Klimatológia és káosz Káosz az időjárásban és az éghajlatban avagy az éghajlat előre jelezhetősége, és annak függése a bemenő adatoktól Salavec Péter, MSc Meteorológus ELTE TTK, Meteorológiai Tanszék 2016.03.08.

Összefoglalás Dinamikai rendszerek és káosz A légkör dinamikája Fázistér; Attraktor; Káosz A légkör dinamikája Folytonos közegek mozgásegyenlete Légköri kormányzó egyenéetrendszer A légköri káosz Lorenz-rendszer és némi történelem Numerikus módszerek Általános gondolatok; A bemenő adatok kezelése Hibák Forrásaik; Kezelésük (Ensemble-technika) Az időjárás és az éghajlat elválasztása

Dinamikai rendszerek – térfogalmak Fizikai tér → Differenciálegyenletek Pl. Newton II: Fázistér → Dinamikai rendszerek A fizikai tér koordinátái helyett más koordinátákat vezetünk be, ebben az idő és a térkoordináták egyenrangúak Dimenziója nem mindig r dimenziójával egyezik Általában egy (nem matematikai) problémát vizsgálhatunk egy „szemléletes” térben, ahol differenciálegyenlet adható meg rá. Ez (ügyes fázistér-választással) mindig ilyen alakra hozható:

Fázistér tulajdonságai Fázistérbeli pontok: a rendszer konkrét állapotai Egy adott pontból indulva az állapot az időben egy pályát követ (trajektória) Periodikus pont: olyan pont, melybe a rendszer T periódusidővel visszatér: f(r(0))=r(T) Fixpont: olyan pont, melyben a rendszer egyensúlyban van: f(r)=r Ha létezik olyan környezete, melyből induló pontok t→+∞(-∞) esetén ide tartanak, akkor a pont vonzó (taszító) ← periodikus pontra is érvényes def. Periodikus pálya: minden pontja periodikus Vonzó (taszító), ha a pontjai vonzók (taszítók)

Fázistér tulajdonságai Vonzó (taszító) határhalmaz: bármely pálya ebbe fut bele, és aztán benne marad, ha t→+∞(-∞) Invariáns halmaz: bármely pontján átmenő pályának minden pontja benne van A fázistér dimenziója Véges, ha a differenciálegyenlet-rendszer közönséges Végtelen, ha parciális Attraktor: Olyan invariáns, halmaz, melynek minden pontján ugyanaz az egyetlen pálya halad át (Tehát a periodikus pályák is ide tartoznak) Ha az egyetlen pálya minden ponton pontosan egyszer halad át, az a kaotikus attraktor. A különös attraktorok kaotikusak; egy (0,1) közötti valós(!) számmal kisebb dimenziójúak, mint a fázistér (tehát a térfogatuk nulla, határfelületük (Julia-halmaz) végtelen nagy ← fraktál).

Attraktor és káosz Különös attraktorok pályái Egyetlen pálya létezik, DE! Taszító periodikus pálya végtelen periódusidővel Legyen két pontja ugyanabban az időben két (külön-böző, de ugyanolyan dinamikájú) rendszer kezdőálla-pota (ergodikus szemlélet). Ekkor a kettő közötti (a fá-zistéren értelmezett euklideszi) távolság idővel expo-nenciálisan nő (Ljapunov-exponens). Kaotikus rendszer esetén λ pozitív. Legyen az attraktor egy összefüggő részhalmaza vég-telen sok rendszer kezdőállapota. Ekkor a részhalmaz térfogata idővel exponenciálisan csökken. Különös attraktor térfogata eleve nulla

Dinamikai rendszerek és káosz Különös attraktorok pályái Egyetlen létezik, DE! két kezdőpont közötti távolság idővel exponenciálisan nő Az attraktor egy összefüggő részhalmazának térfogata idővel exponenciálisan csökken. Következmény: két kezdőpont távolságával 0-hoz tartva mindig létezik olyan véges időpont, mely-nél nagyobb időre a két pont távolsága nem tart nullához (bár ez az időpont végtelenhez tart) Ha a kezdeti feltételt nem ismerjük végtelen pontosan, nem lehet előre jelezni a jövőbeli állapotot

