Ismeretalapú technológia Előadó: Kovács Zita 2016/2017. II. félév Az osztályozás fogalmának háló alapú bevezetése

Tartalom Bevezetés Hálóelméleti alapfogalmak Fogalmi hierarchia Az osztályozási eljárás Összegzés

1. Bevezetés osztályozás: homogén egységeket alakítunk ki az objektumok közötti és az objektumok és tulajdonságaik közötti relációk felépítése homogén egységeket alakítunk ki

Bevezetés az osztályozáson alapuló rendszerek különböző útvonalakon alakultak ki: logika szemantikus hálók és keretek osztályalapú nyelvek leíró logikák

Bevezetés az osztályozáson alapuló rendszerek osztályhierarchián alapulnak egyedeire az osztályozáson alapuló következtetőrendszerek hatnak osztályok osztályozása olyan folyamat, melynek során az osztályokat hierarchiába szervezzük vagy a meglévő hierarchiába új osztályt illesztünk

Bevezetés egyedek osztályozása olyan folyamat, melynek során felismerjük az egyedhez tartozó osztályt mai előadás célja: megmutasson egy lehetséges megközelítési módot az osztályozás fogalmának bevezetésére a háló algebrai struktúrák segítségével

2. Hálóelméleti alapfogalmak Legyen S tetszőleges halmaz. Az R relációt reflexívnek nevezzük, ha minden S-beli a elemre R(a,a). Az R relációt antiszimmetrikusnak nevezzük, ha minden S-beli a és b elemre, ha R(a,b) és R(b,a), akkor a és b azonosak.

Hálóelméleti alapfogalmak Az R relációt tranzitívnak nevezzük, ha minden S-beli a,b,c elemre ha R(a,b) és R(b,c), akkor R(a,c). Az S halmazt részben rendezettnek nevezzük, ha az S bizonyos elempárjaira értelmezve van egy reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív R reláció.

Hálóelméleti alapfogalmak Az S részben rendezett halmazban ∀ a,b ∈ S esetén: R(a,b) vagy R(b,a) vagy a és b nem összehasonlíthatóak. Legyen S részben rendezett halmaz. S-t (teljesen) rendezettnek nevezzük, ha ∀ a,b ∈ S összehasonlítható.

Hálóelméleti alapfogalmak Legyen S részben rendezett és a,b,c, x ∈ S. Az x elemet az a és b elemek felső korlátjának nevezzük, ha R(a,x) és R(b,x). Az x elemet az a és b elemek alsó korlátjának nevezzük, ha R(x,a) és R(x,b).

Hálóelméleti alapfogalmak A c elemet az a és b elemek legkisebb felső korlátjának nevezzük, ha c az a és b elemek felső korlátja és ∀ x ∈ S esetén, ha x felső korlátja az a és b elemeknek, akkor R(c,x).

Hálóelméleti alapfogalmak A c elemet az a és b elemek legnagyobb alsó korlátjának nevezzük, ha c az a és b elemek alsó korlátja és ∀ x ∈ S esetén, ha x alsó korlátja az a és b elemeknek, akkor R(x,c).

Hálóelméleti alapfogalmak Ha az a és b elemeknek létezik legkisebb felső (legnagyobb alsó) korlátja, akkor az egyértelműen meghatározott. A legkisebb felső korlát: a ∪ b A legnagyobb alsó korlát: a ∩ b

Háló fogalma Legyen S részben rendezett halmaz az R relációval. Az {S, R} párost hálónak nevezzük, ha bármely x,y ∈ S elempár esetén létezik legkisebb felső és legnagyobb alsó korlát. A hálók jelölésekor szokásosan nem említjük az R relációt.

Háló fogalma Legyen P háló és e,O ∈ P. Az e elemet egységelemnek nevezzük, ha ∀a∈P esetén R(a,e). Az O elemet zéruselemnek nevezzük, ha ∀a∈P esetén R(O,a). Egy hálóban nem feltétlenül létezik egységelem és zéruselem.

