Valós számok Def. Egy algebrai struktúra rendezett test, ha test és rendezett integritási tartomány. Def. Egy (T; +,  ;  ) rendezett test felső határ tulajdonságú, ha minden nem üres felülről korlátos részhalmazának létezik T - ben felső határa (legkisebb felső korlátja). 1

3.3.6. izomorfizmus Azt jelenti, hogy lényegében 1 db felső határ tulajdonságú test van! Def. Egy (vagy a) felső határ tulajdonságú testet a valós számok testének nevezünk (nevezzük), jelben . 3.3.11. 2

ha x = n  N+  x = n, különben x = n – 1. Néhány függvény: x, ha x  0 –x, ha x < 0 0, ha x = 0 x / | x |, kül. abszolút érték: | x | = előjel: sgn(x) = alsó egész rész: x = Z legnagyobb eleme, amely nem nagyobb, mint x . felső egész rész: x = Z legkisebb eleme, amely nem kisebb, mint x . Észrevételek: x = 0  x = x = 0, Ha x > 0: arkhi. tul.ból és N jólrendezettségéből  n  N+, ahol n a legkisebb olyan természetes szám, amely n  x  n = x , ekkor ha x = n  N+  x = n, különben x = n – 1. ha x < 0  x = – – x = n, különben x = – – x . 3

Rendezés kiterjesztése: Bővített valós számok 4 Rendezés kiterjesztése: – ∞ < x < +∞ teljesüljön minden x valósra. Bármely részhalmaznak van szuprémuma és infinuma. sup = – ∞, inf = + ∞ . Összeadás x valósra (nem mindenütt értelmezett): x + (–∞) = (–∞) + x = –∞, ha x < +∞, és x + (+∞) = (+∞) + x = +∞, ha x > –∞. Ellentett képzés: – (+∞) = –∞, és – (–∞) = +∞.

Természetes számok x valós számra legyen x+ := x + 1. 5 x valós számra legyen x+ := x + 1. Def. Az halmaz jelentse a valós számok mindazon N részhalmaza-inak metszetét, amelyek rendelkeznek a következő tulajdonságokkal: 0  N, és ha n  N, akkor n+  N. Peano – axiómák

(1), (2) következik a definícióból. Lemma A természetes számok halmaza rendelkezik a Peano – axiómákban felsorolt tulajdonságokkal. Biz. (1), (2) következik a definícióból. (5), a matematikai indukció elve, azért áll fenn, mert S halmaz rendelkezik az (1), (2) tulajdonsággal   S. (4) abból következik, hogy a valós számtestben az additív művelet reguláris. 6

Hasonlóan n szerinti indukcióval látható be, hogy 7 Legyen S = { n  : n+ > 0}. Ekkor 0  S, továbbá ha n  S, akkor (n+)+ > 0 + 1 > 0  n+  S. Hasonlóan n szerinti indukcióval látható be, hogy n, m  esetén n + m, nm  továbbá, ha n ≥ m, akkor n – m 

-n értelmezett függvények 2.1.4. Végtelen sorozatok -n értelmezett függvények Mi lesz a g ? 8

2.1.5. 2.1.6. 2.1.7. 9

m  N :  sm : N  N függvény, amelyre Def. (összeadás) m  N :  sm : N  N függvény, amelyre sm(0) = m  n  N : sm(n+) = (sm(n))+ . sm(n) m és n szám összege. Észrevételek: m+ = (sm(0))+ = sm(0+) = sm(1) = m+1 , m = (sm(0)) = m+0 . 10

mN :  pm : N  N függvény, amelyre Def. (szorzás) mN :  pm : N  N függvény, amelyre pm(0) = 0  nN : pm(n+) = pm(n)+m . pm(n) az m és n szám szorzata. jelölés : mn vagy mn Észrevételek: 11 = p1(1) = p1(0+) = p1(0)+1 = 0+1 = 1 . 11

Def. ( rendezése) n  m   k  : n + k = m . Tetszőleges részbenrendezett halmaz jólrendezett, ha bármely nemüres részhalmazának van legkisebb eleme. 12

Fibonacci számok Pheidias 13

Egzisztencia: kn  k   k : kn > m, pl. k = m+ 14 2.3.39. Biz. Egzisztencia: kn  k   k : kn > m, pl. k = m+ legyen k a legkisebb ilyen term. szám, ekkor k  0   qN : k = q+  qn  m def   rN : m = qn + r tfh r  n  m  qn+n = kn > m  r < n . Unicitás: tfh  q’, r’ : m = q’n + r’ és r’ < n q’ > q  m = q’ < q hasonlóan látható

tfh 0 < m’ < m esetén beláttuk 15 2.3.41. Biz. tfh 0 < m’ < m esetén beláttuk maradékos osztás q-val : ! m’, r  N : m = m’q + r, és r < q . m’ = 0  n = 0 és a0 = r , m’  0  m’ < m indukciós feltevés  maradékos osztás egyértelműsége 

16 Egész számok Racionális számok Irracionális számok Def. Egy (T; +,  ;  ) rendezett test arkhimédészi tulajdonságú, ha  x, y  T: x > 0 esetén n  N: nx  y . Ekkor T arkhimédészien rendezett.

