Becsléselmélet - Konzultáció 2015. október 21.

Példa 1 - Feladatgyűjtemény Egy nagyvállalat személyzeti osztályvezetője azt gyanítja, hogy különbség van a szellemi és a fizikai dolgozók betegség miatti hiányzása között. A gyanú kivizsgálására véletlenszerűen kiválasztott 45 fizikai és 38 szellemi foglalkozású dolgozót és megvizsgálta az elmúlt egy évben mennyit hiányoztak betegség miatt. A kapott eredményeket az alábbi táblázat mutatja. 90%-os megbízhatósági szinten becsüljük meg a betegség miatti hiányzás várható értékei közötti eltérést! Megoldás: két várható érték különbségének becslése ismeretlen elméleti szórás esetén, de mivel a mintaelemszám mindkét mintában elég nagy (n>30), így a standard normális eloszlás táblázatot használjuk (Student eloszlás jól közelíti a standard normálist).   Fizikai Szellemi Mintaszám 45 38 Átlag 10,4 7,8 Szórás 12,8 5,5 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 1 - Megoldás A konfidencia-intervallum:  = 10 %  z/2 = z0,95=1,65 (=Ф(z)) (standard normális eloszlás táblázatból) Behelyettesítve:   Fizikai Szellemi Mintaszám 45 38 Átlag 10,4 7,8 Szórás 12,8 5,5 -0,876 < d < 6,076 A hiányzások várható értékei közötti eltérés 90%-os valószínűséggel -0,876 nap és 6,076 nap között van. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 1 - Extra kérdés Ugyanezen a szignifikancia szinten (10%) mekkora elemszámú mintára lenne szükségünk, hogy 2 nap eltéréssel mutassuk ki a fizikai és szellemi dolgozók hiányzásának várható értéke közötti különbséget! Ugyanezen a szignifikancia szinten (10%) mekkora elemszámú mintára lenne szükségünk, hogy felére csökkentsük a becslés hibáját! Kvantitatív módszerek

Példa 2 - Feladatgyűjtemény Egy új fogászati érzéstelenítő kipróbálására egy rendelőben véletlenszerűen kiválasztottak 10 pácienst. 5 páciens a hagyományos, 5 pedig az újfajta érzéstelenítőt kapta. Kezelés közben megkérték a pácienseket, hogy egy 0-tól 100-ig terjedő skálán értékeljék, hogy mennyire érzik kellemetlennek a kezelést. (A magasabb érték nagyobb kellemetlenséget mutat.) Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza. Becsüljük meg a páciensek két csoportja közötti kellemetlenségi szint várható értékei közötti különbséget 99%-os megbízhatósági szinten! (A kellemetlenségi szint normális eloszlással írható le, mindkét csoportban.)   Hagyományos Új Mintaszám 5 Átlag 60,33 32,21 Szórás 15,82 12,77 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 2 - Megoldás Megoldás: két várható érték különbségének becslése ismeretlen elméleti szórás esetén (és kicsi a minta…) Feltétel: az alapsokaság normalitása és a szórások egyezősége Végezzük el az F-próbát!   Hagyományos Új Mintaszám 5 Átlag 60,33 32,21 Szórás 15,82 12,77 Fkrit (DF1=4; DF2=4; 1%) = 16 Az alapsokasági szórások egyezőségét elfogadjuk 1%-os szignifikancia szinten. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 2- Megoldás   Hagyományos Új Mintaszám 5 Átlag 60,33 32,21 Szórás 15,82 12,77 A konfidencia-intervallum:  = 1 %, DF = n1+n2-2 = 8  t0,995 = 3,355 (a Student eloszlás táblázatából) Az ismeretlen sokasági szórásnégyzet torzítatlan becslőfüggvénye A két érzéstelenítő hatása közötti különbség várható értéke 99%-os valószínűséggel -2,38 és 58,62 pont között van. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 2 - Extra kérdés Ugyanezen a szignifikancia szinten (1%) mekkora elemszámú mintára lenne szükségünk, hogy 10 pont eltéréssel mutassuk ki a kellemetlenségi szint várható értékei közötti különbséget! Ugyanezen a szignifikancia szinten (1%) mekkora elemszámú mintára lenne szükségünk, hogy harmadára csökkentsük a becslés hibáját! Kvantitatív módszerek

Példa 3 - Feladatgyűjtemény Egy közvélemény-kutató 1000 elemű, állítása szerint az ország teljes felnőtt lakosságát reprezentáló FAE mintákkal dolgozik. Két – időben egymást két hónappal követő – közvélemény-kutatás eredménye szerint az egyik politikust a lakosság 62, illetve 68%-a tartotta rokonszenvesnek. 99%-os megbízhatósággal készítsünk becslést a rokonszenvüket kifejezők arányának különbségére! Ha felére kívánjuk csökkenteni a becslés hibáját, akkor mekkora mintát kellene vennünk? Megoldás: két sokasági arány különbségének a becslése, mintaelemszám meghatározása Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 3 - Megoldás A mintákat akkor tekinthetjük kellően nagynak, ha az alábbi konfidencia-intervallumok nem tartalmazzák sem a 0-t, sem az 1-et. α=1%, α/2=0,5%=0,005 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 3 - Megoldás A keresett intervallum: Vagyis a két sokasági arány (rokonszenv mértéke) közötti különbség 99%-os megbízhatósággal 0,5% és 11,5% között van. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 3 - Megoldás Mintaelemszám meghatározása: A Δ értéke 0,055, ha ezt felére kívánjuk csökkenteni, akkor az 0,0275. Így 3989 elemű mintát kellene vennünk mindkét időszakban. Kvantitatív módszerek

