Bevezetés a matematikába I

Az előadások a következő témára: "Bevezetés a matematikába I"— Előadás másolata:

1 Bevezetés a matematikába I
1 Bevezetés a matematikába I Előadó Farkas Gábor ELTE IK Komputeralgebra Tanszék compalg.inf.elte.huA tanszék munkatársai Farkas Gábor Segédanyagok Budapest ősz

2 Bevezetés a matematikába szerkesztette: Járai Antal
Ajánlott irodalom 2 Bevezetés a matematikába szerkesztette: Járai Antal szerzők: Farkas Gábor, Fülöp Ágnes, Gonda János Járai Antal, Kovács Attila, Láng Csabáné Székely Jenő ELTE Eötvös Kiadó ISBN

3 Hogyan definiálhatnánk a formulákat?
3 1.1 Logikai alapok Alapfogalmak: kijelentés (ítélet) igazságérték (i, h) predikátum (logikai változót tartalmazó definiálatlan alapfogalom) elemi formula logikai formulák (logikai kifejezések, mondatok) ¬, , , ,  logikai jelek (műveletek) (precedencia) kvantorok: ,  Hogyan definiálhatnánk a formulákat?

4 A B AB i h A B AB i h A A i h A B AB i h A B AB i h
4 Igazságtáblázat A B AB i h A B AB i h A A i h A B AB i h A B AB i h

5 kötött és szabad előfordulás
5 Def. (logikai formulák (logikai kifejezések, mondatok)) Ha A, B formula, akkor ¬A, (A  B), (A  B), (A  B), (A  B), továbbá (xA) és (xA) formulák. Formulán belül: kvantor hatásköre kötött és szabad előfordulás szabad változó ( szabad előfordulása) zárt formula: nincs benne szabad előfordulás (kül. nyílt formula)

6 kielégíthető formula: alkalmas helyettesítéssel adhat igaz értéket
tétel (tautológia) : mindig igaz értéket adó formulák 1. A  ¬A (kizárt harmadik) 2. ¬(A  ¬A) (ellentmondás) 3. ¬(¬A)  A (kettős tagadás) 4. ¬(A  B)  ¬A  ¬B (De Morgan) 5. ¬(A  B)  ¬A  ¬B (De Morgan) 6. A  B  ¬B  ¬A (kontrapozíció) 7. A  (A  B)  B (modus ponens) 6

7 bizonyítás (levezetés) direkt, indirekt bizonyítás
10. xy P(x,y)  yx P(x,y) 8. ¬x P(x)   x ¬P(x) 9. ¬ x P(x)  x ¬P(x) 11.  xy P(x,y)  y x P(x,y) bizonyítás (levezetés) direkt, indirekt bizonyítás axiómák ellenpélda ellentmondásmentesség teljesség ( tétel levezethető axiómákból) függetlenség (axiómák nem vezethetők le egymásból) szükséges, elégséges feltétel teljes indukció 7

8 Példa 8 x illeszkedik z -re x pont z egyenes

9 Példa N(x) : x nő definíció axióma új predikátum predikátum tételek
9 Példa N(x) : x nő definíció axióma új predikátum predikátum tételek (*) G(x,y) : x gyereke y -nak unoka

10 Bizonyítsuk be, hogy nem lehet senki a saját unokája.
tétel, bizonyítása indirekt módon Tfh  xU(x, x)   z(G(x, z)  G(z, x)) (*) 10

11 1.2 Halmazelméleti alapfogalmak
11 1.2 Halmazelméleti alapfogalmak A halmazelmélet predikátumai: „halmaznak lenni” és „eleme” . A:= { felsorolás} A:= { x  B | F(x) } A:= { x  B : F(x) } Naív és axiomatikus halmazelmélet

12 Jelölés! részhalmaz  , valódi részhalmaz 
A  B   x (xA  xB) 12 A  B   x (xA  xB)   y (yA  yB) Jelölés! részhalmaz  , valódi részhalmaz  (vagy részhalmaz  , valódi részhalmaz )

13 Az üres halmaz létezését is axióma biztosítja. Jel: 
Miért van szükség a részhalmaz axiómára? 13 Russel-paradoxon Legyen A tetszőleges halmaz és B A   B A Az üres halmaz létezését is axióma biztosítja. Jel: 

14 Def. (Unióképzés) Def.(Metszetképzés) 14

15 15

16 Szimmetrikus differencia
Különbség A \ B = { x  A | x B } Szimmetrikus differencia A Δ B = { x | x A \ B  x  B \ A }= ={ x  A  B | x  A  B } Ha X halmaz és A  X , akkor A halmaz X –re vonatkozó komplementere A’ = X \ A 16

17 17

18 Def. Ha A halmaz, akkor azt a halmazt, amelynek elemei A részhalmazai, A hatványhalmazának nevezzük.
1.2.42 18