A légkör dinamikája A légkör folytonos közeg Mozgásegyenlet Newton II-ből általánosítva: Forgó földön a belső erők: Az alakváltozási tenzor: A feszültség-tenzor és az alakváltozási tenzor között lineáris kapcsolat áll fenn (Hooke-tv): Homogén izotróp amorf anyagban: Légkörben leválasztjuk az izotróp nyomást: Légkör mozg.egy. (némi elhanyagolás után): Navire-Stokes-egyenlet:

A légkör dinamikája A légköri kormányzó egyenletrendszer Mozgásegyenlet: Kontinuitási egyenlet (tömegmegmaradás): Termdinamikai I. főtétel (energiamegmaradás) Nyomanyag-szállítás: Gáz-állapotegyenlet:

A légkör dinamikája Ebből is lehet dinamikai rendszert csinálni Ez bonyolultabb, mint a káosz! Ezért nem kaotikus!!! De lehet egyszerűsíteni is a rendszert A jelenségek méretei és élettartama és más tulajdonsá-gai egy szűk tartományon belül változnak Orlanski (1975) bevezette a légköri mozgásrendszerek osztályozását Az ilyen karakterisztikus tulajdonságok behelyettesíté-sével kiderülhet, hogy az egyenletrendszer bizonyos tagjai egyszerűsíthetők, vagy elhagyhatók Akár lineáris diff-egyenletig is leredukálhatjuk a rendszert, amit analitikusan is megoldhatunk – az adott jelenség karakteriszti-lus tulajdonságai vizsgálhatól Az elhanyagolt tagok éppen a különböző jelenségek közötti kölcsönhatásokat írnák le

A légköri káosz Egyfajta egyszerűsítést hajtott végre Edward Norton Lorenz (1958, 1963): Az egyenletrendszer hullám-spektrumra adott válaszá-ból kiszemelt néhány amplitúdót, amely a sekély kon-vekciós jelenségekhez kötődik Rayleigh-Bénard-konvekcióra az Oberbeck-Boussinesq-közelítés Ezekre dinamikai rendszer: Tulajdonságai r<1-re az origó globális vonzó fixpont Pitchfork-bifurkáció r=1-re, két pontban statikus konvekció és ezek stabilak, ha: Itt Hopf-bifurkáció történik ahol instabillá válik a két pont Lorenz-attraktorhoz vezet (köv. ábra) A légkörben: r≈28, b≈8/3, s≈10

A légköri káosz Lorenz véletlenül fedezte fel a káoszt: Kávészünetben lemaradt „valamiről”, újra meg akarta nézni. Az adatok visszaírásakor kevesebb tizedesjeggyel adta meg a korábban kijövő adatokat. A következő kávé után más eredményeket látott kijönni. Nem ment tönkre a számítógép (pedig először azt hitte) Ez jött ki (két hasonló kezdőfeltételből az eredménygörbék):

Káosz – egy kis töri Mittag-Leffler (1887) (II. Oszkár 60. szülinapja) A Weierstrass javasolta négy téma egyike a Naprendszer stabilitásának problémája Henri Poincaré nyerte a versenyt: Bizonyította, hogy három test egymás gravitációs terében kialakuló pályái nemperiodikusak (nincs analitikus megoldás) Ezek csak Neumann János, Birkhoff és Hopf statisztikus mechanikai és ergodelméleti munkáiban jelennek meg Hadamard (1898): Súrlódásmentes kaotikus csúszás II. Vh.: Cartwright, Littlewood, Smale: Nemlineáris áramkörök kaotikus viselkedése 1960: Kolmogorov-Arnold-Moser-tétel Konzervatív kaotikus rendszerek kváziperiodikus mozgásai Japán díj: James A. Yorke (Kaotikus rendszerek) és Benoît Mandelbrot (Fraktálok)