T felső határ tulajdonságú rendezett test Lemma 17 T felső határ tulajdonságú rendezett test  T arkhimédészi tulajdonságú. Biz(indirekt) tfh nem  y felső korlátja A = {nx | n  N}-nak. Legyen z = supA  z – x < z nem felső korlát  n : nx > z – x  (n + 1)x > z 3.3.4.

Tétel(2 nem racionális) Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2 . Biz(indirekt) Tfh van: x x = m / n , m, n  N+ és az m minimális 2 = x2 = m2 / n2  m2 = 2n2 Tehát m páros  m = 2k, k  N+ 4k2 = 2n2  2k2 = n2 Tehát n is páros: n = 2j , j  N+ m / n = 2k / 2j = k /j  m nem minimális 18

(a, b)  (c, d) = (ac – bd, ad + bc ) . Komplex számok Def. Komplex számoknak nevezzük a valós számpárok halmazát a következő műveletekkel: a, b, c, d  : (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d ) , (a, b)  (c, d) = (ac – bd, ad + bc ) . 19

(a, b) additív inverze: –(a, b) = (–a, –b) Észrevétel: (C, +) Abel-csoport : egységelem: (0,0) (a, b) additív inverze: –(a, b) = (–a, –b) (C*,  ) Abel-csoport : egységelem: (1,0) (a, b) multiplikatív inverze: (a, b) –1 = (a / (a2 + b2), –b / (a2 + b2)) Kétoldali disztributivitás teljesül 20

(immaginárius egység: i = (0, 1), ahol i2 = –1) Alakok: Re(z) = Im(z) = algebrai z = x + yi (immaginárius egység: i = (0, 1), ahol i2 = –1) trigonometrikus z = r(cos(t) + isin(t)) abszolút érték (hossz) argumentum konjugált Euler-féle : z = reiφ 21

(11) |Re(z)|  |z|, |Im(z)|  |z| - (5) z  z = 2iIm(z) A komplex számok halmaza nem rendezhető, mert rendezett integri-tási tartományban negatív szám négyzete pozitív kellene legyen! Észrevételek - (7) z  0 : z 1 = z / |z|2 - - (1) z = z (8) |0| = 0, z  0 : |z| > 0 - - (2) (z + n) = z + n - ____ (9) |z| = |z| - - (3) (z  n) = z  n (10) |zw| = |z|  |w| - (4) z + z = 2Re(z) (11) |Re(z)|  |z|, |Im(z)|  |z| - (5) z  z = 2iIm(z) (12) |z + w|  |z| + |w|, ||z|  |w||  |z  w| - (6) z  z = |z|2 22

Legyen sgn(0) = 0, 0  z : sgn(z) = z / |z|  sgn(z) = sgn(z) és |sgn(z)| = 1, ha z  0 . z  0  ! t : t és t + 2k : sgn(z) = cost + isint, ahol k  Z trigonometrikus alak z = |z|(cost + isint) z argumentuma arg(z) = t , –  < t   , z = 0-ra t mindegy z = |z|(cost + isint)  z = |z|(cost – isint) = |z|(cos(– t) + isin(– t)) 23

Moivre – azonosságok 24 w  0 esetén: n  Z és z  0 

Gyökvonás komplex számból: zn = w, z = ? w = 0  z = 0, különben ha t = arg(w) n – edik egységgyökök n = 1 esetén n – edik primitív egységgyökök: hatványaikkal előállítják a többit pl. 0 biztos nem az, 1 biztosan az 25

3.4.14. zn = w esetén zk-k előállnak a következő alakban:  n > 1 esetén: 3.4.14. 26

(z, w) additív inverze: –(z, w) = (–z, –w) Kvaterniók (H, +) Abel-csoport : egységelem: (0,0) (z, w) additív inverze: –(z, w) = (–z, –w) (H*,  ) csoport : egységelem: (1,0) (z, w) multiplikatív inverze: 27

Legyen j = (0, 1), k = (0, i), ekkor egyértelműen írható fel: p = a + bi + cj + dk valós felcserélhető kvaternióval, komplex nem, pl  H csak ferdetest ij = k, ji = –k, jk = i, kj = –i, ki = –j, ik = j 28