Analitikus fák a kijelentéslogikában

Az előadások a következő témára: "Analitikus fák a kijelentéslogikában"— Előadás másolata:

1 Analitikus fák a kijelentéslogikában
Vizsgáljuk a 6.10 feladat következtetését! A fán lesz egy nyitott ág, tehát a következtetés nem helyes. A nyitott ágról leolvashatjuk, milyen lehet az ellenpélda. 6.13 Három (és több) tagú diszjunkciót (és konjunkciót) a program nem tud értelmezni. Be kell zárójelezni (mondjuk hátulról). Tehát “A  B  C  D”-ből ez lesz : “A  (B  (C D))” A fán megint lesz egy nyitott ág, de ezen szerepel Large(e) is, Small(e) is. Ez is ellentmondás, de nem szigorú értelemben vett logikai, hanem analitikus ellentmondás. A két mondat a benne szereplő nem logikai kifejezések jelentése miatt nem lehet egyszerre igaz. Tehát a következtetés kijelentéslogikailag nem helyes, de analitikusan igen.

2 HF. A 6.11 és 6.12 következtetések közül az egyik helyes, a másik hibás. Készítsék el mind a kettőhöz az analitikus fát, és a nyitott ág(ak) alapján a hibáshoz adjanak meg ellenpéldát Tarski’a Worldben. Akik már adtak be jó analitikus fát, azoknak ugyanez a feladat a következtetésekkel.

3 A kondicionális törvényei
Modus ponens avagy leválasztási szabály (MP): “Ha A, akkor B”-ből és A-ból következik B. Formálisan: {A  B, A}  B Modus tollens (MT): “Ha A, akkor B”-ből és “Nem B”-ből következik “Nem A”. Azaz: {A  B, B}  A Kontrapozíció elve: A  B  B  A (Vigyázni az előidejűségre! Köznyelvben “Ha A, akkor B” “Csak akkor B, ha A”-val egyenértékű.) Még egy fontos törvény: A  (B  C)  (A  B)  C A kondicionális nem asszociatív! A  (B  C) nem ekvivalens (A  B)  C –vel. Egy következtetési szabály: {A  B, B  C}  A  C ( láncszabály)

4 Lebontási szabályok a kondicionálishoz
Emlékeztető: A  B  A  B  (A B) Negálatlan kondicionális lebontása: A  B A B Negált kondicionális lebontása: (A  B) A B A láncszabályt könnyen igazolhatjuk analitikus fával. Keressünk analitikus fával olyan igazságértékelést, amely mellett “A  (B  C)” igaz, “(A  B)  C” pedig hamis!

5 Kitérő a szigorú kondicionálisról
Egy kondicionális akkor hamis, ha az előtagja igaz és az utótagja hamis. És mikor hamis egy feltételes állítás? Y tényleg azt állítja, hogy Z csődbe fog menni és nem lesz öngyilkos? Talán valószínűbb értelmezés, hogy erre gondol: Lehetséges, hogy Z csődbe megy és mégsem lesz öngyilkos. De akkor X feltételes kijelentése azt jelentette, hogy: Lehetetlen, hogy (Z csődbe megy és nem lesz öngyilkos). Azaz más szavakkal: Szükségszerű, hogy ( (Z csődbe megy)  (Z öngyilkos lesz)) Ez a feltételes kijelentések szigorú kondicionális olvasata. Nagyjából Leibnizig egyeduralkodó a logika történetében, kivéve: megarai Philón. A században is számos híve van, C.I.Lewistól kezdve. Olyan logikai rendszerben érhető el, amelyben vannak „szükségszerű, hogy”, „lehetséges, hogy” jelentésű konnektívumok (modális logika). X: Ha Z csődbe megy, akkor öngyilkos lesz. Y: Ez nem igaz!

