Mi a káosz? Olyan mozgás, mely - szabálytalan, nem ismétli önmagát, nem periodikus előrejelezhetetlen, érzékeny a kezdőfeltételekre, hosszútávon valószínűségi leírást igényel határozott struktúrájú a fázistérben: fraktál szerkezetű. Tanulság: egyszerű rendszernek is lehet bonyolult a viselkedése, egyszerű egyenletnek is lehet bonyolult a megoldása.

Bevezetés a káoszba Instabil állapot és környéke (ez még nem káosz) V(x)= - K x2/2 m a = K x Θβ = m g l0φ, l0 súlypont távolsága a= K/m x β = m g l0/Θ φ Az instabilitás modell-egyenlete: x az instabil helyzettől mért kitérés, x<<1 d2x/dt2= s02 x, s0 egysége 1/s.

Mozgás a fázistérben az instabil állapot körül A modell-egyenlet alapmegoldása x~eλt. Ezt behelyettesítve: λ2=s0,2. Ezért λ=±s0. A teljes megoldás: x(t)=A e s0t + B e-s0t , v(t)=A s0 e s0t - B s0 e-s0t. Kezdőfeltétel: x0,v0 -> x0=A+B, v0=(A-B)s0. A=(s0x0+v0)/(2s0) B=(s0x0-v0)/(2s0) A teljes megoldás: x(t) s0 = (s0x0+v0)/2 e s0t + (s0x0-v0)/2 e-s0t v(t) = (s0x0+v0)/2 e s0t - (s0x0-v0)/2 e-s0t Ebből következik, hogy x(t)s0+v(t) ~ e s0t , x(t)s0-v(t) ~ e -s0t Szorzatuk állandó: x2 s02 - v2 = állandó, hiperbolák.

Aszimptoták: v= s0 x, itt x(t)=x0 e s0t, tiszta exponenciális távolodás ez az instabil görbe vagy instabil sokaság. v=-s0x, itt x(t)=x0 e -s0t, exponenciális közeledés, ez a stabil görbe vagy stabil sokaság. Az instabil állapot, az origó ún. hiperbolikus pont. Az instabil állapot tehát nem teljesen instabil: egy kivételes irányból meg lehet közelíteni. Van egyetlen sebesség, mellyel egy adott helyről egy testet fel lehet gurítani a hegy tetejére, úgy, hogy ott megálljon. Az aszimptotákon kívül a mozgás egy közeledő és egy távolodó mozgás szuperpozíciója, melyben egy idő után a távolodás dominál: ha t>1/s0, x(t) ~ (s0x0+v0)/(2 s0) e s0t a távolodás exponenciális. A kezdetben közeli pontok egymástól való távolodása is exponenciális: δx(t) = x2(t)-x1(t) ~ e s0t

Az instabil állapot (hiperbolikus pont) a fázistérben A trajektóriák hiperbolák. Az instabil görbe (sokaság) mentén tiszta exponenciális távolodás: x(t)=x0 eλt, λ=s0 A stabil görbe (sokaság) mentén exponenciális közeledés: x(t)=x0 e-λt, ez az a görbe, melynek mentén el lehet jutni az instabil állapotba.

Pontpárok távolodása a fázistérben A pontpárok egymástól is és az origótól is exponenciális ütemben távolodnak: ln δx(t) = λt + konst , λ=s0 >0. A stabil sokaság vízválasztó (szeparátrix).

A súrlódás hatása d2x/dt2= s02 x – α dx/dt, A trajektóriák jellege nem változik: a hiperbolikus pont hiperbolikus marad, stabil és instabil sokasággal. A szaggatott vonalak a súrlódásmentes sokaságokat jelölik.

A stabil állapot és környéke A stabilitás modell-egyenlete: x a stabil helyzettől mért kitérés d2x/dt2= - ω02 x, ω0 körfrekvencia, egysége 1/s .

A stabil állapot a fázistérben Súrlódásmentes Súrlódásos d2 x/dt2= - ω02 x d2 x/dt2= - ω02 x – α dx/dt Elliptikus pont Spirális attraktor pont (harmonikus rezgés) (csillapított harmonikus rezgés) Attraktor: amihez a trajektóriák tartanak súrlódásos rendszerekben A mozgás jellege megváltozik! Az instabil állapot stabilabb a paraméterek változtatására, mint a stabil!

A stabil és instabil sokaság alakja a hiperbolikus ponttól távol A d2 x/dt2= s02 x – α dx/dt modell-egyenlet csak a hiperbolikus pont közvetlen közelében igaz, távolabb nemlineáris tagok is fellépnek. A sokaságok ott már nem egyenesek, hanem görbe vonalak. Nemlineáris erő : d2 x/dt2= s02 x(1 – x2) – αdx/dt. Attraktorok x=+1, -1. Általában igaz: A sokaságok végtelen hosszú görbék. Az instabil sokaság bevezet az attraktorba, útjelző. A stabil sokaság vízválasztó, az attraktorok vonzási tartományainak határa.

A két attraktor vonzási tartománya az előző esetben A sokaságok a mozgás vázát alkotják a fázistérben, a hosszú idejű mozgásokról, attraktorokról is számot adnak!

A fázistér használatának előnyei Az x(t), v(t) úti-dő, sebesség-idő függvényt összevetítjük trajektóriává. A trajektória kompakt gombolyag- jó áttekintő képet ad. A fázistérben a trajektóriák nem metszhetik egymást. A fázistér dimenziója: az elsőrendű időfüggetlen (autonóm) diff. egyenletek száma Egydimenziós mozgás: d2x/dt2= a(x, dx/dt) -> dx/dt=v, dv/dt=a(x,v), a fázistér kétdimenziós.

Általános disszipatív eset Attraktor lehet az állandósult periodikus mozgást leíró határciklus is. Az instabil állapot (hiperbolikus pont) sokaságai továbbra is útjelzők és vízválasztók. Kétdimenziós fázistérben, azaz az egyváltozós gerjesztetlen mozgások körében nem lehet káosz. Többszörös hurkok nem lehetnek, pl. 8-as alakú trajektóriák, mert a fázistérben nem lehetnek metszéspontok.