Példa 4 - Feladatgyűjtemény Egy élelmiszergyárban – többek között – 1kg-os darabos gyümölcskonzerveket csomagolnak automata töltőgéppel. Korábbi felmérések szerint a töltősúly normális eloszlása feltételezhető. A napi termelés ellenőrzésére az első műszakban vettek egy 100 elemű FAE mintát, amelynek töltősúly szerinti megoszlása: Egy másik műszakban vettek egy 200 elemű mintát, ahol az átlagos töltősúly 1002,5 grammra adódott, a minta alapján számolt szórás 7,6 grammra adódott. Doboz töltősúlya (g) Darab 980-990 6 990-1000 23 1000-1010 47 1010-1020 22 1020-1030 2 Összesen 100 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 4 95%-os megbízhatósággal készítsünk becslést a két műszak várható töltősúlyainak különbségére! Mekkora mintára van szükség, ha az előző becslés pontosságát 99%-os megbízhatósági szinten kívánjuk garantálni? A második műszakban az 1000 gramm feletti töltések aránya 52%-os. Készítsünk 95%-os megbízhatósággal becslést a két műszak 1000 gramm feletti töltései arányának különbségére! Mekkora mintára van szükségünk ha az előző becslésnél a hibát harmadára kívánjuk csökkenteni? Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 4 - Megoldás 95%-os megbízhatósággal készítsünk becslést a két műszak várható töltősúlyainak különbségére! A sokasági szórások nem ismertek, de mindkét műszakban a minta elemszáma > 30, így használhatjuk az alábbi képletet: Doboz töltősúlya (g) Darab 980-990 6 990-1000 23 1000-1010 47 1010-1020 22 1020-1030 2 Összesen 100 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 4 - Megoldás A két műszakban töltött konzervek várható töltősúlya között különbség -0,409gramm és 3,609 gramm között van 95%-os megbízhatósággal a minták alapján. Mekkora mintára van szükség, ha az előző becslés pontosságát 99%-os megbízhatósági szinten kívánjuk garantálni? 221 elemű mintára lenne szükség mindkét műszakból. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 4 - Megoldás A második műszakban az 1000 gramm feletti töltések aránya 52%-os. Készítsünk 95%-os megbízhatósággal becslést a két műszak 1000 gramm feletti töltései arányának különbségére! Doboz töltősúlya (g) Darab 980-990 6 990-1000 23 1000-1010 47 1010-1020 22 1020-1030 2 Összesen 100 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 4 - Megoldás α=5%, α/2=2,5%=0,025 A minták alapján a két műszakban az 1000 gramm felett töltött konzervek arányának különbsége 7,73% és 30,27% között van. Mekkora mintára van szükségünk, ha az előző becslésnél a hibát harmadára kívánjuk csökkenteni? Δúj=0,037567 Közel 1240 elemű mintára lenne szükség mindkét műszakból. Kvantitatív módszerek

Példa 5 - Feladatgyűjtemény 7 alkalmazás indításának időszükségletét hasonlították össze egy felső és egy középkategóriás okostelefonon. Az eredmények az alábbi táblázatban láthatóak: Adjon 95%-os konfidencia-intervallumot a két okostelefonon az alkalmazások megnyitásához szükséges idők közötti különbségre! (Tegye fel, hogy az eloszlások normálisak!) Megoldás: két várható érték különbségének becslése – páros minta   Az alkalmazás indításához szükséges idő [s] Alkalmazás Középkategóriás telefon Felsőkategóriás telefon 1. 5,6 4,5 2. 12,3 10,4 3. 20,6 23,4 4. 11,4 10 5. 13,4 12 6. 24,3 27,5 7. 4,2 3 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 5 - Megoldás   Az alkalmazás indításához szükséges idő [s] di Alkalmazás Középkategóriás telefon Felsőkategóriás telefon 1. 5,6 4,5 1,1 2. 12,3 10,4 1,9 3. 20,6 23,4 -2,8 4. 11,4 10 1,4 5. 13,4 12 6. 24,3 27,5 -3,2 7. 4,2 3 1,2 Átlag 13,114 12,971 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 5 - Megoldás DF=6 t0,975=2,447 95%-os megbízhatósággal a két típusú okostelefonon az alkalmazások megnyitásához szükséges várható idők közötti különbség -1,495 és 1,781 sec között van. Kvantitatív módszerek