Példa hálóra Az X halmaz összes részhalmaza a halmazelméleti részhalmaza relációval (jelölésben P(X)). Legyen S teljesen rendezett halmaz. Ekkor S háló, mégpedig a ∪ b = max(a,b) és a ∩ b = min(a,b).

Példa hálóra Legyen S a pozitív egészek halmaza, hozzávéve a nullát. Jelentse az R(a,b) reláció azt, hogy a osztója b-nek. Ekkor a ∪ b az a és b legkisebb közös többszöröse és a ∩ b az a és b legnagyobb közös osztója. A háló nulleleme az 1, és egységeleme a nulla.

Példa hálóra Legyen S a háromdimenziós tér lineáris alakzatainak halmaza (üres halmaz, pontok, egyenesek, síkok és az egész tér). R(a,b) jelentse azt, hogy a benne van b-ben. Ekkor az a ∪ b az a és b alakzatokat tartalmazó legkisebb lineáris alakzat, a ∩ b pedig az a és b alakzatok közös része.

Példa hálóra Tekintsük a következő számokat: 4, 5, 6, 7, 8 és legyen R a szokásos ≤, azaz R(a,b) jelentése, hogy a ≤ b. 8 7 6 5 4

Példa hálóra Tekintsük a következő számokat: 2, 4, 6, 10, 60 és jelentse R(a,b), hogy a osztója b-nek. 60 6 2 4 10

Példa hálóra Tekintsük a következő halmazokat: {a,b,c}, {a}, {c}, {b,c}, ∅ és a halmazelméleti részhalmaza (⊆) relációt. {a,b,c} {b,c} {a} ∅ {c}

Példa hálóra Tekintsük a következő intervallumokat: A = [5,6], B = [4,7], C = [2,8], D = [3,9], E = [1,10] és R(a,b) jelentse, hogy az a intervallum része a b intervallumnak. E B A C D

Példa nem háló struktúrára Tekintsük a következő számokat: 2, 3, 5, 30, 60 és jelentse R(a,b), hogy a osztója b-nek. 60 30 2 3 5

Példa nem háló struktúrára Tekintsük a következő intervallumokat: A = [4,5], B = [6,7], C = [2,8], D = [3,9], E = [1,10] és R(a,b) jelentse, hogy az a intervallum része a b intervallumnak. E C D A B

A hálók tulajdonságai Legyen P háló, R a P-n definiált részben rendezési reláció és a,b,c ∈ P. Ha R(a,b), akkor létezik a-nak és b-nek legkisebb felső és legnagyobb alsó korlátja a ∪ b = b és a ∩ b = a.

A hálók tulajdonságai A P hálóban a legkisebb felső és legnagyobb alsó korlátok a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: a ∪ a = a a ∩ a = a idempotencia a ∪ b = b ∪ a a ∩ b = b ∩ a kommutativitás a ∪(b ∪ c) = (a ∪ b)∪ c a ∩(b ∩ c) = (a ∩ b)∩ c asszociativitás (a ∪ b)∩ a = a (a ∩ b)∪ a = a elnyelési tulajdonság

A hálók tulajdonságai Legyen az S nemüres halmazban két operáció értelmezve a ∪ b és a ∩ b; az S tetszőleges a,b elemeire úgy, hogy az előbbi 4 feltétel teljesül. Ekkor S háló, amelyben az a, b elemek legkisebb felső korlátja a ∪ b, legnagyobb alsó korlátja a ∩ b. Az R reláció: R(a,b) pontosan akkor, ha a ∩ b = a.

A hálók tulajdonságai Az 1-4 tulajdonságokat gyakran háló axiómáknak is nevezzük.

A hálók tulajdonságai Ha a P háló véges halmaz, akkor van egységeleme és zéruseleme. Legyen P = {a1, a2, . . . , an}. Akkor e = a1 ∪ a2 ∪ . . . ∪ an és O = a1 ∩ a2 ∩ . . . ∩ an. Ha az egységelem és a zéruselem léteznek, akkor egyértelműen meghatározottak.