6 Bikondicionális (1) Csak akkor kaptok, ha maradtok.
(1) azt állítja, hogy annak, hogy kapnak, szükséges feltétele az, hogy maradjanak. (2) azt, hogy elégséges feltétele. A kettő konjunkciója szükséges és elégséges feltétel: (1)(2) Akkor, de csak akkor kaptok, ha maradtok. Ez a (materiális) bikondicionális. Hibás elnevezése: (materiális) ekvivalencia. Jele: ‘’ (régebben: ‘’) Rövidített kifejezése: angolul iff, magyarul csakkor vagy hha. A B  (A  B)  (B  A) (A  B)  (A  B) Akkor igaz, ha A és B igazságértéke megegyezik. h A B A B T F

7 A bikondicionális negációja: (A  B) akkor igaz, ha A és B igazságértéke különbözik.
Ez tkp. a ̒vagy’ kizáró használatának felel meg. Szokás -val rövidíteni és kizáró diszjunkciónak nevezni. (Mi nem vezetjük be külön konnektívumként.) A bikondicionális lebontási szabályai: A  B A A B B (A  B) A A B B Itt kell használni a Ruzsa program harmadik lebontási opcióját (elágaztatás, de mindkét ágra két mondat kerül).

8 A bikondicionális nyilvánvalóan kommutatív.
Asszociatív-e? Határozzuk meg analitikus fával (A  B)  C igazságfeltételeit! Akkor igaz, ha A, B és C között páros sok hamis van. (Ez általánosítható.)

9 Használat és említés “A  B” azt jelenti, hogy A-nak és B-nek történetesen, itt és most megegyezik az igazságértéke. “A  B” azt jelenti, hogy A-nak és B-nek logikai okokból mindig megegyezik az igazságértéke. Avagy azt jelenti, hogy “A  B” logikai igazság. Még egy fontos különbség: Amikor egy “A  B” vagy “A  B” alakú mondatot állítok, akkor az A és B mondatokat használom, nem pedig említem. Amikor azt állítom, hogy A-ból következik B, vagy A ekvivalens B-vel, akkor az A és B mondatokat megnevezem, róluk állítok valamit, tehát említem őket. Köznyelvben, konkrét példában az ̒az, hogy’ kifejezés használata utal erre. Abból, hogy b kocka, következik az, hogy nem tetraéder. A ̒Cube(b) Tet(b)’ mondat a blokknyelv egy logikai (analitikus) igazsága. Amikor nyelvi jelekről beszélünk, ügyelnünk kell a használat és az említés megkülönböztetésére. Ennek eszköze az egyvesszős, direkt idézőjel, amely tetszőleges kifejezésből a kifejezés nevét állítja elő. Pl. az a jelsorozat, hogy ̒Jancsi’, egy fiúnévnek a neve. A kétvesszős (kvázi-) idézőjel sémából képez névsémát. Pl. amikor “A  B” alakú mondatokról beszélünk.

10 HF: 7.12 (fordítás FOL-ra, ajánlott hozzá a 7.13 is)
Figyelem: az ̒̒̒̒‘only if’-fel ugyanaz a helyzet, mint a ‘̒̒̒̒csak akkor’-ral. “A only if B” azt jelenti, hogy A-nak szükséges feltétele B, azaz ha A fennáll, akkor B-nek is teljesülnie kell. Tehát FOL-fordítása: “AB”. Jegyszerzés: A gyakorlat anyagában négy feladattípus szerepelt: Formalizálás, azaz fordítás természetes nyelvről FOL-ra Modellek készítése Tarski’s Worldben Igazságtáblázat készítése (doc-ban vagy Boole-lal) Analitikus fa készítése (következtetések helyességének eldöntésére) A jegyszerzés kritériuma, hogy minden típusból legyen legalább olyan próbálkozás, ami azt mutatja, hogy világos, miről van szó. A jeles kritériuma, hogy mindegyik típusból a nehezebb feladatok közül legyen jó (nem feltétlenül hibátlan) megoldás. A kritériumok teljesíthetők a félév során beküldött megoldásokkal, akár a vizsgaidőszakban beszámoló formájában.