Analitikus fa készítése A Ruzsa program Ellenőrizzük az alábbi következtetés helyességét! A  B A  B B MINDIG INDIREKT ÚTON JÁRUNK EL! Feltételezzük, hogy a premisszák igazak és a konklúzió hamis (azaz a konklúzió negációja igaz). Ha ebből ellentmondásra jutunk, akkor a következtetés helyes volt. Tehát az a kérdés, lehet-e az alábbi három mondat egyszerre igaz? A  B; A  B; B

A két premisszát és a konklúzió negációját vizsgáljuk. Hogyan lehet „A  B” igaz? Két esetben: A igaz, vagy B igaz. Hogyan lehet „ A  B” igaz? Megint két esetben: úgy, hogy az egyik tagja igaz (azaz A hamis), vagy ha a másik tagja (azaz B) igaz. Ez összesen négy eset. Mindegyikhez hozzájön még, hogy B-nek hamisnak kell lennie.

Tehát a négy eset a következő: B hamis, A igaz, A hamis, B hamis, A igaz, B igaz, B hamis, B igaz, A hamis, B hamis, B igaz, B igaz. Egyik sem léphet fel, mert mindegyik esetben valamelyik mondatnak egyszerre kellene igaznak és hamisnak lennie. Tehát a következtetés helyes volt, mert az indirekt úton minden esetben ellentmondáshoz jutottunk.

Analitikus fa: az ilyen okoskodások rendszerezett formája. Általában azt lehet vizsgálni vele, milyen feltételek (igazságértékelések) mellett lehet több mondat egyszerre igaz. Következtetések helyességének vizsgálata: ennek speciális esete. Lehet-e az összes premissza és a konklúzió negációja egyszerre igaz? Vizsgálat módszere: minden mondathoz származékokat rendelünk: olyan egyszerűbb mondatokat, amelyeknek az igazságából következik annak a mondatnak az igazsága, amelyből származnak. Ha egy mondat igazságához az szükséges, hogy a származékai egyszerre legyenek igazak, akkor ezeket egymás alá írjuk. Pl. „A  B” két származéka A és B, egymás alá írjuk. Ha egy mondat többféleképpen is lehet igaz, akkor a fát elágaztatjuk: külön ágakra írjuk azokat a feltételeket, amelyek egyenként elegendőek a mondat igazságához, az pedig szükséges, hogy valamelyikük teljesüljön. Tehát „A  B” származékai A, B, két külön ágon.

Analitikus fát készítő program: Ruzsa (https://ruzsa.tbitai.me/) Használati utasítás: A fára a virtuális és a fizikai klaviatúrával együtt tudunk FOL-mondatokat írni. Először beírjuk a vizsgálandó (kiinduló) mondatokat. Beírjuk az első mondatot: A  B Enter-rel kell befejezni a mondatszerkesztést. Ha hibásan írtuk, az Enter-nél jelzi (külön a zárójelhibákat). A jobb alsó sarokban levő + gombbal tudunk még kiinduló mondatokat hozzáadni a fához, egymás után ugyanígy. Figyelem: ahhoz, hogy mondatot tudjunk beírni, mindig először oda kell klikkelni a helyére – megjelenik egy kék vonal, arra lehet írni. A mondat befejezésénél ne felejtsük el az Entert!

Ha az összes kiinduló mondatot - következtetések ellenőrzése esetében a premisszákat és a konklúzió negációját – felírtuk, akkor hozzákezdhetünk a lebontáshoz, azaz azoknak az eseteknek a számbavételéhez, amikor a kiinduló mondatok mind igazak. Az analitikus fán kétféle lépés lehetséges: elágaztatás és egymás alá írás. A cél az, hogy olyan, tovább nem bontható mondatokat kapjunk eredményül, amelyek megadnak egy igazságértékelést az előforduló atomi mondatokra. Tovább nem bontható mondatok a literálok: az atomi mondatok és negációjuk. Egy atomi mondat megjelenése a fa egy ágán azt kívánja, hogy az illető mondatot értékeljük igazra. Negált atomi mondat azt írja elő, hogy az atomi mondat legyen hamis. Ha a fa egy ágán egy atomi mondat negálva is, negálatlanul is előfordul, az annyit jelent, hogy az az ág teljesíthetetlen előírást tartalmaz, ellentmondásos. Az ilyen ágat zártnak mondjuk. Ez nemcsak literálokra érvényes: Ha egy ágon előfordul tetszőleges mondat és annak negációja, akkor az az ág zárt, és nem érdemes tovább folytatni. Az ág zártságát csillaggal jelezhetjük. Minden ág a fa kiinduló pontjánál (gyökerénél) kezdődik. Az elágazás előtti mondatok mindegyik ághoz hozzátartoznak.