Az egységelem és a zéruselem tulajdonságai az S tetszőleges a elemére e ∪ a = e e ∩ a = a O ∪ a = a O ∩ a = O

Az egységelem és a zéruselem tulajdonságai Legyen S rendezett halmaz. Akkor S háló, amelyben a ∪ b = max(a,b) és a ∩ b = min(a,b).

Moduláris hálók Tétel: Tetszőleges hálóban R(x,z) ⇒ R(x ∪(y ∩ z),(x ∪ y)∩ z) Bizonyítás: Mivel R(x, x ∪ y) és R(y ∩ z, y) és R(y, x ∪ y) és a tranzitivitás miatt R(y ∩ z, x ∪ y) ezért R(x ∪(y ∩ z), x ∪ y) valamint R(x,z) és R(y ∩ z, z) -ből következik, hogy R(x ∪(y ∩ z), z) és így R(x ∪(y ∩ z), (x ∪ y)∩ z)

Moduláris hálók Definíció: Az olyan hálót, amelyben R(x,z) ⇒ x ∪(y ∩ z) = (x ∪ y)∩ z moduláris hálónak nevezzük.

Példa moduláris: 60 6 2 4 10

Példa nem moduláris: {c} ⊆ {b,c} {c} ∪({a} ∩ {b,c}) = {c} ∪ {∅} = {c}, ({c} ∪ {a}) ∩ {b,c} = {a,b,c} ∩ {b,c} = {b,c}

Disztributív hálók Tétel: Tetszőleges hálóban R(x ∪(y ∩ z), (x ∪ y)∩(x ∪ z)) R((x ∩ y)∪(x ∩ z), (x ∩(y ∪ z)). Tétel: Egy hálóban az 1. azonosság pontosan akkor teljesül, ha a 2. azonosság is teljesül. 1. x ∪(y ∩ z) = (x ∪ y)∩(x ∪ z) 2. x ∩(y ∪ z) = (x ∩ y)∪(x ∩ z)

Disztributív hálók Definíció: Egy hálót amelyben az 1. azonosság (következésképpen a 2. azonosság) teljesül, disztributív hálónak nevezü nk.

Példa Egy halmaz összes részhalmazainak halmaza disztributív háló (∩ és ∪ a szokásos halmazelméletei műveletek). Egy teljesen rendezett halmaz disztributív háló (∩, a legnagyobb alsó korlát az elemek minimuma, ∪, a legkisebb felső korlát az elemek maxi- muma).

Példa nem disztributív hálóra 4 ∪(6 ∩ 10) = (4 ∪ 6)∩(4 ∪ 10) 6 és 10 legnagyobb alsó korlátja (közös osztója): 2 2 és 4 legkisebb felső korlátja (közös többszöröse): 4 ugyanakkor 4 és 6 legkisebb felső korlátja (közös többszöröse): 60 4 és 10 legkisebb felső korlátja (közös többszöröse) is 60, azaz a jobboldalon a legnagyobb alsó korlát (közös osztója) is 60 60 6 2 4 10

Boole algebra Legyen L háló, amelynek egységeleme e és nulleleme 0. Az a ∈ L elem komplemensének nevezzük azt az a L-beli elemet, amelyre a ∪ a =e és a ∩ a = O. Nyilvánvaló, hogy a komplemense éppen a. O és e egymás komplemensei.

Boole algebra Az alábbi ábrán nem disztributív hálót láthatunk. f a b c Az alábbi ábrán nem disztributív hálót láthatunk. a d elemnek nincs komplemense az f elemnek a és b egyaránt komplemensei

Boole algebra Tétel: Egy L disztributív háló minden elemének legfeljebb egy komplemense lehet. Az előbbi ábrából a b elemet és a o-d élet törölve disztributív hálót kapunk, amelyben a d-nek továbbra sincs komplemense.

Boole algebra Definíció: Egy olyan disztributív hálót, amelyben minden elemnek van komplemense Boole-féle algebrának nevezünk.