Numerikus módszerek Számítógép: Véges számábrázolási pontosság Kerekítési hibák Numerikus modell Véges differenciák módszere: Végeselem (spektrális Galjorkin) módszerek Ezek mind diszkrét lépésekben oldják meg a differenciálegyenlet-rendszert Elvárás, hogy a modell stabil, konzisztens és konvergens legyen Hibát visz bele (ld. később) Rácsfelbontás alatti jelenségek energiája elveszhet Mikroskála sajnos elég jelentős energiát hordoz Parametrizációk: sajnos empirikus összefüggések

Bemenő adatok Mik azok? Légkör alján és tetején határfeltételek Máris baj van: nem elég a légköri modell! Talaj: vízáramok (evaporáció, transzspiráció), súrlódás (érdesség), albedó (talajtípus, növényborítottság), nyomanyagcsere, sugárzási mérleg, stb… Korlátos tartományú modell esetén valamely globálmodell kimenete is szolgál bemenetként Mérési, észlelt adatok Pontosabban a belőlük készült analízis (modellrácsra interpolált bemenet, kiszűrve belőle a meteorológiailag „nem fontos” jeleket, mint pl. a hanghullámok, stb…) Észlelések, automata mérések; szárazföldi (helyi, távérzékeléses), tengeri (bója, hajó), magaslégköri (szonda, repülő), műholdas, stb…

Bemenő adatok Hibák sokféle forrásból Mérés véges pontosságú Mérőhelyek szabálytalan eloszlása Szabályos rácsra interpolálás Nem (még kb. sem) homogén lefedettség Óceánok ↔ szárazföldek Szondázó állomások ↔ Felszíni mérések Komplex mérés során maguk a műszerek is megváltoztathatják a légkör állapotát

Hibák figyelembe vétele Alaphelyzet (perturbálatlan, operatív tag) A bemenő adatok asszimilálása („betöltése”) után a kapott kiindulásból egyetlen előrejelzést futtatunk. Jó lesz-e? Ha igen, mennyire? Függ-e a „mennyire” az időtávtól (válasz: igen)? Ha igen, hogyan függ (válasz: kaotikusan!)? Kaotikus rendszerek tulajdonságain értelmezett függvények a konvo-lúcióra csoportot alkotnak; ennek a fizikus örül, a meteorológus nem. Ensemble technika Megpróbáljuk a hibát megbecsülni Alapból nem reménytelen, hisz ismerjük a rácsot, a mérési háló-zatot és a mérési pontosságokat is (viszont nagyon sok az adat) Ha megvannak a hibák, perturbáljuk meg az „alaphelyzetre” kapott bemenetet Nehézség: fizikailag konzisztensnek kell maradnia Adott eloszlással rendelkezzen

Hibák figyelembe vétele Ensemble technika A hibatartományon belül tehát sok előrejelzést indítunk Ezek idővel „szétmásznak” Meddig tudjuk előrejelezni az időjárást? (Ez függ az időjárástól.) Valószínűségi szemlélet Azt mondjuk, hogy a légköri kormányzó egyenletrendszerre, mint operációra (és jó esetben a numerikus modellre, mint iterációra) a változók valószínűségi eloszlásának tere invariáns halmaz Minden későbbi időpontra tudunk valószínűségi tartományokat megadni arra, hogy milyen lesz az időjárás A fizikai (pontosabban energetikai) konzisztencia miatt nem tart a végtelenbe a szóródás (a fizikai!!! térben) Az egyszerű térképes megjelenítés helyett Térképsorozatok: minden tagról egy térkép (bélyeg) Átlag- és Szórástérképek, „spagetti” Fáklyadiagramok Stb…

Az időjárás előrejelzése Orlanski legnagyobb mozgásrendszerei a stacionárius planetáris álló-hosszúhullámok Néhány hónapig élnek 1-5db van jelen a Földön egyszerre (több nem fér el) Ezek a hosszútávú és a szezonális előrejelzések tárgykörébe tartoznak Gyerekcipőben jár a téma (miért? Ld. lent) Időjárás előrejelzés: Ma (a mérsékelt övben) időjárást előre jelzni legfeljebb néhány (időjárástól függően 3-8) napig tudunk napi bontással, a konkrét események tükrében 2-3 nap fölött már kell az ensemble Az alapvető (nagytérségű) folyamatokat általában 5-15 napig látjuk előre (kizárólag ENS-ből) Éghajlat: 10-100 évek!! Hogyan???

