Mintaillesztés Knuth-Morris-Pratt (KMP) algoritmus Csóka Boglárka Algoritmusok és bonyolultságuk 2019. 04. 12.

Miről lesz szó? Bevezetés Elmélet - mintaillesztés majd KMP Konkrét példa Futási idő elemzése Gyakorlati alkalmazás Összefoglalás

Bevezetés Lényege: egy minta összes előfordulását keresi a szövegben Jelentősége: első lineáris idejű „string matching” algoritmus (1970) Ötlet: ha nem egyezik meg meghatározza, hogy hol kezdődhet a következő illeszkedés (szóból nyert információval), így elkerülhető a korábban megvizsgált karakterek újra egyeztetése

Elmélet – mintaillesztés I. Jelölések: szöveg: n hosszúságú T[n] tömb minta: m hosszúságú P[m] tömb (ahol m ≤ n) Ezen tömbök elemei: ∑ véges ábécé jelei (pl. {0,1} vagy {a, b, …. , z}) Azt mondjuk, hogy a P minta előfordul s eltolással a T szövegben (vagy másképpen fogalmazva a P minta a T szöveg (s + 1)-edik pozíciójára illeszkedik), ha 0 ≤ s ≤ n − m és T[s+1 . . s+m] = P[1 . . m] (azaz: ∀ j ∈ [1 . . m] : T[s + j] = P[j])

Elmélet - mintaillesztés II. Konkatenáció: Az x és y sorozatok konkatenációja egy olyan sorozat, amelyben x jeleit y jelei követik, és a hossza |x| + |y|. Jele xy. Prefix: A w sorozat az x sorozat prefixe, ha x = wy. Szuffix: A w sorozat az x sorozat szuffixe, ha x = yw. Példa: X = abcca W1 = ab, Y1= cca W2 =cca, Y2= ab „ab” prefixe az „abcca”-nak „cca” szuffixe az „abcca”-nak

Elmélet – KMP Mintapélda: táblán Előfeldolgozás π [1 . . m] segédfüggvényt határozzuk meg a minta alapján (Futásidő: Θ(m)). Megadja, hogy hogyan illeszkedik a minta önmaga eltoltjaira. Leghosszabb prefixet nézünk ami szuffix is. Illesztés Mintapélda: táblán

Pszeudokódok

Futásidő I. Amortizáló elemzés segítségével (potenciál módszer): A Φ potenciál függvény minden Di adatszerkezethez egy valós Φ(Di) számot rendel, ami a Di adatszerkezethez rendelt potenciál. c*i = ci + Φ(Di) − Φ(Di−1) Művelet amortizációs költsége = tényleges költség + a művelet által okozott potenciálváltozás n művelet: ∑ c*i felső becslés n i=1

Futásidő II. Prefix függvény: k potenciált rendelünk az algoritmus aktuális k értékéhez (nem lehet negatív) 3. sor: kezdeti értéke k=0 6. sor: while ciklus ha belemegy: csökkenti, mert π[k] < k ciklusmag egyes végrehajtásait kiegyenlíthetjük a potenciál függvény értékének csökkentésével 8. sor: if ha belemegy: növeli 1-gyel 5-9. sorokból álló ciklusmag amortizált költsége O(1)

Futásidő III. A külső ciklus m-szer fut le, így a futási ideje: Θ(m) Hasonlóan megmutatható az Illesztő függvényre, hogy futási ideje: Θ(n). Így összegezve Θ(m+n) idő alatt futó lineáris algoritmus

Gyakorlati alkalmazás Legtöbb szókeresési szituációban ez használatos, mivel gyorsabb és kevesebb memóriát használ, mint a többi algoritmus Hosszú szövegek, melyek kevés féle karakterből állnak (pl. DNS- láncokban minta keresése) Kód, videó (lásd: források)

Összefoglalás Célja: a szövegben szereplő összes minta megtalálása, helyeiknek visszaadása Lineáris futási idejű, leghatékonyabb algoritmus Alapötlete: prefix függvényből információt nyerünk, melynek segítségével megoldható, hogy nem kell mindig visszalépni a szövegben a minta kezdetére

Források Új algoritmusok (Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein) http://www.informatom.hu/sze/01/LGB_SZ001/Cormen-Lieserson- Rivest-Stein.-.Uj.algoritmusok.pdf ELTE Algoritmusok és adatszerkezetek honlap: http://tamop412.elte.hu/tananyagok/algoritmusok/lecke33_lap1.ht ml Videó: https://www.youtube.com/watch?v=2ogqPWJSftE Kód: https://www.geeksforgeeks.org/kmp-algorithm-for-pattern- searching/

Köszönöm szépen a figyelmet!