Boole algebra Tétel: Ha a, b B boole-algebrai elemek, akkor (a ∪ b) = a ∩ b és (a ∩ b) = a ∪ b

3. Fogalmi hierarchia a valós világ egy fogalmát reprezentáló osztály egy generikus egység, amely csoportosít egy elemhalmazt és amely egy saját leíróval rendelkezik. tehát egy C osztályhoz tartozik egy rá jellemző, a reprezentált fogalom állapotát és viselkedését leíró tulajdonsághalmaz

Fogalmi hierarchia A C osztály konjunkciókkal is kifejezhető, C = (a1, s1) ⊓ (a2, s2) . . ., ⊓ (an, sn) ahol az ak attribútum és sk az attribútumhoz kapcsolódó specifikáció, pontosítva az értékek típusát, a tartományát és számosságát (ak-k páronként különbözőek).

Fogalmi hierarchia az osztályok klasszifikációja során: az osztályhoz tartozó egyedek közös tulajdonságait csoportosítjuk

Fogalmi hierarchia az alárendelés egy általános reláció, amely az osztályok hierarchiába szervezését biztosítja (pontos definíció: lásd leíró logikáknál) egy C osztály alárendeli egy D osztály (C⊑D), ha D minden attribútuma C-ben is megtalálható a C attribútumai mutatják a D attribútumainak állapot specifikációját

Egy H fogalmi hierarchia egy (χ, ⊤, ⊑) háló, Definíció: Egy H fogalmi hierarchia egy (χ, ⊤, ⊑) háló, ahol χ osztályok véges halmaza, ⊑ az osztályokon definiált részben rendezési reláció, amit alárendelésnek nevezünk, és ⊤ a χ egységeleme a ⊑ relációra nézve. ⊤-t a hierarchia gyökerének nevezzük.

Fogalmi hierarchia A χ háló diagramjában a D→C él jelöli azt a tényt, hogy a C osztály alárendeli a D osztályt.

Az osztályozási eljárás a H-beli objektumok között megtalálható implicit függőségekre világít rá osztály-osztály osztály-egyed lehetővé teszi, hogy felismerjünk egy objektumot a hierarchiára vonatkozó tulajdonságait azonosítva

Az osztályozási eljárás A klasszifikáció egy hozzátartozási döntési eljárás. Egy x objektum elhelyezése a H hierarchiába a következőképpen sematizálható: (χ, ⊤, ⊑) × {x} → (χ ∪ {x}, ⊤, ⊑) A klasszifikáció az osztály állapotát jellemző tulajdonságok szükséges és elegendő jellegén alapul.

Az osztályozási eljárás Szükséges feltétel: Legyen C egy osztály és i a C osztály egyede. Ekkor i a C osztály minden attribútumával rendelkezik. Elegendő feltétel: Legyen x olyan objektum, amely C minden tulajdonságával rendelkezik. Ebben az esetben x osztályozható úgy, mint a C osztály egy egyede.

Egy klasszifikációs algoritmus Az a klasszifikációs művelet, amely lehetővé teszi, hogy az x objektumot elhelyezzük a H hierarchiába három lépésre bontható: az x legspecifikusabb alárendelőinek (SA) keresése az x legáltalánosabb alárendeltjeinek (AA) keresése az x objektum és az alárendeltjei, valamint az alárendelői közötti új relációk kialakítása

A legspecifikusabb alárendelők keresése Az alapötletet az adja, hogy járjuk be mélységi bejárással az osztályok gráfját mindaddig, amíg olyan osztályt nem találunk, amely nem felel meg az osztályozandó objektum tulajdonságainak.

A legáltalánosabb alárendeltek keresése Elegendő csak azon SA-k utódait vizsgálni, amelyek ugyanazon tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az osztályozandó objektum. Ha ez az objektum alárendel egy utódot, akkor ez egy SA és az ő utódait figyelmen kívül hagyjuk, különben az utódokat sorra teszteljük, amikor a bejáráskor hozzájuk érünk.