Az éghajlat előrejelzése Alapgondolat: A rendszer fizikai konzisztenciája nem engedi ki az állapotot egy jól határolt részből, ezért az időjárás legyen fluktuáció az éghajlathoz képest Analógia: mikrometeorológia: turbulencia fluktuáció az időjáráshoz k. Átlagoljunk megfelelően hosszú időre (pár évtized) Analógia: fél óra Nézzük az átlag (stat. param.) változásait hozzú idő alatt Máris kész a klímamodell. Analógia: turbulens szállítások (turbulencia „klímája”) beleszólnak az időjárásba!!! NODE! Amik az időjárás időtartama alatt állandónak voltak te-kinthetők, azok klimatológiai időskálán vígan változnak Nyomgáz-koncentrációk, krioszféra, élővilág, antropogén hatások… tengeráramlatok. Meg kell jelenniük az egyenletekben. Így öt helyett nagyon sok egyenlet lesz, melyek nemlineárisan csatoltak

Makroskála (ciklonok, anticiklonok) Mikroskála Turbulencia Napi menet Mezoskála Zivatarrendszerek

Az éghajlati rendszer előrejelzése Fellépett egy olyan probléma, ami a meteorológiá-ban csak a talajmodellek megjelenéséhez vezetett. Szükség van immár a klimatológiában a a teljes talaj-növény-légkör rendszer kölcsönhatásainak, az óceán áramlásainak és nyomgáz-elnyelésének, a Napsugárzás felszíni háztartásának és légköri átvitelének; a felsőbb légköri rétegek dinamikájának a levegő nyomáz-változásainak és kémiájának, a krioszféra változásainak, az antropogén hatásoknak a modellezésére is. Manapság már az egyes elemekre alkotott modelleket összehangoltan futtatják Baj: kiderült, hogy a légkört túl jól ismerjük, a többi elemet viszont nagyon nem; emiatt nem haladt jelentősen előrébb a klimatológia

Egyéb problémák Fő probléma, hogy az éghajlati rendszer elemeinek viselkedését egyáltalán nem ismerjük A légkört, óceánt kb. igen A többi valószínűleg sokkal bonyolultabb viselkedésű Véletlen hatások közrejátszása Vulkanizmus, kozmikus hatások, stb… Nem lehet kísérletezni (sem laborban, sem verifikációval) Utóbbi majd 100 év múlva lehetséges Az eddigi eredmények alapján ma úgy tűnik, hogy az újabb és újabb modellfutások inkább csak „futnak” a klíma után Mi garantálja, hogy a múltra futtatás sikeréből következik a jövőre is a siker? A ’90-es évek kísérletei a 2000 utáni időszakra felemás sikerűek Klimatológia ↔ Klímapolitika (1987, Buenos Aires)

Köszönöm a figyelmet! Irodalom Ács (2008): A talaj-növény-légkör rendszer meteorológiai alkalmazású modellezése Adger et al. (2009): Adapting to Climate Change Bronstejn et al. (2013): Tashenbuch der Matematik Cannon (1932): The Wisdom of the Body Crutchfield et al. (1986): [Sci. Am. 254:46] Gneiting & Raftery (2005): [Science 310(5746):248] Götz & Rákóczi (1981): A Dinamikus Meteorológia Alapjai Kalnay (2003): Atmospheric modeling, Data Assimilation and Predictability Katok & Hasselblatt (1999): Encyclopedia of Mathematics and its Applications Lorenz (1963): [J. Atmos. Sci. 20(2):131] Mandelbrot: (1983): The Fractal Geometry of Nature Marchal (2012): The Tree Body Problem Murphy: (1993): [Wea. Forecasting 8(2):281] Orlanski (1975): [Bull. AMetSoc. 56:527] Péczely (1979): Éghajlattan Práger (1992): Numerikus Prognosztika Schrödinger (1989): Statistical thermodynamics Szebehely (2012): Theory of orbit Szépfalusi & Tél (1982): A Káosz Tél & Gruiz (2006): Chaotic Dynamics Köszönöm a figyelmet!