a feltételeket, mind a következmény negáltját (ld. köv. pont) konjunktív normálformára hozzuk A feltételek következményeit kontradikcióval bizonyítjuk: Feltétel_1Feltétel_2…  Feltétel_k  Következmény A kialakított formula kontradikció Alkalmazzuk a rezolúció alap következtetési sémáját mindaddig, amíg üres klózt nem kapunk: a  b d c  b d _____________ __________ a v c  (NIL)

15 Rezolúcióval kapcsolatos következtetési sémák
Mire is lesz jó? a  b c  b Ezt a sémát hívjuk a rez. alap következtetési szabályának ____________ a v c Másfajta értelmezések ugyanarra: a  b a  b c  a c  a _____ ________ c  b c  b

16 TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
Rezolúciós eljárás: cáfoló eljárás (ellentmondással történő bizonyítás), mellyel egy konjunktív normálforma ill. egy klózhalmaz kielégíthetetlenségét bizonyítjuk. Konjunktív normálforma: speciális részformulák=klózok konjunkciója klóz (K): literálok diszjunkciója ill. egy literál literál: egy ítéletváltozó vagy annak negáltja Implikációs normálforma: NEM KELL TUDNI!  speciális részformulák (klózok) konjunkciója klóz: implikáció – bal oldalon atomok konjunkciója, jobb oldalon atomok diszjukciója (p  q)  (q  r)  (s  r  F)  (T  p)  (T  s) (p  q)  (q  r)  (s  r)  p  s K1  K  K  K4  K5

17 KONJUNKTÍV NORMÁLFORMA
Literál: negált vagy negálatlan atom Pozitv: A Negatív, ha A Tétel: Minden formulához létezik vele ekvivalens konjunktív normálforma. Biz.: 1.  2. De Morgan ()  ()  3. ()( )( ) ()( )( ) Def.: DNF (diszjunktív normálforma): konjunkciók diszjunkciója Megjegyzés: A KNF és DNF duális: ua. mindkettő, csak  helyett ,  helyett . KNF: Klózok (diszjunkciók) konjunkciója K1K2…Kn

18 TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
minden formula átalakítható normálformára Transzformációs szabályok: A  B = (A  B)  (B  A) ( kiküszöbölése) A  B = A  B ( kiküszöbölése) (A  B) = A  B ( hatáskörének redukálása) (A  B) = A  B ( hatáskörének redukálása) A = A ( hatáskörének redukálása) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (klózok konjunkciójának létrehozása) (((p  q)  (q  r)  (s  r))  (p  s)) (((p  q)  (q  r)  (s  r))  (p  s)) b.) ((p  q)  (q  r)  (s  r)  (p  s)) d.) (p  q)  (q  r)  (s  r)  (p  s) c.) e.) (p  q)  (q  r)  (s  r)  p  s c.) d.) e.)

19 ÍTÉLETKALKULUS – PÉLDA
állítások: A1: Ha süt a nap, akkor Péter strandra megy. A2: Ha Péter strandra megy, akkor úszik. A3: Péternek nincs lehetősége otthon úszni. A4: Ha süt a nap, akkor Péter nem marad otthon. A1, A2, A3 állításokból következik-e A4? atomok (atomi formulák): p: süt a nap q: Péter strandra megy r: Péter úszik s: Péter otthon marad eredeti állítások szerkezetét tükrözi formulák: F1: p  q= pq F2: q r= qr F3: (s  r)= s   r F4: p  s= p  s F4: p  s KLÓZOK: p és s 2 db!

20 TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
(p  q)  (q  r)  (s  r)  p  s formula klóz alak, klóz halmaz: C1: p  q C2: q  r C3: s  r C4: p C5: s Lássuk be, hogy C C5 klózhalmaz kontradikció indirekt bizonyítás: tfh létezik modellje (minden klóz igaz) C4 igaz, ha p = T C5 igaz, ha s = T C1 igaz, ha q = T (mivel p = F, C4-ből) C3 igaz, ha r = F (mivel s = F, C5-ből) C2 igaz, ha q = F (mivel r = F, C3- és C5-ből) ellentmondás!

21 TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
A bizonyítási eljárás szemléltetése: C1: p  q C2: q  r C3: s  r C4: p C5: s rezolúciós gráf, cáfolati gráf új klóz előállítása: rezolúcióval p  q s  r q  r q p s r q q r q NIL q NIL r q

22 TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
A1, A2, …, An B ?? A1  A2  …  An   B kontradikció igazolása rezolúciós eljárással A rezolúciós eljárás lépései: Cél tagadása, KNF-RE hozása az axiómákhoz való hozzáadása – nem ettől indirekt! Az A1  A2  …  An   B formula klóz formára hozása (kiindulási klózhalmaz) Az üres klóz (NIL) előállításáig: a klózhalmazból két rezolválható klóz választása, a kiválasztott klózok rezolvensének képzése, a rezolvens klóz hozzáadása a klózhalmazba.

23 TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL
rezolválható klózok: ún. komplemens literálpárt tartalmaznak komplemens literálpár: egy ítélet változó és a negáltja együtt rezolvens klóz: komplemens literálok elhagyása után maradó részek diszjunkcióval összekapcsolva üres klóz: NIL, minden reprezentációban hamis rezolúció tulajdonságai: algoritmus? Nemdeterminisztikus + klózkiválasztási szabályok C1: p  q p  r C2: q  r p  s C3: s  r s C4: p NIL C5: s helyes (valóban logikai következmény) teljes (minden logikai következmény belátható rezolúcióval)