Minden lépésben úgy járunk el, hogy a lebontott mondat igazságához: elegendő az, ha az egyik ágra kerülő származékok mindegyike igaz, szükséges az, hogy legalább az egyik ágon szereplő mondatok mindegyike igaz legyen. Következésképp minden lépés után igaz az, hogy az összes kiinduló mondat igazságához elég az, ha az egyik ágon az összes, még le nem bontott (vagy nem is lebontható) mondat igaz, de szükséges az, hogy legalább az egyik ágon minden ilyen mondat igaz legyen. A végén már a literálokon kívül nincsen le nem bontott mondat. Ezért igaz az, hogy a belőlük adódó igazságértékelések azok, amelyek mellett a kiinduló mondatok mind igazak. Ha egy ág zárt, akkor nincs olyan igazságértékelés, amely az összes mondatát igazra értékelné. Ha az összes ág zárt – azaz az egész fa zárt – akkor nincsen olyan igazságértékelés, amely az összes kiinduló mondatot igazzá teszi. Ha egy következtetés esetében a premisszákból és a konklúzió negációjából kiinduló fa zárt, akkor a következtetés helyes.

Ha a kurzorral rámutatunk valamelyik mondatra, négy lehetőséget látunk. Az első azt jelenti, hogy a mondat igazságának olyan feltétele van, hogy két egyszerűbb mondat közül az egyiknek kell igaznak lennie. Más szóval: a mondatnak diszjunktív származékai vannak. Azaz a mondat lebontásánál el kell ágaztatnunk a fát. Ilyenek az „ A  B” alakú mondatok. A második azt jelenti, hogy a mondat igazságához két egyszerűbb mondat igazságának egyszerre kell teljesülnie. Azaz a mondatnak konjunktív származékai vannak. Ezeket elágaztatás nélkül egymás alá kell írnunk. Ez a helyzet „AB” alakú mondat esetén. A harmadik: két eset van, de mindkettőben két feltétel is van. Ilyenre később lesz példa. Ez az előző kettő kombinációja. A negyedik az az eset, amikor a mondat igazságának feltételét egyetlen egyszerűbb mondat igazságával tudjuk megadni. Ezt is az eddigiek alá kell írnunk. Ilyen (egyedül) az az eset, amikor „A” alakú mondattal van dolgunk. Ugyanezt az opciót használhatjuk akkor is, ha észrevettük, hogy egy ág zárt. Ekkor a keletkező üres helyre mondat helyett a * jelet írjuk, és a továbbiakban nem folytatjuk az ágat.

Ha le akarunk bontani egy mondatot, nekünk kell kiválasztanunk, hogy milyen típusú származékai vannak. Az „ A  B” diszjukciónak diszjunktív származékai vannak. Ezt kiválasztva a táblázatot elágaztatjuk: az alján megjelenik két új ág, egy-egy mondatnak való üres hellyel. Az üres helyekre odaírjuk a származékokat. A CHECK STEP gombbal ellenőrizzük, hogy jól csináltuk-e. Csak ezután tudjuk folytatni. A CHECK STEP ellenőrzi azt is, hogy helyesen nyilvánítottunk-e zártnak egy ágat. NAGYON FONTOS: Ha egy elágazás felett választunk ki egy mondatot lebontásra, akkor a származékai minden alatta lévő, még nyitott ágra rákerülnek. Ha a mondatnak diszjunktív származékai vannak (azaz újra el kell ágaztatni), akkor minden ág elágazik! Példa arra, miért fontos ez: Legyen a két kiinduló mondatunk „A  B” és „C  D”. Ez a két mondat együtt 4 esetben lehet igaz.

Ha már minden mondatot lebontottunk, kivéve az atomi és a negált atomi mondatokat, akkor nem tudjuk tovább folytatni a táblázatot, a fa kész. Ha kiinduló mondatok egy halmaza zárt táblázathoz vezet, akkor ezek a mondatok nem lehetnek egyszerre igazak. Ha a kiinduló mondatok egy következtetés premisszáiból és konklúziójának negációjából állnak, és az analitikus fa zárt, akkor a következtetés helyes. Ha a kész analitikus fán van nyitott ág, akkor tudunk a következtetésre ellenpéldát konstruálni: legyenek a negálatlanul szereplő atomi mondatok igazak, a negálva szereplők hamisak. Emellett az értékelés mellett a kiinduló mondatok mind igazak lesznek, tehát a premisszák igazak, a konklúzió pedig hamis – megvan az ellenpélda.