A legáltalánosabb alárendeltek keresése a legáltalánosabb alárendelt nem feltétlenül közvetlen alárendeltje a legspecifikusabb alárendelőnek

Az x objektum és az alárendeltjei, valamint az alárendelői közötti új relációk kialakítása amikor az x objektumnak megfelelő SA-it és AA-it megtaláltuk, akkor kialakítjuk az új kapcsolatokat az x objektumnak megfelelő osztály, valamint az SA-k és AA-k között ellenőrizzük, hogy ez az új osztály már jelen van-e a hierarchiában

Algoritmus Legyen X a hierarchiában elhelyezendő objektum és Objektum a hierarchia gráf gyökere. Ekkor mélységi kereséssel a HASONLIT eljárás szolgáltatja az X legspecifikusabb alárendelőit.

HASONLIT(Objektum, X) HA X nem alárendeltje Objektumnak AKKOR (a hierarchiában Objektum egyetlen utódja sem rendeli alá X-et) RETURN nil EGYÉBKÉNT (Objektum ideiglenesen a legspecifikusabb alárendelő) HA Objektum levélelem AKKOR RETURN Objektum EGYÉBKÉNT SA lokális változó SA=nil Objektum minden UTOD utódjára DO SA=SA ∪ HASONLIT(UTOD, X) (Ha SA nem nil, akkor az Objektum egyik utódja a legspecifikusabb alárendelő) HA SA=nil EGYÉBKÉNT RETURN SA

1. Példa Legyen adott a következő alárendelési reláció: x alárendeli y-t, ha x osztója y-nak N-ben. Tekintsük a következő számokat: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 14, 21, 28, 126, 210, 252, 280.

Számpélda 1 2 3 5 7 14 6 21 28 210 126 280 252

Példa Ebbe a hierarchiába szúrjuk be a 42-es számot. a 42 SA-i: 6, 14, és 21 a 42 AA-i: 126 és 210 a 210-ből a 6 felé, 126-ból a 6,14, 21 felé mutató éleket töröltük

Számpélda –elem beszúrása után 1 2 3 5 7 14 6 21 42 126 28 210 280 252

{Λ, a, ab, abc, b, bab, bcd, c, d, dd, ddd}, 2. Példa {Λ, a, ab, abc, b, bab, bcd, c, d, dd, ddd}, ahol Λ, amely az üres szót jelenti, a hierarchia gyökere. A szavak egy halmaza egy osztályba sorolható, ha a szavak mindegyike tartalmaz az {a, b, c, d} abécén definiált motívumot. Az osztály nevét az őt jellemző motívum adja.

Példa Például: ab = (motif, *ab*) ahol motif az attribútum neve és * jelöl egy tetszőleges karakterláncot. Definiáljuk az alárendelési relációt két osztály között úgy hogy x ⊑ y, ha az y motif része részszó az x motif részében, azaz, ha x előállítható mym′ alakban, ahol m és m′ két szó.

Szópélda Λ a b c d ab dd bab abc bcd ddd

Példa A következő ábrán a bc szó beszúrása utáni állapot látható. A bc legspecifikusabb alárendelői b és c, míg a legáltalánosabb alárendeltjei abc és bcd. Az abc-c és bcd-b éleket töröltük.

Szópélda, elem beszúrás után Λ a b c d ab bc dd bab abc bcd ddd

Összegzés Az ismeretreprezentációs rendszerekben a következtetés kihasználja a szakterületi ismereteket reprezentáló hierarchia tulajdonságait.

Összegzés A következtetések alapját az alábbi műveletek képezik: az alárendelés ellenőrzése lehetővé teszi, hogy eldöntsük, vajon egy C osztály alárendeli-e a D osztályt az osztályok klasszifikációja során egy új X osztályt a neki megfelelő sorrend szerint elhelyezünk a H hierarchiába

Összegzés A következtetések alapját az alábbi műveletek képezik: az egyedek osztályozása során meghatározzuk azt az osztályt, amelynek az adott x objektum egy egyede lehet a tulajdonságok keresésének a célja, hogy megtaláljuk egy osztály vagy egy egyed tulajdonságait, illetve a tulajdonságokhoz és azok értékeihez tartozó korlátozásokat