Lebontási szabályok a Boole-konnektívumokhoz Egy negációval kezdődő mondatot aszerint kell lebontani, hogy minek a negációja. Minden kétargumentumú konnektívumhoz két lebontási szabály tartozik: egy a negálatlan, egy a negált esetre. A  B lebontási szabálya: két diszjunktív származéka van, A és B. Sémában: A  B A B (A  B) lebontási szabálya: két konjunktív származéka van, A és B. (A  B) A B

A  B lebontási szabálya: két konjunktív származéka van, A és B. Sémában: A  B A B (A  B ) lebontási szabálya: két diszjunktív származéka van, A és B. (A  B ) A B A lebontási szabálya: származéka A. A

Gyakorló feladat: TautCon2 A fájlban 10 következtetés van. Az eredeti feladat az volt, hogy válogassuk szét: melyek azok, amelyek még a legszigorúbb, a kijelentéslogikai következményfogalom szerint is helyesek (TautCon, 6 ilyen van), melyik az az egy, amelyik kijelentéslogikailag nem következik, de elsőrendű logikában (FOCon) igen, és melyik 3 az, amelyik csak analitikus következmény (AnaCon). Ezt korábban megoldottuk. Most igazoljuk a kijelentéslogikai (tautologikus) következményeket analitikus fával. Gyakorló feladatok: Igazolják analitikus fával a tankönyv 6.5 és 6.6 feladatában szereplő következtetések helyességét! Helyes következtetés esetében az analitikus fán minden ágnak zártnak kell lennie. A mostani feladatok esetén eleve elárultuk, hogy helyes következtetésről van szó, tehát akkor vagyunk készen, ha minden ágon ott van a program által jóváhagyott * jel. Ha egy feladat készen van és újba akarunk kezdeni, „táblát törölni” a böngésző Reload gombjával lehet .

Vizsgáljuk a 6.10 feladat következtetését! A fán lesz egy nyitott ág, tehát a következtetés nem helyes. A nyitott ágról leolvashatjuk, milyen lehet az ellenpélda. 6.13 Háromtagú diszjunkciót úgy tudunk lebontani, hogy először az első tagot tesszük az egyik ágra, a második és a harmadik tag diszjunkcióját a másikra, majd az utóbbit is kettébontjuk. Háromtagú konjunkciónál ugyanígy: az első tag lesz az egyik konjunktív származék, a második és a harmadik tag konjunkciója a másik. Többtagú esetekben is hasonlóképpen járunk el. Mintha hátulról volnának bezárójelezve, azaz „A  B  C  D”-t így olvassuk: „A  (B  (C D))” A fán megint lesz egy nyitott ág, de ezen szerepel Large(e) is, Small(e) is. Ez is ellentmondás, de nem szigorú értelemben vett logikai, hanem analitikus ellentmondás. A két mondat a benne szereplő nem logikai kifejezések jelentése miatt nem lehet egyszerre igaz. Tehát a következtetés kijelentéslogikailag nem helyes, de analitikusan igen. Ilyen helyzet a házi feladatokban nem fog előfordulni.

Lebontási szabályok a kondicionálishoz Emlékeztető: A  B  A  B  (A B) Negálatlan kondicionális lebontása: A  B A B Negált kondicionális lebontása: (A  B) A B A láncszabályt könnyen igazolhatjuk analitikus fával. Keressünk analitikus fával olyan igazságértékelést, amely mellett “A  (B  C)” igaz, “(A  B)  C” pedig hamis!

A bikondicionális negációja: (A  B) akkor igaz, ha A és B igazságértéke különbözik. Ez tkp. a ̒vagy’ kizáró használatának felel meg. Szokás -val rövidíteni és kizáró diszjunkciónak nevezni. (Mi nem vezetjük be külön konnektívumként.) A bikondicionális lebontási szabályai: A  B A A B B (A  B) A A B B Itt kell használni a Ruzsa program harmadik lebontási opcióját (elágaztatás, de mindkét ágra két mondat kerül).